Media Aritmética

Media aritmética.

La media aritmética es el promedio más conocido.

2.1 Definición y notación. La media aritmética de una serie estadística, denotada , es el valor que sustituido por cada término produce una suma igual a la de todos los términos.

Comprendamos la definición. Se establece que si  es la media aritmética de los términos a, b, c, d y e; entonces se tiene que:

Si a + b + c + d + e = S, entonces:

 +  +  +  +  = S

Un ejemplo numérico es el siguiente. Para los datos siguientes 5, 3, 6, 7, 4, 5, 3, 7 la media aritmética es  = 5. Esto significa que:

5 + 3 + 6 + 7 + 4 + 5 + 3 + 7 = 40

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40

2.2 Cálculo de la media aritmética.

Cuando se tienen datos no agrupados, la media aritmética se calcula mediante la fórmula

 = ∑ Xi .

Pero puede ocurrir que los datos estén agrupados en frecuencias, entonces la fórmula es:

 = ∑ fi Xi . Siendo fi la frecuencia con que se repite el dato Xi.

La anterior ecuación se utiliza para datos muestrales. Algunos libros, para especificar que se trata de datos poblacionales, utilizan μ en vez de , y N en vez de n. Aquí utilizaremos  para la media y n para los datos. Cuando sea necesario, especificaremos si son datos poblacionales o muestrales.

Ejemplo. Para los datos dados, calcular . Luego agruparlos en frecuencias y calcular de nuevo .

Datos: 5, 8, 8, 4, 7, 9, 8, 8, 7, 2, 4, 6, 5, 8, 7, 4, 2, 4, 8, 7, 5.

 Solución.

El número de datos es: n = 21.

La sumatoria de los datos es:

∑Xi = 5 + 8 + 8 + 4 + 7 + 9 + 8 + 8 + 7 + 2 + 4 + 6 + 5 + 8 + 7 + 4 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 126.

 = ∑ Xi = 126/21 = 6.

Calculemos  agrupando los datos en frecuencias:

Datos

2

4

5

6

7

8

9

F

2

4

3

1

4

6

1

Apliquemos la fórmula:

∑ fi Xi = 2x2 + 4x4 + 3x5 + 6 + 4x7 + 6x8 + 9 = 4 + 16 + 15 + 6 + 28 + 48 + 9 = 126.

 = ∑ fi Xi = 126 = 6.

  para datos agrupados en clases y frecuencias.

Cuando los datos están agrupados en clases y frecuencias,  se calcula mediante la fórmula:

 = ∑ fi Pmi

n

Ejemplo. Para los datos de la tabla, calcular .

Tiempos

Pm

Corredores (f)

1.7 2.34

2.02

17

2.34 2.98

2.66

7

2.98 3.62

3.3

3

3.62 4.26

3.94

22

4.26 4.9

4.58

15

Suma = 64

 Solución.

 = ∑ fi Pmi = 17x2.02 + 7x2.66 + 3x3.3 + 22x3.94 + 15x4.58

64

= (34.34 + 18.62 + 9.9 + 86.68 + 68.7) / 64 = 218.24 / 64 = 3.41

Con este ejemplo se puede apreciar una utilidad de tener los datos agrupados en clases y frecuencias.

También puede apreciarse el valor de Pm, pues es el dato que mejor representa a todos los de su clase.

2.3 Propiedades de la media aritmética.

1. La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.

Comprobemos la anterior propiedad con un caso sencillo. Se tiene que para los datos 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9.

La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es la siguiente:

(9 – 5) + (9 – 7) + (9 – 9) + (9 – 11) + (9 – 13) =

(4) + (2) + (0) + (-2) + (-4) = 4 + 2 + 0 -2 -4 = 4-4 + 2-2 = 0

Se cumple que La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.

2. Media aritmética de una constante.

Esta propiedad nos dice que si una serie de datos está formada por la repetición de un mismo dato, la media aritmética

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