Ecuaciones Diferenciales Act 3

Act 3 : Reconocimiento Unidad 1

INTRODUCCION A LA UNIDAD: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La enseñanza de las ecuaciones diferenciales en los cursos tradicionales está dedicada a la resolución. Al dejar de lado la interpretación geométrica la conceptualización de las Ecuaciones Diferenciales es parcializada. Esto se observa en el hecho de que los estudiantes no pueden resolver problemas que involucren simultáneamente distintos registros de representación.

Entre las actividades que pueden ser propuestas dentro de la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales deben ser destacadas las de visualización, ya que enfrentan al estudiante a dar consistencia a los resultados que obtenga.

Ciertamente una alternativa didáctica muy extensa en este tema se encuentra en proporcionando un juego de marcos para solución a las ecuaciones diferenciales (numérico, gráfico y algebraico).

Deseamos conocer con más detalle cuál es el efecto de las actividades Propuestas en la coordinación de los diferentes registros de representación al solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.

Muchas de las leyes de la naturaleza, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son así mismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría.

Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si Y= es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial.

La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t"

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?

2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?

3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?

Qué es una ecuación diferencial?

Definición Ecuación Diferencial

Hemos identificado varias veces problemas y situaciones susceptibles de ser descritas por una ecuación diferencial. Así, vimos que problemas relativos a la desintegración radiactiva, al crecimiento de poblaciones, a reacciones químicas, a la ley de enfriamiento de Newton o a la fuerza gravitatoria, se pueden formular en términos de ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función y una o varias de sus derivadas. Si la función tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria.

En una ecuación diferencial ordinaria en la cual la variable dependiente

y = f(x) es una función dos veces derivable de x. Una ecuación diferencial en la que interviene una función de varias variables independientes se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales. En este capítulo restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil comprobar que y = e-2x es una solución de la ecuación diferencial

y ´ + 2 y = 0

Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma

y = Ce-2x , Donde C denota cualquier número real. Diremos que e-2x es la solución general de esa ecuación diferencial. (Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones singulares que no se pueden escribir como casos particulares de la solución general).

s(t) = - 16t2 + C1t + C2

Que contiene dos constantes arbitrarias. Puede demostrarse que la solución general de una ecuación diferencial de orden n contiene n constantes arbitrarias.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en:

Ordinarias: cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable.

Parciales: cuando la función desconocida o incógnita depende de mas de una variable.

Otra clasificación:

Por el orden: el orden de una ecuación diferencial, es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Soluciones singulares

Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución

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