Probabilidad

PROBABILIDAD

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

CLASES DE PROBABILIDAD

1. Probabilidad de un evento simple:

Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones. Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Este evento es un resultado que ya no se puede segmentar o subdividir en más resultados.

Ejercicios

 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

 ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

 La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

 Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Solución:

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P= (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P= (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

 Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

2. Probabilidad porcentual:

La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre 0 y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P (Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre 0 y 1.

Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 50% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 50% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad.

Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades.

EJERCICIOS:

 Si siempre se acierta en una ruleta formada por cinco sectores iguales numeradas de la forma 1, 2, 3, 4,5. ¿Cuál la probabilidad de que en un lanzamiento resulte 2?

Solución

Como todos los sectores son iguales, cada sector tiene la misma probabilidad de salir, entonces: p ( sacar 2 ) = 1/5 * 100% = 20%

 En una caja se tienen fichas numeradas del 1 al 50. Si se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la ficha extraída no sea mayor que 20?

Solución

Solo pueden sacarse 20 fichas que cumplan la condición, entonces:

P (ficha no mayor que 20) = 20/50 * 100% = 40%

 25% de alumnos generalmente reprueban Matemáticas, 30% reprueban Física y 10% reprueba Matemáticas y Física.

Calcular la probabilidad de:

a) Reprobar Física dado que reprueba Matemáticas

b) Reprobar en Matemáticas dado que reprobó Física

Solución

Para resolver este problema se utiliza la fórmula de probabilidad condicional

p (A/B) = P(A^B)/P (B)

a) P (F/M) = P (F^M)/P (M)

P (F/M) = 0.10/0.25 = 0.2 = 20%

b) P (M/F) = P (M^F)/P (F)

P (M/F) = 10/30 * 100 = 33.3 %

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000.

Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento.

Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

a) 8000 * 21%

b) 8000 * 79%

c) 21%

d) 79%

e) 21 * 79%

Solución

La cantidad de bolas rojas y azules no importa, por tanto si se sacaron 21 bolas rojas de 100 intentos, la probabilidad de sacar una bola roja es del 21%, la respuesta es "C"

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000. Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento. Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

A) 8000 -21%

B) 8000 -21%

C) 21%

D) 79%

E) 21 -79%

Solución:

No importa el número total de bolitas en la caja, si de 100 extracciones con reposición se obtuvo 21 rojas, entonces la probabilidad de extraer una bolita roja es 21%. Alternativa C).

3. Probabilidad de eventos independientes:

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:

 Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de sello

(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P (tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

 El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la

Probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es

1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego

5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es: 5/6= primer juego

(5/6)(5/6)=25/6 5/6= Segundo juego

 Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es ½

 En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15

% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%

de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:

Sea M =Escoger a una mujer.

E =Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de la probabilidad de ambos eventos.

35

P (M∩ E) =P (M) • P (E)

P (M∩ E)= (35 ^7)/ (100 ^20) • (15/100)

=7/(20^4) • (15^3)/100

= (21/4) (1/100%)

= 5,25%

 Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es?

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de

½.

Como todas las etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 =1/64

4. Probabilidad de eventos complementarios:

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Ejemplo:

-Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

-Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

-Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

EJERCICIOS:

 Se lanza dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de no obtener dos caras? A) 12 B) 14 C) 34 D) 43 E) 18

Solución:

Cada lanzamiento es independiente del otro, por lo tanto las probabilidades de obtener cara de cada lanzamiento se multiplicarán entre sí. Para ello debemos tener presente que cada evento de lanzar una moneda es independiente con el otro lanzamiento y la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es una dedos, esto es, 1/2. Así, P (dos Caras) = P(C)

P(C) 11=•221=4 Pero la probabilidad pedida es el complemento de ello, es decir, lo que falta para alcanzar la cantidad numérica de 1. Esto es, 34.

 La probabilidad que una persona se despierte para trabajar un día domingo es de 0,2 ¿cuál es la probabilidad de que este no se despierte un día domingo para trabajar?

Solución:

Sería la probabilidad del evento complementario, que vendría siendo del 0,8.

 Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es de 0,89. ¿Cuál es la probabilidad de que no convierta el penal? A) -0,89B) -0,11C) 0,11D) 0,21E) 0,89

Solución:

Sea A el evento de convertir un penal, entonces, P(A) = 0,89.La probabilidad de no convertir un penal viene dada por: P (A) = 1 – P(A) = 1 – 0,89 = 0,11. Alternativa C)

 Un avión de guerra sale con 2 misiles con la misión de destruir un objetivo enemigo. La probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5, independiente uno del otro. Si el avión lanza ambos misiles en el ataque, ¿Cuál es la probabilidad de que no dé en el blanco?

A) 0,04 B) 0,20 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,40

Solución:

Que un proyectil no dé en el blanco constituye un evento complementario que la que indica el enunciado. Por lo tanto, tal probabilidad es 411=55.Que ello ocurra dos veces sucesivas es111•==0,045525 Alternativa A).

5. Probabilidad con el empleo de diagrama de árboles:

Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Ejercicios:

 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

-Seleccionar tres niños.

-Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

-Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

-Seleccionar tres niñas.

 Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

-Tres caras.

 Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

6. Probabilidad condicional:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Ejercicios:

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9

 Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera canica sea roja?

b) La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

Solución:

a) La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R₁)=10/5.

b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad P (T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas transparentes en un total de 14 restantes.

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución:

De igual manera que el ejercicio 3 se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

 Se extraen dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcular la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros.

b) Una de copas u otra de oros.

c) Al menos una de oros.

d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

a) P=(10/40)(9/39)=3/52=0.058

b) P=2(10/40)(10/39)=5/39=0.128

c) P=1-P (ninguna de oros)=1-(30/40)(29/30)=23/52=0.442

d) P=(10/40)(10/39)=5/78=0.064

 Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

A = "la suma de los puntos es siete" y

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

Solución:

El suceso A|B es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por lo tanto,

P (B|A)=2/6=1/3

Se clasifica en:

Extracción de objetos sin reposición:

Ejercicios:

1-

2-

3-

4-

5-

7. Probabilidad de la unión de un evento: si A y B son eventos, la probabilidad de la unión de A y B, es la probabilidad de que pase al menos uno de estos dos eventos; puede pasar sólo A, o sólo B o pueden pasar ambos.

Clasificados a su vez en:

a) Mutuamente excluyente: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

Ejemplos:

1-

2-

3-

4-

5-

b) No excluyentes entre sí: Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplos:

 Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5

a) 9/19

b) 8/19

c) 6/19

d) 3/19

e) 1/19

Respuesta:

 Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?

a) 2/5

b) 3/25

c) 22/25

d) 19/50

e) 1/10

Respuesta:

 Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

a) 1/3

b) 1/2

c) 5/6

d) 7/6

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:

a) 1/4

b) 1/2

c) 1/9

d) 23/36

e) 27/36

Respuesta:

 De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte8 o trébol?

a) 17/52

b) 4/13

c) 13/52

d) 9/26

e) 15/52

Respuesta:

8. Probabilidad con enunciados en común:

Ejemplos:

 Se extrae una bola de una caja que contiene 1 bola roja, 3 azules y 6 blancas ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?

a) 10%

b) 60%

c) 70%

d) 50%

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de no sacar una bola roja?

a) 0,9

b) 0,1

c) 9 %

d) 30%

e) 60%

Respuesta:

 Una ruleta está dividida en seis sectores de igual medida (dos grises y 4 blancas). Se hace girar la ruleta dos veces consecutivas y se registra los colores al detenerse.

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 En referencia a la figura anterior. ¿Cuál es la probabilidad de caer una vez en gris y una vez en blanco?

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 Una urna o caja contiene 4 bolas negras y 3 blancas. La probabilidad de extraer dos bolas blancas con reposición es:

a) 4/7

b) 3/7

c) 12/49

d) 9/49

e) 1/7

Respuesta:

9. Distribución de Bernoulli: Es el modelo más simple de la probabilidad, se aplica en situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad.

