Integracion Multiple
Enviado por elmeressi • 20 de Abril de 2015 • 1.729 Palabras (7 Páginas) • 295 Visitas
Tema 10
Integrales dobles y triples
Hasta ahora se han calculado el ´area de figuras geom´etricas planas elementales:
el rect´angulo, el c´ırculo, el trapecio, etc. Pero, ¿c´omo calcular el ´area
de figuras no regulares? Una buena aproximaci´on puede ser la de dividir la
zona en peque˜nos rect´angulos y sumar las ´areas de cada uno de ellos:
Figura 10.1: Mallado para la aproximaci´on del ´area
Esta idea era la que subyac´ıa en la construcci´on de la integral que vimos
en el tema anterior y que nos permiti´o calcular longitudes de curvas, ´areas
limitadas por curvas y vol´umenes de cuerpos de revoluci´on. En este tema, se
generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables,
obteniendo las llamadas integrales de ´area o de volumen, respectivamente.
Esto nos permitir´a calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies,
no necesariamente de revoluci´on. Tambi´en permitir´a calcular ´areas mediante
integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo m´as
complicadas. Se empezar´a definiendo la integral sobre un rect´angulo.
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10.1. Integrales dobles sobre rect´angulos
Sea f(x, y) una funci´on acotada sobre un rect´angulo R = [a, b] × [c, d]. Una
partici´on del rect´angulo R son dos conjuntos de puntos {xj}nj
=0 e {yj}mj
=0,
satisfaciendo
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b c = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = d
es decir, P = P1 × P2, donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d],
respectivamente.
Se llama ´area de R a v(R) = (d−c)(b−a). Toda partici´on divide al rect´angulo
R en n · m subrect´angulos Rjk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], j = 1, . . . , n, k =
1, . . . ,m como se observa en la Figura 10.2.
Se llama norma de la partici´on P a
kPk = m´ax{v(Rjk) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . ,m}
Figura 10.2: Una partici´on del rect´angulo R = [a, b] × [c, d]
Consid´erese cualquier punto cjk del rect´angulo Rjk y f´ormese la suma
S(f, P) =
nX−1
j=0
mX−1
k=0
f(cjk)v(Rjk)
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llamada suma de Riemann para f
En la siguiente gr´afica hemos representado las sumas de Riemann para la
funci´on f(x, y) = x2 + y2 tomando como punto cjk el punto medio del
rect´angulo y el punto inferior del rect´angulo.
00.250.50.75 10
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5
1
1.5
2
1
(a) cjk como punto inferior
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5
1
1.5
2
(b) cjk como punto medio
Figura 10.3: Sumas de Riemann
Definici´on 10.1 Si la sucesi´on {S(f, P)} converge a un l´ımite S, cuando
la norma de la partici´on tiende a 0, que es el mismo para cualquier elecci´on
de cjk, entonces se dice que f es integrable sobre R y se escribe
ZZ
R
f(x, y)dxdy = l´ım
kPk→0
nX−1
j=0
mX−1
k=0
f(cjk)v(Rjk)
A continuaci´on se resumen las propiedades m´as importantes de las funciones
integrables.
Teorema 10.2 Sean f y g dos funciones integrables sobre un rect´angulo
R. Entonces
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1. (Linealidad) f + g es integrable sobre R y
ZZ
R
(f(x, y) + g(x, y))dxdy =
ZZ
R
f(x, y)dxdy +
ZZ
R
g(x, y)dxdy
2. (Homogeneidad) αf es integrable sobre R, para todo α ∈ R, y
ZZ
R
αf(x, y)dxdy = α
ZZ
...