Funciones Matriz Hessiana. Aplicación. Funciones Convexas Y cóncavas

1.- Funciones matriz Hessiana

La matriz hessiana o hessiano de una función f de n variables, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.

 Definición:

Dada una función real f de n variables reales:

Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: , donde

.

tomando la siguiente forma

Además, se tiene que si : con A un conjunto abierto y f clase , entonces la matriz hessiana esta bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwartz), es una matriz simétrica.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.

Aplicación de la matriz hessiana

 Concavidad/Convexidad

Sea un conjunto abierto y una función con derivadas segundas continuas:

1. es cóncava si y solo si, , la matriz hessiana es semidefinida negativa.

2. Si la matriz hessiana es definida negativa, entonces es estrictamente cóncava.

3. Si es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un máximo local.

4. es convexa si y solo si, , la matriz hessiana es semidefinida positiva.

5. Si la matriz hessiana es definida positiva, entonces f es estrictamente convexa.

6. Si es una función convexa, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un mínimo local.

 Método para determinar el carácter de los puntos críticos

Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función f de múltiples variables.

1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.

2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.

3. Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).

4. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos serán:

 Máximo: si la matriz hessiana en el punto es definida negativa.

 Mínimo: si la matriz hessiana en el punto es definida positiva.

 Punto de silla: si la matriz hessiana en el punto es indefinida (hay por lo menos dos valores propios de signos distintos).

Si la matriz hessiana resulta semidefinida positiva (o negativa) el método no clasifica, y debe buscarse otro procedimiento para determinar el carácter del punto crítico.

Matriz hessiana orlada

Variante de la matriz hessiana (que se construye de una manera diferente en este caso). Su determinante se utiliza como criterio para determinar si puntos críticos de funciones sometidas a restricciones son mínimos o máximos (extremos condicionados).1

En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera continua es decir se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:

(1)

Función escalar

Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar en este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial

Supongamos es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de éstas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

Esta matriz es notada de diversas maneras:

Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi, para i = 1,...,m.

Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por JF(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

para x cerca de p. O con mayor precisión:

...