Estadistica

Punto 1: Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador:

a.- Encuentre la función de probabilidad f(x)

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

a.- La función de probabilidad quedara así:

Probabilidad de sacar cara en la primera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga cara.

Que salga cara 1 vez-> f(20.000) = 1/2  1/2

Probabilidad de sacar cara en la segunda tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga cara la primera vez y volver a tirarla y que salga cara la segunda vez.

Que salga cara 2 vez-> f (40.000) = 1/2 * 1/2 1/4

Probabilidad de sacar cara en la tercera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga cara la primera vez y volver a tirarla y que salga cara la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga cara =

Que salga cara 3 vez -> f (80.000) = 1/2 * 1/2 * 1/2 1/8

Probabilidad de no sacar cara en ninguna de las tres tiradas = Probabilidad de tirar una moneda y que salga cara la primera vez y volver a tirarla y que salga cara la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga cara =

Que no salga cara en 3 lanzamientos-> f (-200,000) = 1/2 * 1/2 * 1/2 1/8

Se cumple que, f(x) ˃ 0 para todo x ∑▒〖f(x)=1〗

b.-

Ganancia Esperada: E(X)=∑▒⌊x.f(x)⌋

Ganancia Esperada = (½ * 20,000) + (¼ * 40,000) + (1/8 * 80,000) – (1/8 * 200,000)

Ganancia Esperada = 10,000 + $10,000 + $10,000 - $25,000 = $ 5,000

La Varianza: 〖 σ〗^2=∑▒(x-μ) ^2.f(x) 6.375.000.000

x μ (x-μ) (x-μ) * (x-μ) F(x) [(x-μ) * (x-μ)] * F(x)

20,000 5,000 15,000 225,000,000 1/2 112,500,000

40,000 5,000 35,000 1,225,000,000 1/4 306,250,000

80,000 5,000 75,000 5,625,000,000 1/8 703,125,000

- 200,000 5,000 - 205,000 42,025,000,000 1/8 5,253,125,000

6,375,000,000

La Desviación Estándar: σ=√6.375.000.000=79.843,6

Punto 2: Sea X una variable aleatoria con función de densidad

Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de Probabilidad

∫_a^b▒〖f(x)dx=1〗

∫_0^2▒〖a(4x-x^3 )dx=1〗

a[∫_0^2▒〖4xdx- ∫_0^2▒x^3 〗 dx]=1

"a" [〖"4x" 〗^"2" /"2" " -" "x" ^"4" /"4" ] 2¦0=1

a[〖2x〗^(2 )-x^4/4] 2¦0=1

a[(2(2)^2-2(〖0)〗^(2 ))-(2^4/4- 0^4/4)]=1

a[8-4]=1

a[4]=1

a= 1/4

Calcule P ( 1 < X < 1,5)

∫_1^1.5▒〖1/4 (4x-x^3 )dx= ∫_1^1.5▒(x- x^3/4) 〗 dx= (x^2/2- x^4/16) 1.5¦1= (〖1.5〗^2/2-1^2/2)-(〖1.5〗^4/16-1^4/16)

=(1,125-0,5)-(0,32-0,06)=(0,625-0,26)=0,365

Punto 3: Se sabe que el 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que:

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