Matematicas Discretas

Introducción

La Matemática trata acerca de las operaciones consideradas en sí mismas, independientemente de los distintos objetos a los que puedan aplicarse. Boole.

En este artículo se discute acerca de las dificultades que presentan los estudiantes de los cursos de ´algebra a nivel universitario, para comprender el proceso de demostración en matemáticas. Una alternativa posible para remediar esto sería dar más de una prueba para una misma proposición. Esto amerita un esfuerzo mayor por parte de los docentes, pero el proceso de aprendizaje se beneficia considerablemente, al disponer el estudiante de información adicional sobre un tema. Se analiza la matemática como un hecho comunicacional, en donde la claridad y la estética en la presentación de los resultados, adquiere relevancia. Se da una panorámica de las técnicas de demostración más conocidas, mediante 12 pruebas de un ejemplo sencillo de proposición sobre los números enteros. Cada demostración se puede interpretar como una pequeña muestra del estilo de trabajo de los matemáticos en las distintas ´épocas.

1 ¿Para qué sirven las demostraciones?

Ningún resultado en matemáticas se puede considerar valido, hasta tanto no sea de- mostrado de manera formal. La solución de un problema debe pasar a través del tamiz indefectible de la lógica, si se quiere elevar a la categoría de un hecho verdadero. Una pequeña falla o argumento erróneo en el proceso de demostración anula toda posibilidad de ´éxito en el paso de las hipótesis hacia la tesis. Los matemáticos son muy metódicos, analíticos e indecibles en cuanto a la verificacion de los resultados. La formalidad es un ingrediente fundamental en el trabajo. Todo debe estar suficientemente justificado. Esto quizás sea motivo de incomprensión y rechazo hacia la matemática por parte de las personas ajenas a esta ciencia. ¿Porque tanto celo en cuanto al formalismo? ¿Qué se gana con esta práctica tan meticulosa? En la vida real podemos emitir juicios basados en nuestra experiencia que pueden ser o no confirmados por otras personas: Esta fruta esta sabrosa. La joven es bella. El tiempo esta nublado.

Este tipo de juicios no requiere de pruebas formales. En matemáticas se trata justamente de buscar y probar verdades eternas aceptadas por todos. La búsqueda de la verdad es parte esencial de esta ciencia. Una ciencia de lo verdadero en el sentido más amplio de la palabra. ¡Qué cosa más hermosa es descubrir la verdad! Cuando se descubre una fórmula se siente un placer estético semejante al del músico al terminar de componer una pieza musical o al del pintor cuando logra plasmar los colores de un paisaje sobre el lienzo. Las demostraciones son importantes para garantizar la validez de los teoremas de la matemática, aparte del placer estético que nos proporcionan. Al quedar demostrada una fórmula, ella se convierte en una herramienta confiable suseptible de aplicaciones en otras ciencias. Pensemos en lo que sucedería si los ingenieros o arquitectos usarán fórmulas erróneas en sus proyectos. Los edificios se derrumbarían, los trenes no podrían moverse, los aviones no volarían,...etc. Otro aspecto aun más importante desde el punto de vista teórico es que, dentro del proceso de la demostración, surgen nuevas ideas que enriquecen a la matemática.

Tautologías

La lógica es la forma correcta de razonar en matemáticas para demostrar proposiciones. Una proposición es un juicio en donde se afirma o se niega alguna propiedad acerca de algo. Por ejemplo cuando decimos 6 es un número par. Estamos afirmando que el 6 tiene la propiedad de ser par o que es un múltiplo de 2. También podemos decir que 6 no es par. Este también es un juicio en lógica, aunque sea falso. Un principio general que debe respetarse es el del Tercer excluido el cual afirma lo siguiente: Toda proposición o bien es verdadera o bien es falsa. Las proposiciones del tipo Hoy es un día bonito, no pertenecen al campo de la lógica pues no se puede determinar su valor de verdad. En lógica usamos variables para escribir en forma simbólica las proposiciones. Por ejemplo la proposición Todo gato es un mamífero, se simboliza así P −→ Q donde P representa la afirmacion “es un gato”, y Q “es un mamífero.” Diremos que P −→ Q es una proposición simbólica. Esta puede ser verdadera o falsa, dependiendo de las sustituciones que uno haga para los símbolos P y Q. Por ejemplo, si hacemos P = Gatos y Q = aves. La proposición diría “Los gatos son aves”, lo cual es falso. El símbolo “P ∧ Q” significa que se tienen las proposiciones P y Q simultáneamente. El símbolo “¬P” significa la negación de la proposición P. Una Tautología es una proposición simbólica, la cual es verdadera en todos los casos posibles de sustitución de las variables.

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