Estadisticas Aplicada

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE HONDURAS -- UTH

Sede: SAN PEDRO SULA

Sección: ONLINE

Asignatura: ESTADISTICAS II

Catedrático: Ing. Héctor A. Castillo

Responsable:

MELBIN YOBANY RODRÍGUEZ COTO 241113009

TAREA MODULO VI

08 de Noviembre 2014

Contenido

Introducción 3

Ejercicio 1: Muestras independientes de observaciones. 4

Ejercicio 2: Consejo de Estándares para Contabilidad Financiera (CECF) 5

Ejercicio 3: Compañía fabricante de chips para computadoras. 6

Ejercicio 4: Bolsa de valores 7

Ejercicio 5: Limpiaparabrisas de Emsco 8

Ejercicio 6: Distribuidores de componentes de computadora 9

Ejercicio 7: Resumen de Informes de Ingresos 10

Ejercicio 8: Additives-R-Us 11

Ejercicio 9: El Instituto del Café 12

Ejercicio 10: Vendedora de automóviles usados 13

Ejercicio 11: Taller mecánico de Kelly 14

Conclusiones 15

Introducción

En muchas situaciones de toma de decisiones, las personas necesitan determinar si los parámetros de dos poblaciones son iguales o diferentes, los tomadores de decisiones están interesados y no están tan preocupados por el valor real de los parámetros como de la relación entre sus valores; es decir, cuáles son las diferencias.

Debido a que lo que se desea es estudiar dos poblaciones, no nada más una, la distribución de muestreo que nos interesa es la distribución muestral de la diferencia entre medias muéstrales.

Para ello existen unos pasos que ayudaran a la elaboración de ejercicios que permitirán al tomador de decisiones, decir si rechaza o no su hipótesis:

Primero, calculamos la diferencia hipotética de las medias de las poblaciones.

Luego dividimos entre el error estándar estimado de la diferencia entre las medias muéstrales.

Señalamos la diferencia estandarizada en una gráfica de la distribución de muestreo y la comparamos con el valor crítico.

Y se toma la decisión de rechazar o no.

Ejercicio 1: Muestras independientes de observaciones.

Se recolectaron dos muestras independientes de observaciones. Para la primera muestra de 60 elementos, la media fue 86 y la desviación estándar 6. La segunda muestra de 75 elementos tenía una media de 82 y una desviación estándar de 9.

Calcule el error estándar estimado de la diferencia entre las dos medias.

σ_(1x ̅ )=σ_1/√(n_1 )=6/√60=0.77

σ_(2x ̅ )=σ_2/√(n_2 )=9/√75=1.04

σ=√(〖σ_(1x ̅ )〗^2+〖σ_(2x ̅ )〗^2 )=√((0.77)^2+(1.04)^2 )=1.294

Con α= 0.01, pruebe si es razonable que se considere que las dos muestras vienen de poblaciones con la misma media.

Plantear la Hipótesis.

H_0:μ_1-μ_2=0, o que H_0:μ_1=μ_2

H_1:μ_1-μ_2≠0, o que H_1:μ_1≠μ_2

Encontrar el valor para Z:

Z=(X ̅_1-X ̅_2)/σ=(86-82)/1.294=3.09

El Intervalo de los Valores críticos de Z es:

Con α= 0.01 entonces, -2.58< Z <2.58

Como Z = 3.09 no se encuentra en el Intervalo crítico de Z: -2.58< Z <2.58

Por ello se rechaza la Hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa donde las dos muestras vienen de poblaciones con distinta media.

-2.58 2.58 3.09

Ejercicio 2: Consejo de Estándares para Contabilidad Financiera (CECF)

En 1993, el Consejo de Estándares para Contabilidad Financiera (CECF) consideró una propuesta para requerir que las compañías informaran el efecto potencial de la opción de compra de acciones de los empleados sobre los ingresos por acción (IPA). Una muestra aleatoria de 41 empresas de alta tecnología (AT) reveló que la nueva propuesta reduciría el IPA en un promedio del 13.8%, con una desviación estándar del 18.9%. Una nuestra aleatoria de 35 productores de bienes de consumo (BC) mostró que la propuesta reduciría el IPA en 9.1% en promedio, con desviación estándar del 8.7%.Con base en estas muestras, ¿es razonable concluir (para α= 0.10) que la propuesta de la CECF causaría una mayor reducción en el IPA para las empresas de alta tecnología que para los productores de bienes de consumo?