Ejemplos:

 Una persona que participa en un concurso debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en las seis etapas es:

a) 1/2

b) 1/6

c) 1/12

d) 1/32

e) 1/64

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, salga una cara y dos sellos?

a) 3/8

b) (1/8)3

c) (1/2)3

d) 3x 1/2

e) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar 3 monedas, una de ellas muestre cara y las otras dos, sello?

a) 0,3%

b) 0,25%

c) 0,6%

d) 37,5%

e) 12,5%

Respuesta:

 Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

a) 1/2

b) 5/6

c) 1/5

d) 1/32

e) 1/64

Repuestas:

INTRODUCCIÓN

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Una probabilidad cerca de 0 indica que es poco probable que ocurra un evento y una probabilidad cerca de 1 indica que es casi seguro de que ocurra el evento, un evento es una colección de puntos muéstrales

Cuando estamos definiendo la probabilidad, se puede definir en términos sencillos, como el número de eventos deseados, o básicamente la ocurrencia del evento deseado, sobre los eventos totales disponibles. En el caso de una moneda, tenemos dos posibilidades: que se obtenga en un lanzamiento la cara 1, o que se obtenga la cara 2. Esos son los dos eventos disponibles. Es lógico pensar que cuando ocurre uno no ocurre el otro, que es lo que se espera al lanzar una moneda. La probabilidad sería 1 evento esperado, sobre 2 posibles situaciones.

Por ende trataremos los siguientes tipos de probabilidades:

• Probabilidad de un evento simple

• Probabilidad porcentual

• Probabilidad de eventos independientes

• Probabilidad de eventos complementarios

• Probabilidad con el empleo del diagrama de árbol

• Probabilidad condicional

• Probabilidad de la unión de eventos

• Probabilidad con enunciados en común

• Distribución de Bermulli.

OBJETIVOS GENERALES

• Reconocer todas las clases de probabilidades, con sus respectivos ejercicios.

• Enfocar en la solución de problemas de probabilidades hacia las pruebas ICFES.

• Analizar cada uno de los ejemplos presentados.

• Identificar en qué casos se usa cada uno de los tipos de probabilidad

JUSTIFICACIÓN

La probabilidad es muy importante en el mundo moderno porque no sólo busca predecir simples eventos sino que se utiliza en diversas industrias como estudios para la eficacia de dichas empresas con respecto a las distintas investigaciones. Por ende, este trabajo se hace con el fin de estudiar y analizar la distribución de probabilidades y asociar dichos procesos a cosas del mundo real, es decir, aplicar los elementos básicos y la teoría de las clases de probabilidad en determinados eventos.

CONCLUSIÓN

De este trabajo podemos concluir que la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables, La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Con todo lo aprendido, podemos concluir que la probabilidad se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero método de ayuda para informar.

BIBLIOGRAFÍA

Enlaces:

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

https://es.scribd.com/doc/41665506/7/VIII-Probabilidad-con-enunciados-en-comun

http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html

PROBABILIDAD

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

CLASES DE PROBABILIDAD

1. Probabilidad de un evento simple:

Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones. Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Este evento es un resultado que ya no se puede segmentar o subdividir en más resultados.

Ejercicios

 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

 ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

 La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

 Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Solución:

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P= (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P= (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

 Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

2. Probabilidad porcentual:

La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre 0 y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P (Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre 0 y 1.

Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 50% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 50% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad.

Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades.

EJERCICIOS:

 Si siempre se acierta en una ruleta formada por cinco sectores iguales numeradas de la forma 1, 2, 3, 4,5. ¿Cuál la probabilidad de que en un lanzamiento resulte 2?

Solución

Como todos los sectores son iguales, cada sector tiene la misma probabilidad de salir, entonces: p ( sacar 2 ) = 1/5 * 100% = 20%

 En una caja se tienen fichas numeradas del 1 al 50. Si se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la ficha extraída no sea mayor que 20?

Solución

Solo pueden sacarse 20 fichas que cumplan la condición, entonces:

P (ficha no mayor que 20) = 20/50 * 100% = 40%

 25% de alumnos generalmente reprueban Matemáticas, 30% reprueban Física y 10% reprueba Matemáticas y Física.

Calcular la probabilidad de:

a) Reprobar Física dado que reprueba Matemáticas

b) Reprobar en Matemáticas dado que reprobó Física

Solución

Para resolver este problema se utiliza la fórmula de probabilidad condicional

p (A/B) = P(A^B)/P (B)

a) P (F/M) = P (F^M)/P (M)

P (F/M) = 0.10/0.25 = 0.2 = 20%

b) P (M/F) = P (M^F)/P (F)

P (M/F) = 10/30 * 100 = 33.3 %

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000.

Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento.

Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

a) 8000 * 21%

b) 8000 * 79%

c) 21%

d) 79%

e) 21 * 79%

Solución

La cantidad de bolas rojas y azules no importa, por tanto si se sacaron 21 bolas rojas de 100 intentos, la probabilidad de sacar una bola roja es del 21%, la respuesta es "C"

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000. Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento. Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

A) 8000 -21%

B) 8000 -21%

C) 21%

D) 79%

E) 21 -79%

Solución:

No importa el número total de bolitas en la caja, si de 100 extracciones con reposición se obtuvo 21 rojas, entonces la probabilidad de extraer una bolita roja es 21%. Alternativa C).

3. Probabilidad de eventos independientes:

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:

 Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de sello

(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P (tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

 El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la

Probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es

1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego

5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es: 5/6= primer juego

(5/6)(5/6)=25/6 5/6= Segundo juego

 Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es ½

 En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15

% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%

de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:

Sea M =Escoger a una mujer.

E =Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de la probabilidad de ambos eventos.

35

P (M∩ E) =P (M) • P (E)

P (M∩ E)= (35 ^7)/ (100 ^20) • (15/100)

=7/(20^4) • (15^3)/100

= (21/4) (1/100%)

= 5,25%

 Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es?

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de

½.

Como todas las etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 =1/64

4. Probabilidad de eventos complementarios:

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Ejemplo:

-Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

-Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

-Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

EJERCICIOS:

 Se lanza dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de no obtener dos caras? A) 12 B) 14 C) 34 D) 43 E) 18

Solución:

Cada lanzamiento es independiente del otro, por lo tanto las probabilidades de obtener cara de cada lanzamiento se multiplicarán entre sí. Para ello debemos tener presente que cada evento de lanzar una moneda es independiente con el otro lanzamiento y la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es una dedos, esto es, 1/2. Así, P (dos Caras) = P(C)

P(C) 11=•221=4 Pero la probabilidad pedida es el complemento de ello, es decir, lo que falta para alcanzar la cantidad numérica de 1. Esto es, 34.

 La probabilidad que una persona se despierte para trabajar un día domingo es de 0,2 ¿cuál es la probabilidad de que este no se despierte un día domingo para trabajar?

Solución:

Sería la probabilidad del evento complementario, que vendría siendo del 0,8.

 Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es de 0,89. ¿Cuál es la probabilidad de que no convierta el penal? A) -0,89B) -0,11C) 0,11D) 0,21E) 0,89

Solución:

Sea A el evento de convertir un penal, entonces, P(A) = 0,89.La probabilidad de no convertir un penal viene dada por: P (A) = 1 – P(A) = 1 – 0,89 = 0,11. Alternativa C)

 Un avión de guerra sale con 2 misiles con la misión de destruir un objetivo enemigo. La probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5, independiente uno del otro. Si el avión lanza ambos misiles en el ataque, ¿Cuál es la probabilidad de que no dé en el blanco?

A) 0,04 B) 0,20 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,40

Solución:

Que un proyectil no dé en el blanco constituye un evento complementario que la que indica el enunciado. Por lo tanto, tal probabilidad es 411=55.Que ello ocurra dos veces sucesivas es111•==0,045525 Alternativa A).

5. Probabilidad con el empleo de diagrama de árboles:

Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Ejercicios:

 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

-Seleccionar tres niños.

-Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

-Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

-Seleccionar tres niñas.

 Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

-Tres caras.

 Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

6. Probabilidad condicional:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Ejercicios:

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9

 Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera canica sea roja?

b) La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

Solución:

a) La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R₁)=10/5.

b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad P (T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas transparentes en un total de 14 restantes.

