Progresion Aritmetica

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

a_n = a_1 + {(n-1)}{d} \,

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es a\, y la diferencia común es d\,, entonces el término n\,-ésimo de la sucesión viene dada por

a + nd\,, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.

a + (n-1)d\, n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.

La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:

a_1, a_2, a_3,..., a_m,..., a_n\, de diferencia d\,

tenemos que:

a_1 = a_1\,

a_2 = a_1 + d\,

a_3 = a_2 + d\,

...

a_{n-1} = a_{n-2} + d\,

a_n = a_{n-1} + d\,

sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:

(I)a_n = a_1 + (n-1)d\,

expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos a_m\, y a_n\, (m<n\,) de la progresión anterior y pongámolos en función de a_1\,:

a_m = a_1 + (m-1)d\,

a_n = a_1 + (n-1)d\,

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:

(II)a_n = a_m + (n-m)d\,

expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de que la diferencia d\, de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.

Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)

d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.

Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2)

Interpolación de términos restantes[editar · editar código]

Interpolar k términos diferenciales entre dos números a \, y b \, dados, es formar una progresión aritmética de k+2 \, términos, siendo a \, el primero y b \, el último. El problema consiste en encontrar la diferencia d\, de la progresión.

Apliquemos (II), a_n = a_m + (n-m)d \,, teniendo en cuenta que a = a_m \,, b = a_n \,, n = k+2 \, y m = 1 \,:

b = a + (k+2-1)d \,

b = a + (k+1)d \,

de dónde, si despejamos d:

(III)d = \frac{b-a}{k+1} \,

Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según (III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3

d = \frac{14-2}{3+1} \,

d = 3 \,

Los términos a interpolar serán a_2 = 5 \,, a_3 = 8 \,, y a_4 = 11 \,.

Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:

2, 5, 8, 11, 14

Suma de términos de una progresión aritmética[editar · editar código]

Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquéllos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.

Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos[editar · editar código]

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.

Sea la progresión aritmética de diferencia d :

a_1, a_2, a_3, \cdots , a_{n-2}, a_{n-1}, a_n \,

Sumemos el primer y último

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