Población 1 Población 2 Definición

41 35 Elementos muestra

18.9 8.7 Desviación estándar

13.8 9.1 Media de la muestra tomada

Planteamiento de Hipótesis:

H_0:μ_1-μ_2=0, o que H_0:μ_1=μ_2

H_1:μ_1-μ_2 >0, o que H_1:μ_1>μ_2

σ_(1x ̅ )=σ_1/√(n_1 )=18.9/√41=2.95

σ_(2x ̅ )=σ_2/√(n_2 )=8.7/√35=1.47

σ=√(〖σ_(1x ̅ )〗^2+〖σ_(2x ̅ )〗^2 )=√((2.95)^2+(1.47)^2 )=3.29

Encontrar el valor para Z:

Z=(X ̅_1-X ̅_2)/σ=(13.8-9.1)/3.29=1.43

El Intervalo de los Valores críticos de Z es: Con α= 0.10 entonces, Z= 1.28

Como Z = 1.43 > 1.28 Entonces se rechaza la Hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis alternativa donde la propuesta de la CECF dice que causaría una mayor reducción en el IPA para las empresas de alta tecnología.

Ejercicio 3: Compañía fabricante de chips para computadoras.

Block, una compañía fabricante de chips para computadoras, está en proceso de decidir si sustituye su línea de ensamble semiautomática por otra completamente automatizada. Block ha reunido algunos datos de pruebas preliminares acerca de la producción de chips por hora que se resumen en la tabla siguiente y desea saber si debe actualizar su línea de ensamble. Establezca (y pruebe con α = 0.02) las hipótesis apropiadas para ayudar a Block a tomar una decisión.

Linea x ̅ s n

Semiautomática 198 32 150

Automática 206 29 200

Planteamiento de Hipótesis:

H_0:μ_1-μ_2=0, o que H_0:μ_1=μ_2 No hay diferencia entre ambas líneas.

H_1:μ_1-μ_2 ≠0, o que H_1:μ_1≠μ_2 Existe diferencia entre ambas líneas, debe de sustituir.

σ_(1x ̅ )=σ_1/√(n_1 )=32/√150=2.61

σ_(2x ̅ )=σ_2/√(n_2 )=29/√200=2.05

σ=√(〖σ_(1x ̅ )〗^2+〖σ_(2x ̅ )〗^2 )=√((2.61)^2+(2.05)^2 )=3.32

Encontrar el valor para Z:

Z=(X ̅_1-X ̅_2)/σ=(198-206)/3.32=2.41

El Intervalo de los Valores críticos de Z es: Con α= 0.02 entonces, Z= ±2.33

Como Z = 2.41 > 2.33 Entonces se rechaza la Hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis alternativa donde Block debe de sustituir su línea de ensamble semiautomática por otra completamente automatizada.

Ejercicio 4: Bolsa de valores

El 1 de enero de 1996 se tomó una muestra de 32 fondos mutualistas de la bolsa de valores, y se encontró que la tasa promedio de rendimiento anual durante los 30 días anteriores fue del 3.23%, con una desviación estándar de la muestra del 0.51%. Un año antes, una muestra de 38 fondos mutualistas indicó una tasa promedio de rendimiento del 4.36%, con una desviación estándar de la muestra del 0.84%. ¿Es razonable llegar a la conclusión (a un nivel α = 0.05) de que las tasas de interés del mercado de dinero declinaron durante 1995?