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución:

De igual manera que el ejercicio 3 se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

 Se extraen dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcular la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros.

b) Una de copas u otra de oros.

c) Al menos una de oros.

d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

a) P=(10/40)(9/39)=3/52=0.058

b) P=2(10/40)(10/39)=5/39=0.128

c) P=1-P (ninguna de oros)=1-(30/40)(29/30)=23/52=0.442

d) P=(10/40)(10/39)=5/78=0.064

 Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

A = "la suma de los puntos es siete" y

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

Solución:

El suceso A|B es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por lo tanto,

P (B|A)=2/6=1/3

Se clasifica en:

Extracción de objetos sin reposición:

Ejercicios:

1-

2-

3-

4-

5-

7. Probabilidad de la unión de un evento: si A y B son eventos, la probabilidad de la unión de A y B, es la probabilidad de que pase al menos uno de estos dos eventos; puede pasar sólo A, o sólo B o pueden pasar ambos.

Clasificados a su vez en:

a) Mutuamente excluyente: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

Ejemplos:

1-

2-

3-

4-

5-

b) No excluyentes entre sí: Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplos:

 Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5

a) 9/19

b) 8/19

c) 6/19

d) 3/19

e) 1/19

Respuesta:

 Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?

a) 2/5

b) 3/25

c) 22/25

d) 19/50

e) 1/10

Respuesta:

 Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

a) 1/3

b) 1/2

c) 5/6

d) 7/6

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:

a) 1/4

b) 1/2

c) 1/9

d) 23/36

e) 27/36

Respuesta:

 De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte8 o trébol?

a) 17/52

b) 4/13

c) 13/52

d) 9/26

e) 15/52

Respuesta:

8. Probabilidad con enunciados en común:

Ejemplos:

 Se extrae una bola de una caja que contiene 1 bola roja, 3 azules y 6 blancas ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?

a) 10%

b) 60%

c) 70%

d) 50%

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de no sacar una bola roja?

a) 0,9

b) 0,1

c) 9 %

d) 30%

e) 60%

Respuesta:

 Una ruleta está dividida en seis sectores de igual medida (dos grises y 4 blancas). Se hace girar la ruleta dos veces consecutivas y se registra los colores al detenerse.

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 En referencia a la figura anterior. ¿Cuál es la probabilidad de caer una vez en gris y una vez en blanco?

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 Una urna o caja contiene 4 bolas negras y 3 blancas. La probabilidad de extraer dos bolas blancas con reposición es:

a) 4/7

b) 3/7

c) 12/49

d) 9/49

e) 1/7

Respuesta:

9. Distribución de Bernoulli: Es el modelo más simple de la probabilidad, se aplica en situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad.

Ejemplos:

 Una persona que participa en un concurso debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en las seis etapas es:

a) 1/2

b) 1/6

c) 1/12

d) 1/32

e) 1/64

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, salga una cara y dos sellos?

a) 3/8

b) (1/8)3

c) (1/2)3

d) 3x 1/2

e) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar 3 monedas, una de ellas muestre cara y las otras dos, sello?

a) 0,3%

b) 0,25%

c) 0,6%

d) 37,5%

e) 12,5%

Respuesta:

 Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

a) 1/2

b) 5/6

c) 1/5

d) 1/32

e) 1/64

Repuestas:

INTRODUCCIÓN

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Una probabilidad cerca de 0 indica que es poco probable que ocurra un evento y una probabilidad cerca de 1 indica que es casi seguro de que ocurra el evento, un evento es una colección de puntos muéstrales

Cuando estamos definiendo la probabilidad, se puede definir en términos sencillos, como el número de eventos deseados, o básicamente la ocurrencia del evento deseado, sobre los eventos totales disponibles. En el caso de una moneda, tenemos dos posibilidades: que se obtenga en un lanzamiento la cara 1, o que se obtenga la cara 2. Esos son los dos eventos disponibles. Es lógico pensar que cuando ocurre uno no ocurre el otro, que es lo que se espera al lanzar una moneda. La probabilidad sería 1 evento esperado, sobre 2 posibles situaciones.

Por ende trataremos los siguientes tipos de probabilidades:

• Probabilidad de un evento simple

• Probabilidad porcentual

• Probabilidad de eventos independientes

• Probabilidad de eventos complementarios

• Probabilidad con el empleo del diagrama de árbol

• Probabilidad condicional

• Probabilidad de la unión de eventos

• Probabilidad con enunciados en común

• Distribución de Bermulli.

OBJETIVOS GENERALES

• Reconocer todas las clases de probabilidades, con sus respectivos ejercicios.

• Enfocar en la solución de problemas de probabilidades hacia las pruebas ICFES.

• Analizar cada uno de los ejemplos presentados.

• Identificar en qué casos se usa cada uno de los tipos de probabilidad

JUSTIFICACIÓN

La probabilidad es muy importante en el mundo moderno porque no sólo busca predecir simples eventos sino que se utiliza en diversas industrias como estudios para la eficacia de dichas empresas con respecto a las distintas investigaciones. Por ende, este trabajo se hace con el fin de estudiar y analizar la distribución de probabilidades y asociar dichos procesos a cosas del mundo real, es decir, aplicar los elementos básicos y la teoría de las clases de probabilidad en determinados eventos.

CONCLUSIÓN

De este trabajo podemos concluir que la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables, La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Con todo lo aprendido, podemos concluir que la probabilidad se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero método de ayuda para informar.

BIBLIOGRAFÍA

Enlaces:

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

https://es.scribd.com/doc/41665506/7/VIII-Probabilidad-con-enunciados-en-comun

http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html

PROBABILIDAD

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

CLASES DE PROBABILIDAD

1. Probabilidad de un evento simple:

Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones. Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Este evento es un resultado que ya no se puede segmentar o subdividir en más resultados.

Ejercicios

 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

 ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

 La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

 Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Solución:

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P= (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P= (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

 Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

2. Probabilidad porcentual:

La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre 0 y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P (Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre 0 y 1.

Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 50% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 50% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad.

Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades.

EJERCICIOS:

 Si siempre se acierta en una ruleta formada por cinco sectores iguales numeradas de la forma 1, 2, 3, 4,5. ¿Cuál la probabilidad de que en un lanzamiento resulte 2?

Solución

Como todos los sectores son iguales, cada sector tiene la misma probabilidad de salir, entonces: p ( sacar 2 ) = 1/5 * 100% = 20%

 En una caja se tienen fichas numeradas del 1 al 50. Si se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la ficha extraída no sea mayor que 20?

Solución

Solo pueden sacarse 20 fichas que cumplan la condición, entonces:

P (ficha no mayor que 20) = 20/50 * 100% = 40%

 25% de alumnos generalmente reprueban Matemáticas, 30% reprueban Física y 10% reprueba Matemáticas y Física.

Calcular la probabilidad de:

a) Reprobar Física dado que reprueba Matemáticas

b) Reprobar en Matemáticas dado que reprobó Física

Solución

Para resolver este problema se utiliza la fórmula de probabilidad condicional

p (A/B) = P(A^B)/P (B)

a) P (F/M) = P (F^M)/P (M)

P (F/M) = 0.10/0.25 = 0.2 = 20%

b) P (M/F) = P (M^F)/P (F)

P (M/F) = 10/30 * 100 = 33.3 %

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000.

Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento.

Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

a) 8000 * 21%

b) 8000 * 79%

c) 21%

d) 79%

e) 21 * 79%

Solución

La cantidad de bolas rojas y azules no importa, por tanto si se sacaron 21 bolas rojas de 100 intentos, la probabilidad de sacar una bola roja es del 21%, la respuesta es "C"

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000. Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento. Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

A) 8000 -21%

B) 8000 -21%

C) 21%

D) 79%

E) 21 -79%

Solución:

No importa el número total de bolitas en la caja, si de 100 extracciones con reposición se obtuvo 21 rojas, entonces la probabilidad de extraer una bolita roja es 21%. Alternativa C).

3. Probabilidad de eventos independientes:

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:

 Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de sello

(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P (tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

 El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la

Probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es

1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego

5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es: 5/6= primer juego

(5/6)(5/6)=25/6 5/6= Segundo juego

 Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es ½

 En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15

% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%

de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:

Sea M =Escoger a una mujer.

E =Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de la probabilidad de ambos eventos.

