LOGICA PROPORCIONAL
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Apuntes de L´ogica Matem´atica
1. L´ogica de Proposiciones
Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Abril de 2005
Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
ii
Lecci´on 1
L´ogica de Proposiciones
Contenido
1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Proposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Valor de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Proposici´on Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Variables de Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Conexi´on entre Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Conjunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Disyunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Disyunci´on Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Negaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Tautolog´ıas y Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6 Proposici´on Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Proposici´on Rec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.8 Proposici´on Contrarrec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.9 Proposici´on bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Implicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Implicaci´on L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Implicaci´on L´ogica y Proposici´on Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Implicaciones L´ogicas m´as Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Equivalencia L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Proposiciones L´ogicamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Equivalencia L´ogica y Proposici´on Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Equivalencias L´ogicas m´as Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqu´e. El robo no ha
sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareci´o. ¿Fue
por motivos pol´ıticos, o fue una mujer? Esta es la pregunta
con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia
esta ´ultima suposici´on. Los asesinatos pol´ıticos se complacen
demasiado en hacer su trabajo y huir. Este asesinato, por el
contrario, hab´ıa sido realizado muy deliberadamente, y quien lo
perpetr´o ha dejado huellas por toda la habitaci´on, mostrando
que estuvo all´ı todo el tiempo.
Arthur Conan Doyle. Un Estudio en Escarlata. 1887
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Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
La estrecha relaci´on existente entre la matem´atica moderna y la l´ogica formal es una de sus caracter´ısticas
fundamentales. La l´ogica aristot´elica era insuficiente para la creaci´on matem´atica ya que la mayor parte
de los argumentos utilizados en ´esta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extra˜nos
en aquella.
En esta primera lecci´on de l´ogica estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna
l´ogica formal: la l´ogica de enunciados o de proposiciones.
1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad
En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´atica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen
un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.
1.1.1 Proposici´on
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmaci´on que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a
la vez.
Ejemplo 1.1 Las siguientes afirmaciones son proposiciones.
(a) Gabriel Garc´ıa M´arquez escribi´o Cien a˜nos de soledad.
(b) 6 es un n´umero primo.
(c) 3+2=6
(d) 1 es un n´umero entero, pero 2 no lo es.
Nota 1.1 Las proposiciones se notan con letras min´usculas, p, q, r . . . . . . La notaci´on p :Tres m´as
cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposici´on “tres m´as cuatro es igual a siete”.
Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse
...