Interes Compuesto Aplicacion De Logaritmos

Aplicaciones de los logaritmos para resolver problemas de interés compuesto

Examinamos anteriormente la fórmula que relacionaba la cantidad de dinero y tiempo invertido a una tasa de interés anual del 6% calculado mensualmente. Debido a que el cálculo ocurre cada mes, la tasa de interés mensual es 0.06 = 0.005. Si comenzamos con $100, la fórmula se vuelve

y = 100(1 + 0.005)x = 100(1.005)x

Donde y es la cantidad total de dinero y x es la cantidad de meses que los $100 son invertidos. En el intento de encontrar cuánto tiempo le tomó al dinero duplicarse y desarrollar una fórmula simple basada en la duplicación, fue necesario encontrar el período de duplicación usando una gráfica.

Seleccionar puntos nos permitió obtener un período de duplicación de 139, lo cual es una aproximación muy buena. Sin embargo, si quisiéramos ahora encontrar cuánto tiempo le tomaría al dinero duplicarse al 9% anual calculado mensualmente, o, 10% por año calculado mensualmente, querría decir que cada vez tendríamos que dibujar una gráfica nueva. Los logaritmos nos permiten resolver este problema mucho más fácilmente.

Si se fuera a duplicar la cantidad de dinero, entonces, la cantidad será $200, porque comenzamos con $100. Por consiguiente, lo que tenemos que hacer es resolver la ecuación 200 = 100(1.005)x. Si dividimos ambos lados de la ecuación por 100, obtenemos 2 = (1.005)x. Estamos tratando de resolver para x, pero, el problema es que la variable x es un exponente.

Afortunadamente, la tercera propiedad de los logaritmos (log an = n• log a, a > 0) trata con las potencias. Ésta nos permite cambiar una potencia en el producto de un número y un logaritmo. Esta técnica hace que todo sea más accesible para nosotros. Por consiguiente, tiene sentido que tengamos que introducir los logaritmos para la solución de la ecuación, 2 = (1.005)x.

Tomemos el logaritmo de cada lado de la ecuación, porque, sabemos que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el log de la base. Tomando el logaritmo de cada lado de la ecuación obtenemos

log [2] = log [(1.005)x]

Lo cual es

log 2 = x • log (1.005)

0.30103

0.00217

Resolviendo para x tenemos

x=

log 2

log(1.005)

≈

≈ 138.7235

Esta contestación no es exacta, pero, es precisa a 4 espacios decimales. Si necesitáramos mayor precisión, usaríamos la calculadora para establecer más espacios decimales.

Sería igualmente fácil encontrar cuánto tiempo le toma al dinero aumentar por un factor de 10. Ahora la cantidad original habría aumentado a $1,000. En este caso, necesitamos resolver la ecuación 1000 = 100(1.005)x. Si dividimos ambos lados de la ecuación por 100, obtenemos

10 = (1.005)x. Tomando el logaritmo de cada lado de la ecuación, tenemos

log [10] = log [(1.005)x]

log 10 = x • log (1.005)

Lo cual se convierte en

Resolviendo para x produce

x=

log10

log(1.05)

=

1

0.00217

= 460.8295 meses

Usa logaritmos y la fórmula de interés compuesto y = y0(1 + i)n para establecer cuánto tiempo le tomará al dinero duplicarse si el mismo es calculado anualmente a cada una de las siguientes tasas de interés anual:

(a) 4%

(e) 12%

(d) 9%

(b) 10%

(c) 8%

Este enfoque general puede ser usado para resolver las ecuaciones exponenciales de todo tipo y es una de las razones por las cuales los logaritmos son tan útiles.

Una de las reglas más fáciles y útiles para estimar cuánto tiempo le toma al dinero duplicarse se le conoce como la Regla del 72.

Regla del 72. Si tú quieres conocer cuánto tiempo le toma al dinero duplicarse, invertido a, digamos al 6% anual, divide la tasa de interés en por ciento por 72 y tendrás una respuesta aproximada. De manera que el 6% de interés anual calculado anualmente, el dinero se debe duplicar en cerca de 72 = 12 años. Esto es bastante cercano al valor calculado con precisión de

6

log 2

log(1.06)

0.3010

0.0253

=

= 11.9 años

El interés compuesto es el beneficio obtenido por un capital que se le van agregando periódicamente los intereses devengados. De este modo, el capital es variable a través del tiempo, ya que los intereses son recapitalizados, con lo cual se produce interés sobre interés y utilizaremos la siguiente fórmula:

C = c × q n C = Capital final

c = Capital inicial

n = Tiempo en número entero

q = 1 + i _

100

A continuación veremos diversos casos:

Primer caso: Cálculo de interés compuesto

Ejemplo1:

Calcular el interés compuesto que producen $1000 depositados durante tres meses a un interés mensual de 4 %

Mediante la aplicación de fórmula, el problema se resuelve

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