35

P (M∩ E) =P (M) • P (E)

P (M∩ E)= (35 ^7)/ (100 ^20) • (15/100)

=7/(20^4) • (15^3)/100

= (21/4) (1/100%)

= 5,25%

 Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es?

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de

½.

Como todas las etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 =1/64

4. Probabilidad de eventos complementarios:

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Ejemplo:

-Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

-Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

-Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

EJERCICIOS:

 Se lanza dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de no obtener dos caras? A) 12 B) 14 C) 34 D) 43 E) 18

Solución:

Cada lanzamiento es independiente del otro, por lo tanto las probabilidades de obtener cara de cada lanzamiento se multiplicarán entre sí. Para ello debemos tener presente que cada evento de lanzar una moneda es independiente con el otro lanzamiento y la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es una dedos, esto es, 1/2. Así, P (dos Caras) = P(C)

P(C) 11=•221=4 Pero la probabilidad pedida es el complemento de ello, es decir, lo que falta para alcanzar la cantidad numérica de 1. Esto es, 34.

 La probabilidad que una persona se despierte para trabajar un día domingo es de 0,2 ¿cuál es la probabilidad de que este no se despierte un día domingo para trabajar?

Solución:

Sería la probabilidad del evento complementario, que vendría siendo del 0,8.

 Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es de 0,89. ¿Cuál es la probabilidad de que no convierta el penal? A) -0,89B) -0,11C) 0,11D) 0,21E) 0,89

Solución:

Sea A el evento de convertir un penal, entonces, P(A) = 0,89.La probabilidad de no convertir un penal viene dada por: P (A) = 1 – P(A) = 1 – 0,89 = 0,11. Alternativa C)

 Un avión de guerra sale con 2 misiles con la misión de destruir un objetivo enemigo. La probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5, independiente uno del otro. Si el avión lanza ambos misiles en el ataque, ¿Cuál es la probabilidad de que no dé en el blanco?

A) 0,04 B) 0,20 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,40

Solución:

Que un proyectil no dé en el blanco constituye un evento complementario que la que indica el enunciado. Por lo tanto, tal probabilidad es 411=55.Que ello ocurra dos veces sucesivas es111•==0,045525 Alternativa A).

5. Probabilidad con el empleo de diagrama de árboles:

Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Ejercicios:

 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

-Seleccionar tres niños.

-Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

-Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

-Seleccionar tres niñas.

 Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

-Tres caras.

 Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

6. Probabilidad condicional:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Ejercicios:

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9

 Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera canica sea roja?

b) La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

Solución:

a) La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R₁)=10/5.

b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad P (T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas transparentes en un total de 14 restantes.

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución:

De igual manera que el ejercicio 3 se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

 Se extraen dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcular la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros.

b) Una de copas u otra de oros.

c) Al menos una de oros.

d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

a) P=(10/40)(9/39)=3/52=0.058

b) P=2(10/40)(10/39)=5/39=0.128

c) P=1-P (ninguna de oros)=1-(30/40)(29/30)=23/52=0.442

d) P=(10/40)(10/39)=5/78=0.064

 Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

A = "la suma de los puntos es siete" y

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

Solución:

El suceso A|B es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por lo tanto,

P (B|A)=2/6=1/3

Se clasifica en:

Extracción de objetos sin reposición:

Ejercicios:

1-

2-

3-

4-

5-

7. Probabilidad de la unión de un evento: si A y B son eventos, la probabilidad de la unión de A y B, es la probabilidad de que pase al menos uno de estos dos eventos; puede pasar sólo A, o sólo B o pueden pasar ambos.

Clasificados a su vez en:

a) Mutuamente excluyente: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

Ejemplos:

1-

2-

3-

4-

5-

b) No excluyentes entre sí: Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplos:

 Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5

a) 9/19

b) 8/19

c) 6/19

d) 3/19

e) 1/19

Respuesta:

 Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?

a) 2/5

b) 3/25

c) 22/25

d) 19/50

e) 1/10

Respuesta:

 Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

a) 1/3

b) 1/2

c) 5/6

d) 7/6

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:

a) 1/4

b) 1/2

c) 1/9

d) 23/36

e) 27/36

Respuesta:

 De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte8 o trébol?

a) 17/52

b) 4/13

c) 13/52

d) 9/26

e) 15/52

Respuesta:

8. Probabilidad con enunciados en común:

Ejemplos:

 Se extrae una bola de una caja que contiene 1 bola roja, 3 azules y 6 blancas ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?

a) 10%

b) 60%

c) 70%

d) 50%

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de no sacar una bola roja?

a) 0,9

b) 0,1

c) 9 %

d) 30%

e) 60%

Respuesta:

 Una ruleta está dividida en seis sectores de igual medida (dos grises y 4 blancas). Se hace girar la ruleta dos veces consecutivas y se registra los colores al detenerse.

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 En referencia a la figura anterior. ¿Cuál es la probabilidad de caer una vez en gris y una vez en blanco?

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 Una urna o caja contiene 4 bolas negras y 3 blancas. La probabilidad de extraer dos bolas blancas con reposición es:

a) 4/7

b) 3/7

c) 12/49

d) 9/49

e) 1/7

Respuesta:

9. Distribución de Bernoulli: Es el modelo más simple de la probabilidad, se aplica en situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad.

Ejemplos:

 Una persona que participa en un concurso debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en las seis etapas es:

a) 1/2

b) 1/6

c) 1/12

d) 1/32

e) 1/64

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, salga una cara y dos sellos?

a) 3/8

b) (1/8)3

c) (1/2)3

d) 3x 1/2

e) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar 3 monedas, una de ellas muestre cara y las otras dos, sello?

a) 0,3%

b) 0,25%

c) 0,6%

d) 37,5%

e) 12,5%

Respuesta:

 Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

a) 1/2

b) 5/6

c) 1/5

d) 1/32

e) 1/64

Repuestas:

INTRODUCCIÓN

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Una probabilidad cerca de 0 indica que es poco probable que ocurra un evento y una probabilidad cerca de 1 indica que es casi seguro de que ocurra el evento, un evento es una colección de puntos muéstrales

Cuando estamos definiendo la probabilidad, se puede definir en términos sencillos, como el número de eventos deseados, o básicamente la ocurrencia del evento deseado, sobre los eventos totales disponibles. En el caso de una moneda, tenemos dos posibilidades: que se obtenga en un lanzamiento la cara 1, o que se obtenga la cara 2. Esos son los dos eventos disponibles. Es lógico pensar que cuando ocurre uno no ocurre el otro, que es lo que se espera al lanzar una moneda. La probabilidad sería 1 evento esperado, sobre 2 posibles situaciones.

Por ende trataremos los siguientes tipos de probabilidades:

• Probabilidad de un evento simple

• Probabilidad porcentual

• Probabilidad de eventos independientes

• Probabilidad de eventos complementarios

• Probabilidad con el empleo del diagrama de árbol

• Probabilidad condicional

• Probabilidad de la unión de eventos

• Probabilidad con enunciados en común

• Distribución de Bermulli.

OBJETIVOS GENERALES

• Reconocer todas las clases de probabilidades, con sus respectivos ejercicios.

• Enfocar en la solución de problemas de probabilidades hacia las pruebas ICFES.

• Analizar cada uno de los ejemplos presentados.

• Identificar en qué casos se usa cada uno de los tipos de probabilidad

JUSTIFICACIÓN

La probabilidad es muy importante en el mundo moderno porque no sólo busca predecir simples eventos sino que se utiliza en diversas industrias como estudios para la eficacia de dichas empresas con respecto a las distintas investigaciones. Por ende, este trabajo se hace con el fin de estudiar y analizar la distribución de probabilidades y asociar dichos procesos a cosas del mundo real, es decir, aplicar los elementos básicos y la teoría de las clases de probabilidad en determinados eventos.

CONCLUSIÓN

De este trabajo podemos concluir que la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables, La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Con todo lo aprendido, podemos concluir que la probabilidad se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero método de ayuda para informar.

BIBLIOGRAFÍA

Enlaces:

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

https://es.scribd.com/doc/41665506/7/VIII-Probabilidad-con-enunciados-en-comun

http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html

PROBABILIDAD

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

CLASES DE PROBABILIDAD

1. Probabilidad de un evento simple:

Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones. Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Este evento es un resultado que ya no se puede segmentar o subdividir en más resultados.

