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PROPIEDADES DE LA DERIVADA

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Si f y g son funciones derivables entonces f + g también lo es

(f + g) `(x) - f` (x) + g (x).

Si f es una función derivable y t un numero real cualquiera entonces t .f también lo es y (t.f) `( x) – t f`(x).

Si f y g son dos funciones derivable, entonces f.g también lo es y (f .g) `(x) – f`(x) g(x) + f(x) g`(x).

Si f y g son dos funciones derivables con g (x) -0 f/g también lo es y

f/g (x)-(f` (x)g(x)-fg`(x))/(g(x) )2

Si f es derivable en x y g lo es en f(x) entonces g . f es derivable en x y (g. f) ` (x) – (f(x)) f`(x). Esta propiedad se conoce con el nombre de regla de la cadena.

Si f es una función inyectiva y derivable en x con f`(x) ≠ 0 entonces la función inversa f-1 es derivable en f (x)y (f-1)`(f(x))-1/(f` (x)).

Aplicando estas propiedades y las reglas de derivación se puede obtener fácilmente la función derivada de las funciones más habituales.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

Función Constante

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a

Dondeapertenece a los números reales y es una constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Ejercicios:

Si entonces

Si entonces

Si entonces

Si entonces,

f(x)=1

f(x)=-2

f´(x)=0

DERIVADA DE UN PRODUCTO

DADA

F(x)= f(x). G(x)

d/dx(F(x).g(x)) = f(x). g (x) + g(x). F(x)

Es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función

EJEMPLOS

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

DERIVACIÓN DE POTENCIA

Dada f(X) = X^m

Siendo n cualquier número real

Siendo x una variable

d/dx (x^n) = n x^(n-1)

La derivada de una variable (x) elevada a una potencia constante es igual al exponente n multiplicando x la variable (x) elevada al exponente menos uno (n-1)

Ejemplo

d/dx (x^5) = 3x^(3-1) = 3x^2

Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0 natural, hay que evaluar el cociente

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