Geometria Analitica

LA PARABOLA

¿Qué es?

Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz.

Elementos de la parábola:

Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija d.

Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

ECUACION CON VERTICE EN EL ORIGEN

La ecuación de una parábola con vértices en el origen y eje el eje X es:

y^2= 4px

La parábola abre hacia la derecha si p > 0 y abre hacia la izquierda si p < 0.

Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:

x^2 = 4py

En donde el foco es el punto (0, P), y la ecuación de la directriz es:

y = - p si P > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo

EJEMPLO:

Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje Y pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

Solución:

Por el teorema I, la ecuación de la parábola es de la forma: x^2 = 4py

Como la parábola pasa por el punto (4, -2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (4) y tenemos:

16 = 4p (-2) de donde, p= -2, y la ecuación buscada es: x^2 = -8y

Tambien por el teorema I, el foco es el punto (0, P), o sea, (0, -2), la ecuación de la directriz es: y = -p o sea y = -2 y la longitud del lado recto es (4p) = 8

En la figura se ha trazado el lugar geométrico, foco, directriz y lado recto.

ECUACION CON VERTICE EN EL PUNTO (H, K)

Si se desplaza una parábola con vértice en el origen h unidades de manera horizontal y luego k unidades de manera vertical, el resultado de esto es una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados.

Si consideramos una ecuación normal de una parábola (de la forma x^2 = 4py y sustituimos x por x - h y Y por y - k, entonces:

x^2 = 4py se convierte en: (x – h)^2 = 4p (y – k)

Ahora el vértice ya no se encuentra en (0, 0) si no que se encuentra corrido a (h, k).

ECUACION DE LA PARABOLA QUE PASA POR 3 PUNTOS

Lo que se debe hacer es reemplazar en esta cada par de valores x, y para los puntos que son dato del problema que forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Y= 〖ax〗^2 +bx+ c

La Elipse

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Una Elipse es una curva formada por dos puntos del plano, para los cuales s constante la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados “Focos”.

Una importante propiedad del Elipse es: En toda Elipse a2= b2+c2

La recta que pasa por los focos es el eje focal de la Elipse. Los vértices son los puntos donde el eje corta a la Elipse. El centro de la Elipse es el punto medio del segmento que une los focos. La normal es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje.

Una “cuerda” es un segmento que une dos puntos de la Elipse. Las cuerdas perpendiculares al eje que pasan por los focos, reciben el nombre especial de “ancho focal” o “lado recto”. El eje mayor es el segmento que une los vértices de la Elipse. El eje menor es la cuerda que pasa por el centro y es perpendicular al eje.

F: focos

V: vértices

C: centro de la elipse

Segmento V: eje mayor

Segmento B: eje menor

Ejemplo:

Un avión sobre vuela un aeropuerto en una trayectoria elíptica mientras espera instrucciones para aterrizar. Al momento de entrar a la trayectoria elíptica le informan de una de las torres de control que se encuentra a 4km de distancia de una de ellas y a 1.3 km de otra.

Para conservar dicha trayectoria ¿Cómo debe ubicarse, respecto a las torres de control del aeropuerto?

Solución:

Con ayuda de los instrumentos de navegación, el piloto debe mantener n tdo momento sus distancias a las torres, de manera que la suma de ellas sea igual a 5.3 km. Las torres de control del aeropuerto quedan situadas en el lugar de los focos de la Elipse.

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

La condición geométrica que define a la Elipse queda traducida en una ecuación, que relaciona las coordenadas de los pun tos de la Elipse. Una Elipse es horizontal o vertical según que su eje mayor esté en alguna de estas posiciones.

Cuando el centro de una Elipse horizontal o vertical se hayan en el origen, su ecuación adoptan la forma más sencilla x2/a2 + y2/b2= 1

Siempre, “a” denota la longitud del semieje mayor y “b” la del semieje menor.

Elipse horizontal x2/a2 + y2/b2= 1 Elipse vertical x2/b2 + y2/a2 = 1

Ejemplo:

Escribir la ecuación de la Elipse con centro en el origen

...