Numeros Reales

NUMEROS NATURALES

Historia

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

¿Que son los Números Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

Definición

Sea N = f1; 2; 3; : : :g el conjunto de los números naturales, y P(n) una cierta propiedad que puede ser o no cierta para cada número natural n. El principio de inducción matemática afirma que si:

1) P(1) es cierta, es decir, el número natural 1 verifica la propiedad, y

2) suponiendo que P(k) es cierta se puede probar que P(k + 1) también es cierta, entonces, cualquier número natural verifica la propiedad.

Observaciones

El principio de inducción se basa en que los números naturales forman un conjunto cuyo primer elemento es el 1 y que está bien ordenado (todo subconjunto suyo tiene un primer elemento).

Si la hipótesis 1), “P(1) es cierta”, se cambia por “P(n0) es cierta”, con n0 ∈ N, entonces el principio de inducción concluye que la propiedad es cierta para cualquier número natural n ≥ n0.

Ejemplos

1. Demuestra que para cualquier número natural n se cumple que:

1 + 2 + 3 + : : : + n =(n(n+1))/2

Solución: En primer lugar, es fácil comprobar que la propiedad es cierta para n = 1:

1= (1(1+1))/2

Ahora, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple:

1 + 2 + 3 +∶∶∶ + k =(k(k+1))/2

Hay que probar que se cumple para n = k + 1:

1 + 2 + 3 +∶∶∶ + k + (k + 1)= (1 + 2 + 3 +∶∶∶ + k)+ (k + 1)=k(k+1)/2+(k+1)=

=( k(k + 1) + 2(k + 1))/2=((k + 1)(k + 2))/2=((k + 1)[(k + 1) + 1])/2

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3,...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:

−783 y 154 son números enteros

45,23 y −34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho

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