Ejercicios

 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

 ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

 La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

 Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Solución:

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P= (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P= (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

 Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

2. Probabilidad porcentual:

La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre 0 y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P (Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre 0 y 1.

Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 50% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 50% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad.

Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades.

EJERCICIOS:

 Si siempre se acierta en una ruleta formada por cinco sectores iguales numeradas de la forma 1, 2, 3, 4,5. ¿Cuál la probabilidad de que en un lanzamiento resulte 2?

Solución

Como todos los sectores son iguales, cada sector tiene la misma probabilidad de salir, entonces: p ( sacar 2 ) = 1/5 * 100% = 20%

 En una caja se tienen fichas numeradas del 1 al 50. Si se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la ficha extraída no sea mayor que 20?

Solución

Solo pueden sacarse 20 fichas que cumplan la condición, entonces:

P (ficha no mayor que 20) = 20/50 * 100% = 40%

 25% de alumnos generalmente reprueban Matemáticas, 30% reprueban Física y 10% reprueba Matemáticas y Física.

Calcular la probabilidad de:

a) Reprobar Física dado que reprueba Matemáticas

b) Reprobar en Matemáticas dado que reprobó Física

Solución

Para resolver este problema se utiliza la fórmula de probabilidad condicional

p (A/B) = P(A^B)/P (B)

a) P (F/M) = P (F^M)/P (M)

P (F/M) = 0.10/0.25 = 0.2 = 20%

b) P (M/F) = P (M^F)/P (F)

P (M/F) = 10/30 * 100 = 33.3 %

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000.

Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento.

Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

a) 8000 * 21%

b) 8000 * 79%

c) 21%

d) 79%

e) 21 * 79%

Solución

La cantidad de bolas rojas y azules no importa, por tanto si se sacaron 21 bolas rojas de 100 intentos, la probabilidad de sacar una bola roja es del 21%, la respuesta es "C"

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000. Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento. Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

A) 8000 -21%

B) 8000 -21%

C) 21%

D) 79%

E) 21 -79%

Solución:

No importa el número total de bolitas en la caja, si de 100 extracciones con reposición se obtuvo 21 rojas, entonces la probabilidad de extraer una bolita roja es 21%. Alternativa C).

3. Probabilidad de eventos independientes:

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:

 Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de sello

(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P (tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

 El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la

Probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es

1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego

5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es: 5/6= primer juego

(5/6)(5/6)=25/6 5/6= Segundo juego

 Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es ½

 En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15

% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%

de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:

Sea M =Escoger a una mujer.

E =Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de la probabilidad de ambos eventos.

35

P (M∩ E) =P (M) • P (E)

P (M∩ E)= (35 ^7)/ (100 ^20) • (15/100)

=7/(20^4) • (15^3)/100

= (21/4) (1/100%)

= 5,25%

 Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es?

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de

½.

Como todas las etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 =1/64

4. Probabilidad de eventos complementarios:

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Ejemplo:

-Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

-Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

-Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

EJERCICIOS:

 Se lanza dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de no obtener dos caras? A) 12 B) 14 C) 34 D) 43 E) 18

Solución:

Cada lanzamiento es independiente del otro, por lo tanto las probabilidades de obtener cara de cada lanzamiento se multiplicarán entre sí. Para ello debemos tener presente que cada evento de lanzar una moneda es independiente con el otro lanzamiento y la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es una dedos, esto es, 1/2. Así, P (dos Caras) = P(C)

P(C) 11=•221=4 Pero la probabilidad pedida es el complemento de ello, es decir, lo que falta para alcanzar la cantidad numérica de 1. Esto es, 34.

 La probabilidad que una persona se despierte para trabajar un día domingo es de 0,2 ¿cuál es la probabilidad de que este no se despierte un día domingo para trabajar?

Solución:

Sería la probabilidad del evento complementario, que vendría siendo del 0,8.

 Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es de 0,89. ¿Cuál es la probabilidad de que no convierta el penal? A) -0,89B) -0,11C) 0,11D) 0,21E) 0,89

Solución:

Sea A el evento de convertir un penal, entonces, P(A) = 0,89.La probabilidad de no convertir un penal viene dada por: P (A) = 1 – P(A) = 1 – 0,89 = 0,11. Alternativa C)

 Un avión de guerra sale con 2 misiles con la misión de destruir un objetivo enemigo. La probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5, independiente uno del otro. Si el avión lanza ambos misiles en el ataque, ¿Cuál es la probabilidad de que no dé en el blanco?

A) 0,04 B) 0,20 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,40

Solución:

Que un proyectil no dé en el blanco constituye un evento complementario que la que indica el enunciado. Por lo tanto, tal probabilidad es 411=55.Que ello ocurra dos veces sucesivas es111•==0,045525 Alternativa A).

5. Probabilidad con el empleo de diagrama de árboles:

Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Ejercicios:

 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

-Seleccionar tres niños.

-Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

-Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

-Seleccionar tres niñas.

 Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

-Tres caras.

 Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

6. Probabilidad condicional:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Ejercicios:

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9

 Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera canica sea roja?

b) La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

Solución:

a) La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R₁)=10/5.

b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad P (T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas transparentes en un total de 14 restantes.

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución:

De igual manera que el ejercicio 3 se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

 Se extraen dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcular la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros.

b) Una de copas u otra de oros.

c) Al menos una de oros.

d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

a) P=(10/40)(9/39)=3/52=0.058

b) P=2(10/40)(10/39)=5/39=0.128

c) P=1-P (ninguna de oros)=1-(30/40)(29/30)=23/52=0.442

d) P=(10/40)(10/39)=5/78=0.064

 Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

A = "la suma de los puntos es siete" y

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

Solución:

El suceso A|B es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por lo tanto,

P (B|A)=2/6=1/3

Se clasifica en:

Extracción de objetos sin reposición:

Ejercicios:

1-

2-

3-

4-

5-

7. Probabilidad de la unión de un evento: si A y B son eventos, la probabilidad de la unión de A y B, es la probabilidad de que pase al menos uno de estos dos eventos; puede pasar sólo A, o sólo B o pueden pasar ambos.

Clasificados a su vez en:

a) Mutuamente excluyente: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

Ejemplos:

1-

2-

3-

4-

5-

b) No excluyentes entre sí: Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplos:

 Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5

a) 9/19

b) 8/19

c) 6/19

d) 3/19

e) 1/19

Respuesta:

 Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?

a) 2/5

b) 3/25

c) 22/25

d) 19/50

e) 1/10

Respuesta:

 Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

a) 1/3

b) 1/2

c) 5/6

d) 7/6

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:

a) 1/4

b) 1/2

c) 1/9

d) 23/36

e) 27/36

Respuesta:

 De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte8 o trébol?

a) 17/52

b) 4/13

c) 13/52

d) 9/26

e) 15/52

Respuesta:

8. Probabilidad con enunciados en común:

Ejemplos:

 Se extrae una bola de una caja que contiene 1 bola roja, 3 azules y 6 blancas ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?

a) 10%

b) 60%

c) 70%

d) 50%

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de no sacar una bola roja?

a) 0,9

b) 0,1

c) 9 %

d) 30%

e) 60%

Respuesta:

 Una ruleta está dividida en seis sectores de igual medida (dos grises y 4 blancas). Se hace girar la ruleta dos veces consecutivas y se registra los colores al detenerse.

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 En referencia a la figura anterior. ¿Cuál es la probabilidad de caer una vez en gris y una vez en blanco?

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 Una urna o caja contiene 4 bolas negras y 3 blancas. La probabilidad de extraer dos bolas blancas con reposición es:

a) 4/7

b) 3/7

c) 12/49

d) 9/49

e) 1/7

Respuesta:

9. Distribución de Bernoulli: Es el modelo más simple de la probabilidad, se aplica en situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad.