Año x ̅ s n

1995 4.36 0.84 38

1996 3.23 0.51 32

Planteamiento de Hipótesis:

H_0:μ_1-μ_2=0, o que H_0:μ_1=μ_2 No hay diferencia entre ambos años

H_1:μ_1-μ_2 <0, o que H_1:μ_1<μ_2 Existe diferencia entre ambos años. Declinaron en 1995

σ_(1x ̅ )=σ_1/√(n_1 )=0.84/√38=0.136

σ_(2x ̅ )=σ_2/√(n_2 )=0.51/√32=0.090

σ=√(〖σ_(1x ̅ )〗^2+〖σ_(2x ̅ )〗^2 )=√((0.136)^2+(0.090)^2 )=0.163

Encontrar el valor para Z:

Z=(X ̅_1-X ̅_2)/σ=(4.36-3.23)/0.163=6.93

El Intervalo de los Valores críticos de Z es: Con α= 0.05 entonces, Z= 1.64

Como Z = 6.93 > 1.64 Entonces se rechaza la Hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis alternativa donde se concluye que las tasas de interés del mercado de dinero declinaron durante 1995?

Ejercicio 5: Limpiaparabrisas de Emsco

Sherri Welch es una ingeniera de control de calidad de la división de limpiaparabrisas de Emsco, Inc. La empresa estudia dos nuevos hules sintéticos para sus limpiadores y Sherri es la encargada de determinar si los hules con los dos nuevos compuestos se desgastan igual. Equipa 12 autos de empleados de Emsco con un limpiador de cada uno de los compuestos. En los autos 1 a 6, el limpiador derecho está fabricado con el compuesto A y el izquierdo con el B; en los autos 7 a 12, el compuesto A se colocó en el limpiador izquierdo. Los carros se usaron en condiciones normales de operación hasta que los hules no realizaban un trabajo satisfactorio al limpiar el parabrisas. Los datos presentados se refieren a la vida útil (en días) de los hules. Para α = 0.05, ¿es igual el desgaste de los dos compuestos?

Autos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Limp. izq. 162 323 220 274 165 271 233 156 238 211 241 154

Limp. der. 183 347 247 269 189 257 224 178 263 199 263 148

Compuesto A 183 347 247 269 189 257 233 156 238 211 241 154 Totales

Compuesto B 162 323 220 274 165 271 224 178 263 199 263 148

Diferencia 21 24 27 -5 24 -14 9 -22 -25 12 -22 6 35

X² 441 576 729 25 576 196 81 484 625 144 484 36 4397

Plantear las hipótesis:

H_0:μ_1=μ_2

H_1:μ_1≠μ_2

Con α = 0.05 y n-1 grados de libertad = 12-1 = 11, t = ±2.201 (es una distribución de dos colas)

x ̅=35/12 =2.92 dias

S = √(4397/11-〖12(2.92)〗^2/11) = √(399.72-9.30) =19.76 dias

σ ̂_x ̅ =s/√n = 19.76/√12 =5.70 dias

t = (x ̅-μH_0)/σ ̂_x ̅ = (2.92-0)/5.70=0.51

0.51< 2.201; Se acepta la Ho donde dice que es igual el desgaste de los dos compuestos.

Ejercicio 6: Distribuidores de componentes de computadora

Se pidió a nueve distribuidores de componentes de computadora en un área metropolitana importante que proporcionaran sus precios de dos impresoras a color de inyección de tinta. Los resultados de la encuesta se dan en la tabla (con precios en dólares). Para α = 0.05, ¿es razonable asegurar que en promedio la impresora Apson es menos costosa que la Okaydata?

Distribuidor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

Precio de Okaydata $270 325 296 275 289 285 295 325 300

Precio de Apson $250 319 285 260 305 295 289 309 275

Diferencia 20 6 11 15 -16 -10 6 16 25 73

X2 400 36 121 225 256 100 36 256 625 2055

Plantear las hipótesis:

H_0:μ_1=μ_2

H_1:μ_1>μ_2

Con α = 0.05 y n-1 grados de libertad = 9-1 = 8, t = 1.860 (es una distribución de 1 cola)

x ̅=73/9 =8.11

S = √(2055/8-〖9(8.11)〗^2/8) = √(256.88-73.99) =13.52

σ ̂_x ̅ =s/√n = 13.52/√9 =4.51

t = (x ̅-μH_0)/σ ̂_x ̅ = (8.11-0)/4.51=1.798

1.798 < 1.860; Se acepta la Ho donde dice que impresora Apson No es menos costosa que la Okaydata.

Ejercicio 7: Resumen de Informes de Ingresos

Los datos de la tabla corresponden a una muestra aleatoria de nueve empresas tomadas de la sección “Digest of Earnings Reports” (Resumen de Informes de Ingresos) del The Wall Street Journal del 6 de febrero de 1992:

a. Encuentre el cambio medio en los ingresos por acción, entre 1991 y 1992.

