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Metodo De Gauss - Jordan

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Enviado por:  Jerry  01 abril 2011
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Palabras: 1067   |   Páginas: 5
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...

de ecuaciones lineales es:

y = m * x + b

Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales son:

6x + 5y = 10

8x + y – 3 = -2x + 9y + 4

a – b + c = 20

7x – 5y + z = 15

La definición de una ecuación lineal nos permite continuar con la explicación de los métodos eliminación Gaussiana y el de método Gauss - Jordan, siendo el primero el método que propone eliminar progresivamente las variables en un sistema de ecuaciones, para finalmente llegar a tener solo una ecuación con una incógnita, ya teniendo esta se obtienen los demás valores por el método de sustitución, la segunda es un algoritmo del álgebra lineal que nos permite determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, así como encontrar matrices y matrices inversas.

El método de eliminación Gaussiana nos permite resolver sistemas lineales de la siguiente forma:

A * X = B

Este consiste en consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema:

(A ⁞ B)

Para obtener un sistema equivalente:

Para comprender mejor estos métodos la mejor forma es realizar un ejemplo paso a paso que a continuación se presenta:

Resolver el siguiente sistema por el método de eliminación Gaussiana y método Gauss - Jordan:

2x1 + x2 - x3 = 1 |

5x1 + 2x2 + 2x3 = - 4 |

3x1 + x2 + x3 = 5 |

| |

SOLUCION:

1.- Comenzamos escribiendo la matriz:

2 1 -1 1 (R1)

5 2 2 -4 (R2)

3 1 1 5 (R3)

2.- A continuación realizamos el primer pivoteo, que consiste en dividir el renglón uno (R1) entre 2, colocando el resultado en (R1):

1 1/2 -1/2 1/2

5 2 2 -4

3 1 1 5

| |

3.- Para obtener ceros debajo del pivoteo, multiplicamos -5 por (R1) y le sumamos (R2) colocándolo en (R2), a continuación multiplicamos -3 por (R1) y le sumamos (R3) colocándolo en (R3) obtenemos:

1 1/2 -1/2 1/2

0 -1/2 9/2 -13/2

0 -1/2 5/2 - 7/2

4.- Ahora, para realizar el siguiente pivote, multiplicamos -2 por (R2) y

lo colocamos en (R2), pero para simplificar (R3), multiplicamos 2 por (R2) y lo ponemos en (R3) obteniendo:

1 1/2 -1/2 1/2

0 1 -9 13

0 -1 5 7

5.- Para hacer ceros abajo del pivote anterior, necesitamos sumar (R2) y le sumamos (R3) colocándolo en (R3) para obtener:

1 1/2 -1/2 1/2

0 1 -9 13

0 0 -4 20

6.- Podemos observar que solo nos queda un elemento por pivotear, por lo tanto dividimos (R3) entre -4 para colocarlo en (R3) y así obtener:

1 1/2 -1/2 1/2

0 1 -9 13

0 0 1 -5

Por lo tanto el sistema equivale a:

X1 + 1/2X2 – 1/2X3 = 1/2

X2 - 9X3 = 13

X3 = - 5

En este último paso podemos concluir el método de eliminación gaussiana teniendo como resultado:

X3 = -5

Sustituyendo este valor en la ecuación de (R2) tenemos:

X2 -9X3 = 13

X2 = 13 – 9(-5)

X2 = -32

Sustituyendo x3 y x2 en (R1) tenemos:

X1 – 1/2x2 – 1/2x3 = 1/2

X1= 1/2 + 1/2(-23) + 1/2(-5)

X1= 1/2 – 23/2 – 5/2

X1 = -27/2

Ahora bien de esta manera concluimos el método de eliminación Gaussiana el cua ...



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