Ejemplos:

 Una persona que participa en un concurso debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en las seis etapas es:

a) 1/2

b) 1/6

c) 1/12

d) 1/32

e) 1/64

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, salga una cara y dos sellos?

a) 3/8

b) (1/8)3

c) (1/2)3

d) 3x 1/2

e) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar 3 monedas, una de ellas muestre cara y las otras dos, sello?

a) 0,3%

b) 0,25%

c) 0,6%

d) 37,5%

e) 12,5%

Respuesta:

 Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

a) 1/2

b) 5/6

c) 1/5

d) 1/32

e) 1/64

Repuestas:

INTRODUCCIÓN

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Una probabilidad cerca de 0 indica que es poco probable que ocurra un evento y una probabilidad cerca de 1 indica que es casi seguro de que ocurra el evento, un evento es una colección de puntos muéstrales

Cuando estamos definiendo la probabilidad, se puede definir en términos sencillos, como el número de eventos deseados, o básicamente la ocurrencia del evento deseado, sobre los eventos totales disponibles. En el caso de una moneda, tenemos dos posibilidades: que se obtenga en un lanzamiento la cara 1, o que se obtenga la cara 2. Esos son los dos eventos disponibles. Es lógico pensar que cuando ocurre uno no ocurre el otro, que es lo que se espera al lanzar una moneda. La probabilidad sería 1 evento esperado, sobre 2 posibles situaciones.

Por ende trataremos los siguientes tipos de probabilidades:

• Probabilidad de un evento simple

• Probabilidad porcentual

• Probabilidad de eventos independientes

• Probabilidad de eventos complementarios

• Probabilidad con el empleo del diagrama de árbol

• Probabilidad condicional

• Probabilidad de la unión de eventos

• Probabilidad con enunciados en común

• Distribución de Bermulli.

OBJETIVOS GENERALES

• Reconocer todas las clases de probabilidades, con sus respectivos ejercicios.

• Enfocar en la solución de problemas de probabilidades hacia las pruebas ICFES.

• Analizar cada uno de los ejemplos presentados.

• Identificar en qué casos se usa cada uno de los tipos de probabilidad

JUSTIFICACIÓN

La probabilidad es muy importante en el mundo moderno porque no sólo busca predecir simples eventos sino que se utiliza en diversas industrias como estudios para la eficacia de dichas empresas con respecto a las distintas investigaciones. Por ende, este trabajo se hace con el fin de estudiar y analizar la distribución de probabilidades y asociar dichos procesos a cosas del mundo real, es decir, aplicar los elementos básicos y la teoría de las clases de probabilidad en determinados eventos.

CONCLUSIÓN

De este trabajo podemos concluir que la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables, La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Con todo lo aprendido, podemos concluir que la probabilidad se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero método de ayuda para informar.

BIBLIOGRAFÍA

Enlaces:

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

https://es.scribd.com/doc/41665506/7/VIII-Probabilidad-con-enunciados-en-comun

http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html

PROBABILIDAD

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

CLASES DE PROBABILIDAD

1. Probabilidad de un evento simple:

Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones. Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Este evento es un resultado que ya no se puede segmentar o subdividir en más resultados.

Ejercicios

 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

 ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

 La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

 Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Solución:

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P= (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P= (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

 Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

2. Probabilidad porcentual:

La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre 0 y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P (Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre 0 y 1.

Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 50% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 50% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad.

Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades.

EJERCICIOS:

 Si siempre se acierta en una ruleta formada por cinco sectores iguales numeradas de la forma 1, 2, 3, 4,5. ¿Cuál la probabilidad de que en un lanzamiento resulte 2?

Solución

Como todos los sectores son iguales, cada sector tiene la misma probabilidad de salir, entonces: p ( sacar 2 ) = 1/5 * 100% = 20%

 En una caja se tienen fichas numeradas del 1 al 50. Si se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la ficha extraída no sea mayor que 20?

Solución

Solo pueden sacarse 20 fichas que cumplan la condición, entonces:

P (ficha no mayor que 20) = 20/50 * 100% = 40%

 25% de alumnos generalmente reprueban Matemáticas, 30% reprueban Física y 10% reprueba Matemáticas y Física.

Calcular la probabilidad de:

a) Reprobar Física dado que reprueba Matemáticas

b) Reprobar en Matemáticas dado que reprobó Física

Solución

Para resolver este problema se utiliza la fórmula de probabilidad condicional

p (A/B) = P(A^B)/P (B)

a) P (F/M) = P (F^M)/P (M)

P (F/M) = 0.10/0.25 = 0.2 = 20%

b) P (M/F) = P (M^F)/P (F)

P (M/F) = 10/30 * 100 = 33.3 %

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000.

Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento.

Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

a) 8000 * 21%

b) 8000 * 79%

c) 21%

d) 79%

e) 21 * 79%

Solución

La cantidad de bolas rojas y azules no importa, por tanto si se sacaron 21 bolas rojas de 100 intentos, la probabilidad de sacar una bola roja es del 21%, la respuesta es "C"

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000. Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento. Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

A) 8000 -21%

B) 8000 -21%

C) 21%

D) 79%

E) 21 -79%

Solución:

No importa el número total de bolitas en la caja, si de 100 extracciones con reposición se obtuvo 21 rojas, entonces la probabilidad de extraer una bolita roja es 21%. Alternativa C).

3. Probabilidad de eventos independientes:

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:

 Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de sello

(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P (tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

 El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la

Probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es

1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego

5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es: 5/6= primer juego

(5/6)(5/6)=25/6 5/6= Segundo juego

 Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es ½

 En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15

% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%

de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:

Sea M =Escoger a una mujer.

E =Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de la probabilidad de ambos eventos.

35

P (M∩ E) =P (M) • P (E)

P (M∩ E)= (35 ^7)/ (100 ^20) • (15/100)

=7/(20^4) • (15^3)/100

= (21/4) (1/100%)

= 5,25%

 Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es?

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de

½.

Como todas las etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 =1/64

4. Probabilidad de eventos complementarios:

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Ejemplo:

-Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

-Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

-Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

EJERCICIOS:

 Se lanza dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de no obtener dos caras? A) 12 B) 14 C) 34 D) 43 E) 18

Solución:

Cada lanzamiento es independiente del otro, por lo tanto las probabilidades de obtener cara de cada lanzamiento se multiplicarán entre sí. Para ello debemos tener presente que cada evento de lanzar una moneda es independiente con el otro lanzamiento y la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es una dedos, esto es, 1/2. Así, P (dos Caras) = P(C)

P(C) 11=•221=4 Pero la probabilidad pedida es el complemento de ello, es decir, lo que falta para alcanzar la cantidad numérica de 1. Esto es, 34.

 La probabilidad que una persona se despierte para trabajar un día domingo es de 0,2 ¿cuál es la probabilidad de que este no se despierte un día domingo para trabajar?

Solución:

Sería la probabilidad del evento complementario, que vendría siendo del 0,8.

 Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es de 0,89. ¿Cuál es la probabilidad de que no convierta el penal? A) -0,89B) -0,11C) 0,11D) 0,21E) 0,89

Solución:

Sea A el evento de convertir un penal, entonces, P(A) = 0,89.La probabilidad de no convertir un penal viene dada por: P (A) = 1 – P(A) = 1 – 0,89 = 0,11. Alternativa C)

 Un avión de guerra sale con 2 misiles con la misión de destruir un objetivo enemigo. La probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5, independiente uno del otro. Si el avión lanza ambos misiles en el ataque, ¿Cuál es la probabilidad de que no dé en el blanco?

A) 0,04 B) 0,20 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,40

Solución:

Que un proyectil no dé en el blanco constituye un evento complementario que la que indica el enunciado. Por lo tanto, tal probabilidad es 411=55.Que ello ocurra dos veces sucesivas es111•==0,045525 Alternativa A).

5. Probabilidad con el empleo de diagrama de árboles:

Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Ejercicios:

 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

-Seleccionar tres niños.

-Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

-Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

-Seleccionar tres niñas.

 Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

-Tres caras.

 Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

6. Probabilidad condicional:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Ejercicios:

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9

 Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera canica sea roja?

b) La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

Solución:

a) La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R₁)=10/5.

b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad P (T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas transparentes en un total de 14 restantes.

