Espacio Vectorial

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlos en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llaman transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Espacio vectorial

Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto que incluye dos operaciones: suma entre elementos de V y producto de elementos de K por elementos de V y cuyo resultado es otro elemento de V. A los elementos de V los denominamos vectores y los elementos de K, escalares.

Ejemplo

Podemos tomar V como el conjunto de los polinomios, y K el de los números reales. Así, tendríamos la suma de polinomios, elementos de V; y el producto de un número real por un polinomio, cuyo resultado es otro polinomio.

Sin embargo es necesario que se cumplan una serie de propiedades para ambas operaciones.

Para la suma de elementos de V,y dados u, v, w elementos de V :

1. la operación es interna, es decir, u+v pertenece a V

2. la suma es asociativa, así, u+(v+w)=(u+v)+w

3. existe elemento neutro para la operación suma, es decir, un elemento 0 de V tal que u+0=0+u=u

4. existe elemento opuesto, esto es, para todo u, existe otro elemento -u tal que u+(-u)=0

5. la operación es conmutativa, y así u+v=v+u

En realidad esta operación dota a V de estructura de grupo abeliano.

Axioma de Espacio Vectorial

Definición formal

La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los numero reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llamas vectores, dotado de dos operaciones;

• Suma de vectores: Cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w

• Producto por un escalar: Cualquier vector puede multiplicarse por un escalar.i.e un elemento de K.a. El producto de denota como av. Que satifacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares, respectivamente):

Propiedad Significado

Propiedad asociativa de la suma

u + (v + w) = (u + v) + w

Propiedad conmutativa de la suma

v + w = w + v

Existencia de elemento neutro o nulo de la suma Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v ∈ V.

Existencia de elemento opuesto o simétrico de la suma Para todo v ∈ V, existe un elemento -v ∈ V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) = 0.

Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores a (v + w) = a v + a w

Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares (a + b) v = a v + b v

Propiedad asociativa mixta del producto por un escalar a (b v) = (ab) v[nb 1]

Existencia de elemento unidad del producto por un escalar 1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K

Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma y producto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial. Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas como

(x, y) + (o, o) = (w, y)

i.e. la suma de un vector nulo (o, o) con otro vector produce el mismo vector. La propiedad distributiva lleva a

(a + b) • (a, y) = a • (x, y) + b • (x, y).

Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V..

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es un espacio vectorial.

Dependencia e Independencia Lineales

Dado un conjunto finito de vectores , se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tales que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen,

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