Métodos Matemáticos Para Generar Números Aleatorios

MÉTODOS MATEMÁTICOS DE GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Una de las partes centrales en el estudio de la simulación es el desarrollo de la capacidad para poder generar números aleatorios. Un número aleatorio “es por naturaleza un número que se elige al azar entre un universo de posibilidades de tamaño previamente definido”.

Para la simulación de modelos se requiere generar una gran cantidad de valores aleatorios, y debido a esta necesidad, se han desarrollado algoritmos propios para la tarea de generar dichos valores, los cuales son los métodos matemáticos de generación de números aleatorios.

Un generador de números aleatorios es una fórmula específica que produce números aleatorios en una forma completamente determinística, lo cual contradice la idea de la aleatoriedad, por lo que los números generados por éstos métodos, se les llama frecuentemente números pseudoaleatorios.

Entre los métodos más conocidos, se encuentran:

El método del Cuadrado Medio

El método Congruencial Lineal

El método Congruencial Multiplicativo

El método Lehmer

Método del Cuadrado Medio

Definición. Desarrollado por Von Neumann en 1946, consiste en que cada número de una sucesión es producido tomando los dígitos medios de un número obtenido mediante la elevación al cuadrado.

Procedimiento. Para aplicar este procedimiento, es necesario seguir los siguientes pasos:

Definir el número de dígitos que tendrán los valores aleatorios de la serie que se va a generar. A este número de dígitos se le denotará como n.

Elegir al azar el valor de la semilla o número aleatorio inicial, el cual deberá ser de n dígitos.

Se eleva al cuadrado la semilla, este resultado por lo general será de 2n dígitos. En caso de que el número de dígitos no contenga 2n valores, se le agregarán ceros a la izquierda hasta completar la cantidad antes mencionada.

Del número obtenido en el paso anterior, se tomarán los n dígitos centrales, siendo éste el nuevo número aleatorio.

Con este número aleatorio se regresa al paso tercero para generar el siguiente valor de la serie. El algoritmo se repetirá tantas veces como sea necesario para generar la cantidad suficiente de valores según lo requiera el caso.

Ejemplo 1. Mediante el método del cuadrado medio genere 20 números aleatorios de 4 dígitos, con el valor de 864 como semilla.

Solución:

El inciso a) y b) ya están definidos en el problema, siendo n= 4, y la semilla 0864, por lo tanto, nos pasaremos al inciso c), en el cual se nos indica elevar la semilla al cuadrado:

(0864)2 = 746496

Este número es de 6 dígitos, por lo que de acuerdo al inciso, se le agregaran dos ceros a la izquierda para completar 8, que es el valor de 2n.

00746496

De este nuevo número, tomaremos los 4 dígitos centrales, tal y como lo dice el inciso d), por lo que nuestro valor aleatorio será de 7464.

De aquí, regresaremos al inciso c) para elevar este valor al cuadrado para obtener:

(7464)2 = 55711296

Como este número ya es de 8 dígitos, simplemente se eligen los 4 dígitos de la parte central, obteniendo un nuevo valor aleatorio de 7112.

Así sucesivamente, se va repitiendo el proceso, hasta obtener los 20 valores requeridos en el ejemplo, resultando en la siguiente tabla:

0864 7204 5645 6098

7464 8976 8660 1856

7112 5685 9956 4447

5805 3192 1219 7758

6980 1888 4859 1865

El Método Congruencial

Definición. Propuesto por Lehmer en 1959, consiste en comenzar fijando enteros positivos m (multiplicador), a (sumando) y norma (para normalizar). Este método se considera mejor que el cuadrado medio, ya que satisface mejor las pruebas de aleatoriedad.

Procedimiento. Para poder aplicar el método congruencial, se pueden seguir los siguientes pasos:

Elegir un número entero positivo m (normalmente en relación con el tipo de enteros que se va a usar) y otros dos números enteros, a y c, tales que 0 < a < m y 0 ≤ c < m.

Fijar la semilla X0, un valor entero inicial que cumpla 0 ≤ X0 < m.

Obtener de forma recurrente

Xn = (aXn-1 + c) mod m

Para n= 1,2,…

Devolver los valors un = Xn/m, n= 0,1,…

Ejemplo 2.

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