Representación De Funciones Mediante La Serie De Taylor

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor

DEFINICIÒN

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos ha, es la serie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométrica

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

Función W de Lambert

Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec (x) son Números de Euler.

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