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución:

De igual manera que el ejercicio 3 se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

 Se extraen dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcular la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros.

b) Una de copas u otra de oros.

c) Al menos una de oros.

d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

a) P=(10/40)(9/39)=3/52=0.058

b) P=2(10/40)(10/39)=5/39=0.128

c) P=1-P (ninguna de oros)=1-(30/40)(29/30)=23/52=0.442

d) P=(10/40)(10/39)=5/78=0.064

 Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

A = "la suma de los puntos es siete" y

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

Solución:

El suceso A|B es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por lo tanto,

P (B|A)=2/6=1/3

Se clasifica en:

Extracción de objetos sin reposición:

Ejercicios:

1-

2-

3-

4-

5-

7. Probabilidad de la unión de un evento: si A y B son eventos, la probabilidad de la unión de A y B, es la probabilidad de que pase al menos uno de estos dos eventos; puede pasar sólo A, o sólo B o pueden pasar ambos.

Clasificados a su vez en:

a) Mutuamente excluyente: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

Ejemplos:

1-

2-

3-

4-

5-

b) No excluyentes entre sí: Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplos:

 Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5

a) 9/19

b) 8/19

c) 6/19

d) 3/19

e) 1/19

Respuesta:

 Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?

a) 2/5

b) 3/25

c) 22/25

d) 19/50

e) 1/10

Respuesta:

 Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

a) 1/3

b) 1/2

c) 5/6

d) 7/6

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:

a) 1/4

b) 1/2

c) 1/9

d) 23/36

e) 27/36

Respuesta:

 De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte8 o trébol?

a) 17/52

b) 4/13

c) 13/52

d) 9/26

e) 15/52

Respuesta:

8. Probabilidad con enunciados en común:

Ejemplos:

 Se extrae una bola de una caja que contiene 1 bola roja, 3 azules y 6 blancas ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?

a) 10%

b) 60%

c) 70%

d) 50%

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de no sacar una bola roja?

a) 0,9

b) 0,1

c) 9 %

d) 30%

e) 60%

Respuesta:

 Una ruleta está dividida en seis sectores de igual medida (dos grises y 4 blancas). Se hace girar la ruleta dos veces consecutivas y se registra los colores al detenerse.

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 En referencia a la figura anterior. ¿Cuál es la probabilidad de caer una vez en gris y una vez en blanco?

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 Una urna o caja contiene 4 bolas negras y 3 blancas. La probabilidad de extraer dos bolas blancas con reposición es:

a) 4/7

b) 3/7

c) 12/49

d) 9/49

e) 1/7

Respuesta:

9. Distribución de Bernoulli: Es el modelo más simple de la probabilidad, se aplica en situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad.

Ejemplos:

 Una persona que participa en un concurso debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en las seis etapas es:

a) 1/2

b) 1/6

c) 1/12

d) 1/32

e) 1/64

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, salga una cara y dos sellos?

a) 3/8

b) (1/8)3

c) (1/2)3

d) 3x 1/2

e) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar 3 monedas, una de ellas muestre cara y las otras dos, sello?

a) 0,3%

b) 0,25%

c) 0,6%

d) 37,5%

e) 12,5%

Respuesta:

 Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

a) 1/2

b) 5/6

c) 1/5

d) 1/32

e) 1/64

Repuestas:

INTRODUCCIÓN

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Una probabilidad cerca de 0 indica que es poco probable que ocurra un evento y una probabilidad cerca de 1 indica que es casi seguro de que ocurra el evento, un evento es una colección de puntos muéstrales

Cuando estamos definiendo la probabilidad, se puede definir en términos sencillos, como el número de eventos deseados, o básicamente la ocurrencia del evento deseado, sobre los eventos totales disponibles. En el caso de una moneda, tenemos dos posibilidades: que se obtenga en un lanzamiento la cara 1, o que se obtenga la cara 2. Esos son los dos eventos disponibles. Es lógico pensar que cuando ocurre uno no ocurre el otro, que es lo que se espera al lanzar una moneda. La probabilidad sería 1 evento esperado, sobre 2 posibles situaciones.

Por ende trataremos los siguientes tipos de probabilidades:

• Probabilidad de un evento simple

• Probabilidad porcentual

• Probabilidad de eventos independientes

• Probabilidad de eventos complementarios

• Probabilidad con el empleo del diagrama de árbol

• Probabilidad condicional

• Probabilidad de la unión de eventos

• Probabilidad con enunciados en común

• Distribución de Bermulli.

OBJETIVOS GENERALES

• Reconocer todas las clases de probabilidades, con sus respectivos ejercicios.

• Enfocar en la solución de problemas de probabilidades hacia las pruebas ICFES.

• Analizar cada uno de los ejemplos presentados.

• Identificar en qué casos se usa cada uno de los tipos de probabilidad

JUSTIFICACIÓN

La probabilidad es muy importante en el mundo moderno porque no sólo busca predecir simples eventos sino que se utiliza en diversas industrias como estudios para la eficacia de dichas empresas con respecto a las distintas investigaciones. Por ende, este trabajo se hace con el fin de estudiar y analizar la distribución de probabilidades y asociar dichos procesos a cosas del mundo real, es decir, aplicar los elementos básicos y la teoría de las clases de probabilidad en determinados eventos.

CONCLUSIÓN

De este trabajo podemos concluir que la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables, La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Con todo lo aprendido, podemos concluir que la probabilidad se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero método de ayuda para informar.

BIBLIOGRAFÍA

Enlaces:

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

https://es.scribd.com/doc/41665506/7/VIII-Probabilidad-con-enunciados-en-comun

http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html

PROBABILIDAD

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

CLASES DE PROBABILIDAD

1. Probabilidad de un evento simple:

Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones. Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Este evento es un resultado que ya no se puede segmentar o subdividir en más resultados.

Ejercicios

 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

 ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

 La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

 Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Solución:

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P= (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P= (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

 Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

2. Probabilidad porcentual:

La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre 0 y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P (Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre 0 y 1.

Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 50% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 50% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad.

Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades.

EJERCICIOS:

 Si siempre se acierta en una ruleta formada por cinco sectores iguales numeradas de la forma 1, 2, 3, 4,5. ¿Cuál la probabilidad de que en un lanzamiento resulte 2?

Solución

Como todos los sectores son iguales, cada sector tiene la misma probabilidad de salir, entonces: p ( sacar 2 ) = 1/5 * 100% = 20%

 En una caja se tienen fichas numeradas del 1 al 50. Si se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la ficha extraída no sea mayor que 20?

Solución

Solo pueden sacarse 20 fichas que cumplan la condición, entonces:

P (ficha no mayor que 20) = 20/50 * 100% = 40%

 25% de alumnos generalmente reprueban Matemáticas, 30% reprueban Física y 10% reprueba Matemáticas y Física.

Calcular la probabilidad de:

a) Reprobar Física dado que reprueba Matemáticas

b) Reprobar en Matemáticas dado que reprobó Física

Solución

Para resolver este problema se utiliza la fórmula de probabilidad condicional

p (A/B) = P(A^B)/P (B)

a) P (F/M) = P (F^M)/P (M)

P (F/M) = 0.10/0.25 = 0.2 = 20%

b) P (M/F) = P (M^F)/P (F)

P (M/F) = 10/30 * 100 = 33.3 %

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000.

Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento.

Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

a) 8000 * 21%

b) 8000 * 79%

c) 21%

d) 79%

e) 21 * 79%

Solución

La cantidad de bolas rojas y azules no importa, por tanto si se sacaron 21 bolas rojas de 100 intentos, la probabilidad de sacar una bola roja es del 21%, la respuesta es "C"

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000. Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento. Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

A) 8000 -21%

B) 8000 -21%

C) 21%

D) 79%

E) 21 -79%

Solución:

No importa el número total de bolitas en la caja, si de 100 extracciones con reposición se obtuvo 21 rojas, entonces la probabilidad de extraer una bolita roja es 21%. Alternativa C).

3. Probabilidad de eventos independientes:

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:

 Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de sello

(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P (tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

 El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la

Probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es

1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego

5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es: 5/6= primer juego

(5/6)(5/6)=25/6 5/6= Segundo juego

 Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es ½

 En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15

% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%

de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:

Sea M =Escoger a una mujer.

E =Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de la probabilidad de ambos eventos.

