Propiedades De La Probabilidad

2. PROBABILIDAD DE EVENTOS

2.1 Definición clásica de probabilidad

Si los eventos elementales son igualmente probables, la probabilidad de un evento A es el cociente del número de casos favorables al evento A entre el número total de casos posibles, esto es:

P(A) = Número de casos favorables al evento A

Número Total de casos posibles en S

La definición clásica de probabilidad no puede usarse en forma general debido a que presenta los siguientes inconvenientes:

a) No puede aplicarse cuando el espacio muestral es infinito.

b) Cuando los eventos elementales no son igualmente probables.

No obstante, a pesar de los inconvenientes antes mencionados, la definición clásica de probabilidad es usada ampliamente para resolver una gran cantidad de problemas reales.

Propiedades de la definición clásica de probabilidad

La definición clásica de probabilidad posee las propiedades siguientes:

1. P(S) = 1

2. P() = 0

3. 0  P(A)  1

4. P(AUB) = P(A) + P(B) sí AB = 

5. P(AUB) = P(A) + P(B)  P(AB) sí AB  

6. Si AB, entonces P(A)  P(B)

7. P(ABc) = P(A)  P(AB)

Desarrollo axiomático de la probabilidad

La probabilidad es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando se lleva a cabo el experimento. Por lo tanto, la probabilidad de un evento también es un número real que mide la posibilidad colectiva, de ocurrencia de los resultados del evento cuando se lleve a efecto el experimento. A continuación se presenta la definición axiomática de la probabilidad.

Definición

Sea S un espacio muestral y sea A cualquier evento de S. Se llama función de probabilidad sobre el espacio muestral S a P(A) si se cumplen los siguientes axiomas:

1. P(A)  0

2. P(S)  1

3. Si, para los eventos (A1, A2,  ) y AiAj  

P(A1UA2U)  P(A1) + P(A2) + 

El axioma (3) comprende los siguientes dos casos particulares:

3.1 Si A y B son dos eventos mutuamente exclusivos (AB = ), entonces P(AUB) = P(A) + P(B)

3.2 Si A1, A2, ,An son eventos mutuamente exclusivos, entonces P(A1UA2UUAn) = P(A1) + P(A2) + + P(An)

A continuación se muestran algunas propiedades, consecuencias de estos tres axiomas.

1. Si  es el evento imposible, entonces P() = 0

Demostración:

Sabemos que: S = S U y S  = 

Por lo tanto: P(S) = P(SU)

Por el axioma 3.1: P(S) = P(S) + P()

Por el axioma 2: 1 = 1 + P()

La igualdad se cumple si: P() = 0

2. Si Ac es el complemento de un evento A, entonces P(Ac) =1  P(A)

Demostración:

Sabemos que: S = AUAc y AAc = 

Por lo tanto: P(S) = P(AUAc)

Por el axioma 3.1: P(S) = P(A) + P(Ac)

Por el axioma 2: 1 = P(A) + P(Ac)

Despejando P(Ac): P(Ac) = 1  P(A)

3. Si A y B son dos eventos, entonces P(ABc) = P(A)  P(AB)

Demostración:

Se aprecia que: A = ABcUAB y (ABc)(AB) = 

Por lo tanto: P(A) = P(ABcUAB)

Por el axioma 3.1: P(A) = P(ABc) + P(AB)

Despejando P(ABc): P(ABc) = P(A) 

...