Factorizacion & Fracciones Con Operaciones Matematicas

Factorización

En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación.

Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

Usos

Recuerda que el problema de Factorizar polinomios es equivalente a encontrar sus raíces.

 Cuando quieres ver el comportamiento de una función, recurres a la derivada, la cual puede ser un polinomio que al ser factorizado se encuentran los puntos críticos. Si tu función es una función de posición de una partícula, estos puntos serán donde la velocidad vale cero.

 Para encontrar los eigenvectores de una matriz planteas el polinomio característico. Este método se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales.

 En economía (de lo cual no se mucho) algunas cosas se comportan de forma polinomial y saber las raíces de los polinomios es muy importante.

 Al estimar un modelo de regresión, éste puede ser un polinomio. Recordemos que si aproximo un conjunto de datos con un polinomio, se puede predecir que va a pasar con otros que no se registraron. Aquí saber las raíces de los polinomios es también muy importante.

Tipos de factorizaciones y Ejemplos para Factorizar Trinomios de la Forma Ax² + Bx + C

➀ 3x² - 5x - 2

1) Multiplica todos los términos del Trinomio, por el Coeficiente del 1er, Termino del Trinomio [3], al 2do Termino solo déjalo señalado.

9x² - [3]5x - 6 → Ⓐ

2) Ahora abre 2 paréntesis cada uno con una de las raíces de [ 9x²]

(3x : : :) (3x : : :

3) Basándote en el Coeficiente del 2do termino y del 3er termino del trinomio Ⓐ Auxiliar, busca 2 números que sumados te den [ - 5 ] y multiplicados, te den [ - 6]

Esos números son [ - 6 y 1 ]

- 6 + 1 = - 5

[ - 6 ] * [1] = - 6

4) Los números encontrados anótalos dentro de los paréntesis

(3x - 6 ) (3x + 1 )

En el 2do paréntesis, reduce los términos, dividiendo entre [3]

(x - 2) (3x + 1 )

Como se realiza la Factorización

3x² - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1)

➁ 2x² - x - 1

1) Multiplica todos los términos del Trinomio, por el Coeficiente del 1er, Termino del Trinomio [2], al 2do Termino solo déjalo señalado

4x² - [2]x - 2 → Ⓐ

2) Ahora abre 2 paréntesis cada uno con, una de las raíces de [ 4x²]

(2x : : :) (2x : : : )

3) Basándote en el Coeficiente del 2do termino y del 3er termino del trinomio Ⓐ Auxiliar, busca 2 números que sumados te den [ - 1 ] y multiplicados, te den [ - 2]

Esos números son [ - 2 y 1 ]

- 2 + 1 = - 1

[ - 2 ] * [1] = - 2

4) Los números encontrados anótalos dentro de los paréntesis y los paréntesis divídelos, entre el numero [2], que multiplico al trinomio en el paso ➊ y simplifica

(2x - 2) (2x + 1)

----------------------

: : : 2

Factorizamos (2x – 2), tomando a [2], como Factor Común

2(x - 1) (2x + 1)

----------------------

: : . : : 2

(x - 1) (2x + 1)

Esta es la Factorización

2x² - x - 1 = (x - 1) (2x + 1)

➂ 25x² + 30x + 9

1) Multiplicamos todos los términos de trinomio por el coeficiente del 1er termino [25] y solo en el 2do termino del trinomio dejamos señalada la multiplicación

25x² + 30x + 9

625x² + 30[25]x + 225

2) Abrimos 2 paréntesis y en cada uno de ellos anotamos las Raíces de [25x²]

(25x……) (25x……)

3) Buscamos 2 números que multiplicados me den [225] y sumados o restados [30

4) Esos números son [15] y [15]

15 + 15 = 30

15 x 15 = 625

5) Los acomodamos en los paréntesis

(25x + 15) (25x + 15) = (5x + 3) (5x + 3)

Esta es la Factorización

25x² + 30x + 9 = (5x + 3) (5x + 3)

6) Este ejemplo "9 – x²", es una [Diferencia de Cuadrados]

Su forma es: a² - b² = (a + b) (a - b)

Resolvemos:

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