Empresas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ingreso de 1991 1.38 1.26 3.64 3.50 2.47 3.21 1.05 1.98 2.72

Ingreso de 1992 2.48 1.50 4.59 3.06 2.11 2.80 1.59 0.92 0.47

Diferencia -1.1 -0.24 -0.95 0.44 0.36 0.41 -0.54 1.06 2.25 1.69

X2 1.21 0.0576 0.9025 0.1936 0.1296 0.1681 0.2916 1.1236 5.0625 9.1391

x ̅=1.69/9 =0.1878

b. Encuentre la desviación estándar del cambio y la desviación estándar del error de la media.

S = √(9.1391/8-〖9(0.1878)〗^2/8) = √(1.142-0.0397) =1.05

σ ̂_x ̅ =s/√n = 1.05/√9 =0.35

t = (x ̅-μH_0)/σ ̂_x ̅ = (0.1878-0)/0.35=0.5366

c. ¿Fueron diferentes los ingresos medios por acción en 1991 y 1992? Pruebe con un nivel α = 0.02.

Plantear las hipótesis:

H_0:μ_1=μ_2

H_1:μ_1≠μ_2

Con α = 0.02 y n-1 grados de libertad = 9-1 = 8, t = ±2.896

0.5366 < 2.896; Se acepta la Ho donde dice que NO fueron diferentes los ingresos medios por acción en 1991 y 1992.

Ejercicio 8: Additives-R-Us

Additives-R-Us desarrolló un aditivo para mejorar la eficiencia del combustible en camiones de carga pesada. Probaron el aditivo seleccionando al azar 18 camiones y agrupándolos en nueve pares. En cada par, ambos camiones llevaban el mismo tipo de carga en la misma carretera, pero sólo se puso el nuevo aditivo a uno de ellos. Cada par siguió rutas distintas y llevó diferentes cargas. ¿Indican los datos, al nivel α = 0.01, que los camiones que usaron aditivo lograron una eficiencia en el uso de combustible significativamente mejor que los camiones con combustible normal?

Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

Aditivo 6 6.2 5.8 6.6 6.7 5.3 5.7 6.1 5.9

Normal 5.7 6.1 5.9 6.2 6.4 5.1 5.9 6 5.5

Diferencia 0.3 0.1 -0.1 0.4 0.3 0.2 -0.2 0.1 0.4 1.5

X2 0.09 0.01 0.01 0.16 0.09 0.04 0.04 0.01 0.16 0.61

x ̅=1.5/9 =0.167

S = √(0.61/8-〖9(0.167)〗^2/8) = √(0.07625-0.03138) =0.2118

σ ̂_x ̅ =s/√n = 0.2118/√9 =0.0706

t = (x ̅-μH_0)/σ ̂_x ̅ = (0.167-0)/0.0706=2.365

Plantear las hipótesis:

H_0:μ_1=μ_2

H_1:μ_1>μ_2

Con α = 0.01 y n-1 grados de libertad = 9-1 = 8, t = 2.896 (es una distribución de 1 cola)

2.365 < 2.896; Se acepta la Ho donde dice que los camiones que usaron aditivo No lograron una eficiencia en el uso de combustible significativamente mejor que los camiones con combustible normal.

Ejercicio 9: El Instituto del Café

El Instituto del Café asegura que más del 40% de los adultos de Estados Unidos toma una taza de café en el desayuno. Una muestra aleatoria de 450 individuos reveló que 200 de ellos toman café de manera habitual en el desayuno. ¿Cuál es el valor P para una prueba de hipótesis que busca mostrar que la afirmación del Instituto del Café es correcta? (Sugerencia: pruebe Ho: p = 0.4, contra H1: p > 0.4.)

El valor P es la probabilidad de observar un valor de x ̅ alejado de la media 0.4.

