La Practica Etica Del Profecionista En Las Organizaciones

El teorema de Rolle dice lo siguiente:

Si:

• es una función continua definida en un intervalo cerrado

• es derivable sobre el intervalo abierto

•

Entonces: existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.

En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

10.2 Propiedades de las funciones en un intervalo

Teorema de Rolle: si una función es continua y derivable en un intervalo y toma valores iguales en sus extremos, existe un punto donde la derivada primera se anula. Página web con ideas, conceptos y ejercicios de análisis.

Teorema de Rolle

Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:

- Es continua en el intervalo cerrado [a, b]

- Es derivable en el intervalo abierto (a, b)

- Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)

Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.

Ejemplos y ejercicios resueltos

1 Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]

- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.

- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.

- f(1) = 8; f(3) = 8

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.

Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2

El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3]

Sea la función f(x) = 4 + 3√x8

Comprobar si es aplicable el teorema de Rolle a la función en el intervalo [-1, 1] .

El teorema de Rolle establece que si una función verifica las siguiente hipótesis:

• continua en el intervalo [a, b]

• derivable en (a, b)

• f(a) = f(b)

Entonces existe un punto c∈(a, b) tal que f ' (c) = 0

Por tratarse de una función irracional de raiz impar (n = 3) la función es continua en el intervalo [-1, 1] y derivable en (1, 1) .

Además, tenemos que: f(-1) = 4 + 3√(-1)8 = 4 + 1 = 5 y f(1) = 4 + 3√18 = 4 + 1 = 5

Por lo tanto se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle, es decir, existe un punto c∈(-1, 1) tal que f ' (c) = 0

Es decir, el punto es: (0, 4)

Teorema de larange

Indica si la función f(x) = x(x-2) verifica las hipótesis del teorema de valor medio (o teorema de Lagrange) en el intervalo [0, 1] y, en caso afirmativo, encontrar el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema.

La función f(x) es una función polinómica, por lo que es continua y derivable en todo R y por tanto es continua en el intervalo [0, 1] y derivable en (0, 1) respectivamente.

Además, tenemos que: f(1) = -1 , f(0) = 0 y f ' (x) = 2x - 2

Por lo tanto, según el teorema del valor medio o teorema de Lagrange, tenemos que existe un punto c∈(-1, 0) tal que:

Luego el punto pedido es: A(1/2, -3/4)

En la teoría de grupos,

...