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Espacio Vectorial


Enviado por   •  22 de Enero de 2014  •  2.116 Palabras (9 Páginas)  •  250 Visitas

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INDICE

Pag.

Introduccion 3

Desarrollo

 Espacio Vectorial 4

 Combinacion Lineal 4

 Bases y Dimension 5

 Teorema y Definicion 6

 Teorema de la base incompleta 7

 Dependencia e Independencia lineal 7

 Producto escalar 7

 Ortogonalidad 8

 Espacio R 8

 Producto Vectorial 9

 Producto Mixto 10

 Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmindt 10

Conclusion 12

Bibliografia 13

INTRODUCCION

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de hilbert tienen una teoria mas rica y elaborada.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización

 Espacio Vectorial

Del latín spatĭum, el espacio puede ser la extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la parte que ocupa un objeto sensible.

Vectorial, por su parte, es lo perteneciente o relativo a los vectores. Este término, de origen latino, refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación.

La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.

El concepto de espacio vectorial tiene sus orígenes más remotos en el siglo XVII, con ideas sobre matrices y sistemas de ecuaciones. El matemático y filósofo italiano Giuseppe Peano (1858-1932) suele ser señalado como el responsable de la primera formulación axiomática sobre el espacio vectorial, a finales del siglo XIX. Actualmente la representación gráfica de un espacio vectorial incluye a los vectores (con el símbolo de flecha) encadenados, con la unión de los extremos.

 Combinación Lineal

Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar es decir:

.

Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .

Ejemplo:

El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

Otro ejemplo:

: Se dice que es combinación lineal de y de , porque podemos escribir sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector en cuestión.

 Bases y dimensión

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema

generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Ejemplos de bases.

1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ

n: e1 = (1,0,. . . ,0)

e2 = (0,1,. . . ,0) ........

en = (0,0,. . . ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:

(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

2. Otra base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).

- Son linealmente independientes porque

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