Numeros Reales

Conjunto de Números racionales:

Concepto:

Es el conjunto que se puede expresar, como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de ellos mismo por la unidad a=a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Al expresar un número racional no entero en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódica. El conjunto de números decimales se denomina por la letra "D".

Operaciones y propiedades de los números racionales:

Adición:

La operación que permite calcular la suma de dos números racionales se llama adición. Decimos que la adición en Q es una operación binaria interna porque asocia a cada dos números racionales un número racional. Ejemplo

La expresión

Propiedades de la adición:

a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la adición.

Ejemplo:

Si ;

b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad asociativa de la adición. En general

si representan números racionales cualquiera, entonces

=

=

c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama elemento neutro de la adición

luego la suma de 5/9 y 0 es 5/9

el cero es elemento neutro de la adición de números racionales.

d.-) Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición por ejemplo:

luego la suma de 3/5 y su opuesto –3/5 = 0

Sustracción de números racionales:

la sustracción es la operación inversa a la adición. En la adición se busca uno de los sumandos de una suma dada por ejemplo:

Multiplicación de números racionales:

el producto de dos números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Es decir: ejemplo:

Propiedades de la Multiplicación en Q:

a.-) Conmutativa: en la multiplicación de números racionales del orden de los factores no altera el producto. Es decir:

ejemplo:

b.-) Asociativa: en la multiplicación de los números racionales la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir:

ejemplo:

luego:

c.-) Elemento neutro: el (1) es el elemento neutro de la multiplicación de números racionales. Es decir a/b • 1 = a/b • 1/1 = a/b

ejemplo:

d.-) Elemento simétrico: cada número racional, distinto de cero, tiene un simétrico o inverso respecto la multiplicación. Es decir:

ejemplo:

e.-) Distributividad: al multiplicar un número racional por una suma indicada se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos este número por cada sumando, luego sumamos. Es decir:

ejemplo:

= =

= ß iguales à =

División de Números Racionales:

Para calcular el cociente de un número racional a/b ¸ c/ d basta con multiplicar el dividendo a/b por el inverso del divisor c/d es decir:

Ejemplo:

dividendo - divisor - cociente

Potenciación de los números racionales:

Es una multiplicación de factores iguales. En los números enteros vimos que la potencia de b elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente n, es decir:

ejemplo: 24 = 2•2•2•2 = 16

Operaciones de las potencias:

• Multiplicación de potencias de igual base: es decir:

ejemplo:

• Potencia de un producto, es decir:

ejemplo:

• División de potencias de igual base:, es decir:

ejemplo:

• Potencia de una potencia, es decir

ejemplo:

Teoremas del conjunto de números racionales:

1.

2.

...