Ho: p = 0.4

H1: p > 0.4

pHo: 0.40 = Adultos que toman café

qHo: 0.60 = Adultos que no toman café

n = 450

p ̅=200 "∕ 450 = 0.44" proporción que toma café habitualmente en el desayuno

q ̅=250 "∕ 450 = 0.56" proporción que No toma café habitualmente en el desayuno

σ_(p ̅ )= √(((0.40)(0.60))/450)=0.0231

z= (0.44- 0.40)/0.0231=1.7316

En la tabla 1 del apéndice observamos que la probabilidad de que z sea mayor que 1.73 es 0.5000 - 0.4582= 0.0418. En este caso es de una cola por tal el valor P = 0.0418. El valor P es precisamente el nivel máximo de significancia para el cual aceptaríamos Ho.

Ejercicio 10: Vendedora de automóviles usados

Una vendedora de automóviles usados piensa que un fabricante de llantas exagera cuando afirma que sus llantas tienen una duración de 40,000 millas. Registra cuidadosamente el número de millas obtenido de una muestra de 64 llantas. Obtiene una media de 38,500 millas. El fabricante había calculado desviación estándar de la vida de todas las llantas de este tipo en 7,600 millas. Suponiendo que el número de millas tiene una distribución normal, determine el nivel de significancia más alto al cual aceptaríamos la afirmación del fabricante, es decir, el nivel al cual no concluiríamos que el número de millas es significativamente menor que 40,000 millas.

Plantear las hipótesis:

H_0: μ=40000

H_1:μ<40000

N = 64

x ̅=38500

σ=7600

Z_0= (38500- 40000)/(7600/√64)=-1.58

Como es de 1 cola tenemos:

En la tabla 1 del apéndice observamos que la probabilidad de que z sea mayor que 1.58 es 0.5000 - 0.4429 = 0.0571. En este caso es de 1 cola por tal el valor P = 0.0571. El valor P es precisamente el nivel máximo de significancia para el cual aceptaríamos Ho, a cualquier nivel de α mayor que 0.0571 rechazaríamos la hipótesis nula.

Ejercicio 11: Taller mecánico de Kelly

En el taller mecánico de Kelly utilizan una sierra de motor para cortar el tubo que se usa en la manufactura de dispositivos de medición de presión. La longitud de los segmentos de tubo está distribuida normalmente con una desviación estándar de 0.06 pulg. Se cortaron 25 piezas de tubo con la sierra calibrada para secciones de 5.00 pulg. Cuando se midieron estas piezas, se encontró que su longitud media era 4.97 pulg. Utilice valores P para determinar si la máquina debe ser recalibrada debido a que la longitud media es significativamente diferente de 5.00 pulg.

El valor P es la probabilidad de observar un valor de x ̅ alejado de la media 5 pulgadas.

Ho: p = 5

H1: p ≠ 5

σ_(x ̅ )= 0.06/√25=0.012

z= (4.97- 5)/0.012=-2.5

En la tabla 1 del apéndice observamos que la probabilidad de que z sea mayor que 2.5 es 0.5000 - 0.4938= 0.0062. En este caso es de dos colas por tal el valor P = 2(0.0418) = 0.0124. El valor P es precisamente el nivel máximo de significancia para el cual aceptaríamos Ho, a cualquier nivel de α mayor que 0.0124 rechazaríamos la hipótesis nula.

Entonces si es diferente de 5, entonces si debe de ser recalibrada.

Conclusiones

El valor P es precisamente el nivel máximo de significancia para el cual aceptaríamos Ho, a cualquier nivel de α mayor que el valor P rechazaríamos la hipótesis nula.

Dependiendo de la cantidad de la muestra se selección el tipo de distribución a utilizar, muestras menores de 30 se utiliza una distribución t y para mayores de 30 una distribución Z.

Si se tomamos una muestra aleatoria de la distribución de la población 1 y otra muestra aleatoria de la distribución de la población 2. Y si luego se resta las dos medias de las muestras, se obtiene la diferencia entre las medias de la muestra.

La desviación estándar de la distribución de las diferencias entre las medias de las muestras se conoce como error estándar de la diferencia entre dos medias.

Una vez que se informa el valor P de la prueba, en ese momento el tomador de decisiones puede evaluar los factores relevantes y decidir si acepta o rechaza Ho, sin que lo limite un nivel de significancia especificado.

Beneficio de utilizar valores P es que proporcionan más información.

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