35

P (M∩ E) =P (M) • P (E)

P (M∩ E)= (35 ^7)/ (100 ^20) • (15/100)

=7/(20^4) • (15^3)/100

= (21/4) (1/100%)

= 5,25%

 Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es?

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de

½.

Como todas las etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 =1/64

4. Probabilidad de eventos complementarios:

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Ejemplo:

-Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

-Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

-Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

EJERCICIOS:

 Se lanza dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de no obtener dos caras? A) 12 B) 14 C) 34 D) 43 E) 18

Solución:

Cada lanzamiento es independiente del otro, por lo tanto las probabilidades de obtener cara de cada lanzamiento se multiplicarán entre sí. Para ello debemos tener presente que cada evento de lanzar una moneda es independiente con el otro lanzamiento y la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es una dedos, esto es, 1/2. Así, P (dos Caras) = P(C)

P(C) 11=•221=4 Pero la probabilidad pedida es el complemento de ello, es decir, lo que falta para alcanzar la cantidad numérica de 1. Esto es, 34.

 La probabilidad que una persona se despierte para trabajar un día domingo es de 0,2 ¿cuál es la probabilidad de que este no se despierte un día domingo para trabajar?

Solución:

Sería la probabilidad del evento complementario, que vendría siendo del 0,8.

 Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es de 0,89. ¿Cuál es la probabilidad de que no convierta el penal? A) -0,89B) -0,11C) 0,11D) 0,21E) 0,89

Solución:

Sea A el evento de convertir un penal, entonces, P(A) = 0,89.La probabilidad de no convertir un penal viene dada por: P (A) = 1 – P(A) = 1 – 0,89 = 0,11. Alternativa C)

 Un avión de guerra sale con 2 misiles con la misión de destruir un objetivo enemigo. La probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5, independiente uno del otro. Si el avión lanza ambos misiles en el ataque, ¿Cuál es la probabilidad de que no dé en el blanco?

A) 0,04 B) 0,20 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,40

Solución:

Que un proyectil no dé en el blanco constituye un evento complementario que la que indica el enunciado. Por lo tanto, tal probabilidad es 411=55.Que ello ocurra dos veces sucesivas es111•==0,045525 Alternativa A).

5. Probabilidad con el empleo de diagrama de árboles:

Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Ejercicios:

 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

-Seleccionar tres niños.

-Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

-Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

-Seleccionar tres niñas.

 Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

-Tres caras.

 Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

6. Probabilidad condicional:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Ejercicios:

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9

 Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera canica sea roja?

b) La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

Solución:

a) La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R₁)=10/5.

b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad P (T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas transparentes en un total de 14 restantes.

 Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución:

De igual manera que el ejercicio 3 se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

 Se extraen dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcular la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros.

b) Una de copas u otra de oros.

c) Al menos una de oros.

d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

a) P=(10/40)(9/39)=3/52=0.058

b) P=2(10/40)(10/39)=5/39=0.128

c) P=1-P (ninguna de oros)=1-(30/40)(29/30)=23/52=0.442

d) P=(10/40)(10/39)=5/78=0.064

 Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

A = "la suma de los puntos es siete" y

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

Solución:

El suceso A|B es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por lo tanto,

P (B|A)=2/6=1/3

Se clasifica en:

Extracción de objetos sin reposición:

Ejercicios:

1-

2-

3-

4-

5-

7. Probabilidad de la unión de un evento: si A y B son eventos, la probabilidad de la unión de A y B, es la probabilidad de que pase al menos uno de estos dos eventos; puede pasar sólo A, o sólo B o pueden pasar ambos.

Clasificados a su vez en:

a) Mutuamente excluyente: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

Ejemplos:

1-

2-

3-

4-

5-

b) No excluyentes entre sí: Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplos:

 Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5

a) 9/19

b) 8/19

c) 6/19

d) 3/19

e) 1/19

Respuesta:

 Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?

a) 2/5

b) 3/25

c) 22/25

d) 19/50

e) 1/10

Respuesta:

 Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

a) 1/3

b) 1/2

c) 5/6

d) 7/6

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:

a) 1/4

b) 1/2

c) 1/9

d) 23/36

e) 27/36

Respuesta:

 De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte8 o trébol?

a) 17/52

b) 4/13

c) 13/52

d) 9/26

e) 15/52

Respuesta:

8. Probabilidad con enunciados en común:

Ejemplos:

 Se extrae una bola de una caja que contiene 1 bola roja, 3 azules y 6 blancas ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?

a) 10%

b) 60%

c) 70%

d) 50%

e) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de no sacar una bola roja?

a) 0,9

b) 0,1

c) 9 %

d) 30%

e) 60%

Respuesta:

 Una ruleta está dividida en seis sectores de igual medida (dos grises y 4 blancas). Se hace girar la ruleta dos veces consecutivas y se registra los colores al detenerse.

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 En referencia a la figura anterior. ¿Cuál es la probabilidad de caer una vez en gris y una vez en blanco?

a) 4/9

b) 1/9

c) 5/9

d) 7/9

e) 2/9

Respuesta:

 Una urna o caja contiene 4 bolas negras y 3 blancas. La probabilidad de extraer dos bolas blancas con reposición es:

a) 4/7

b) 3/7

c) 12/49

d) 9/49

e) 1/7

Respuesta:

9. Distribución de Bernoulli: Es el modelo más simple de la probabilidad, se aplica en situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad.

Ejemplos:

 Una persona que participa en un concurso debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en las seis etapas es:

a) 1/2

b) 1/6

c) 1/12

d) 1/32

e) 1/64

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, salga una cara y dos sellos?

a) 3/8

b) (1/8)3

c) (1/2)3

d) 3x 1/2

e) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar 3 monedas, una de ellas muestre cara y las otras dos, sello?

a) 0,3%

b) 0,25%

c) 0,6%

d) 37,5%

e) 12,5%

Respuesta:

 Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

a) 1/2

b) 5/6

c) 1/5

d) 1/32

e) 1/64

Repuestas:

INTRODUCCIÓN

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Una probabilidad cerca de 0 indica que es poco probable que ocurra un evento y una probabilidad cerca de 1 indica que es casi seguro de que ocurra el evento, un evento es una colección de puntos muéstrales

Cuando estamos definiendo la probabilidad, se puede definir en términos sencillos, como el número de eventos deseados, o básicamente la ocurrencia del evento deseado, sobre los eventos totales disponibles. En el caso de una moneda, tenemos dos posibilidades: que se obtenga en un lanzamiento la cara 1, o que se obtenga la cara 2. Esos son los dos eventos disponibles. Es lógico pensar que cuando ocurre uno no ocurre el otro, que es lo que se espera al lanzar una moneda. La probabilidad sería 1 evento esperado, sobre 2 posibles situaciones.

Por ende trataremos los siguientes tipos de probabilidades:

• Probabilidad de un evento simple

• Probabilidad porcentual

• Probabilidad de eventos independientes

• Probabilidad de eventos complementarios

• Probabilidad con el empleo del diagrama de árbol

• Probabilidad condicional

• Probabilidad de la unión de eventos

• Probabilidad con enunciados en común

• Distribución de Bermulli.

OBJETIVOS GENERALES

• Reconocer todas las clases de probabilidades, con sus respectivos ejercicios.

• Enfocar en la solución de problemas de probabilidades hacia las pruebas ICFES.

• Analizar cada uno de los ejemplos presentados.

• Identificar en qué casos se usa cada uno de los tipos de probabilidad

JUSTIFICACIÓN

La probabilidad es muy importante en el mundo moderno porque no sólo busca predecir simples eventos sino que se utiliza en diversas industrias como estudios para la eficacia de dichas empresas con respecto a las distintas investigaciones. Por ende, este trabajo se hace con el fin de estudiar y analizar la distribución de probabilidades y asociar dichos procesos a cosas del mundo real, es decir, aplicar los elementos básicos y la teoría de las clases de probabilidad en determinados eventos.

CONCLUSIÓN

De este trabajo podemos concluir que la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables, La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Con todo lo aprendido, podemos concluir que la probabilidad se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen son un verdadero método de ayuda para informar.

BIBLIOGRAFÍA

Enlaces:

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

https://es.scribd.com/doc/41665506/7/VIII-Probabilidad-con-enunciados-en-comun

http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html

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