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Funcion Exponencial


Enviado por   •  22 de Abril de 2014  •  1.302 Palabras (6 Páginas)  •  254 Visitas

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función exponencial, es conocida formalmente como la funciónreal ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendoa, K∈Rnúmeros reales, con a> 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Propiedades

La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

Derivada

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

• La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

• La función es solución de la ecuación diferencial .

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .

a exponenciación es una operación definible en un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de Banach (espacio vectorial normado completo que además es un anillo) que generaliza la función exponencial de los números reales.

Cuando a y b son dos números enteros la operación puede definirse en términos algebraicos elementales como equivalente a la potenciación. Sin embargo cierto número de problemas físicos concretos llevaron a tratar de generalizar la fórmula anterior a valores de b no enteros. Cuando b = 1/2 la operación equivale a una raíz cuadrada. Finalmente la exponenciación trata de generalizar la operación a valores de b cualesquiera. Usualmente dicha operación puede reducirse al cálculo de la operación . Este artículo generaliza esta operación a casos donde el exponente no es necesariamente un número real, sino un número complejo, un número cuaterniónico o más generalmente un elemento de un espacio de Banach.

En este capítulo, se presentan dos funciones de gran importancia en la matemática, como son: la función exponencial y la función logarítmica.

Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real .

Gráfica de la Función Exponencial

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a> 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir , crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo

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