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Reseña Historica del Algebra Lineal Moderna

Jennifer Juliado el Viernes Mayo 01, 2009 10:34 pm

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro De lineale Ausdehnungslehre.

William Rowan Hamilton (4 de agosto de 1805 – 2 de septiembre de 1865) fue un matemático, físico, y astrónomo irlandés, que hizo importantes contribuciones al desarrollo de la óptica, la dinámica, y el álgebra. Su descubrimiento del cuaternión es quizá su investigación más conocida. El trabajo de Hamilton en dinámica fue después decisivo en el desarrollo de la mecánica cuántica, donde un concepto fundamental llamado hamiltoniano lleva su nombre. Hamilton demostró su inmenso talento a una edad muy temprana, cosa que hizo decir al Dr. John Brinkley, astrónomo y obispo de Cloyne, en 1823 que Hamilton a la edad de 18 años: "Este joven, no digo que será, sino es, el primer matemático de su tiempo". Al final de su vida tuvo graves problemas de alcoholismo.

Quizás el momento más recordado de su vida fue cuando, según cuenta el mismo, acudió a su cabeza como un relámpago, la estructura de los números cuaternionicos. Evidentemente, Hamilton llevaba mucho tiempo pensando en aquel problema, pero sea como fuere, un día de 1843, paseaba por el puente de Brongham, que cruza el canal Real de Dublín, cuando de repente comprendió la estructura de los cuaterniones. Acto seguido grabó con la punta de su navaja, sobre una piedra del puente la feliz idea. ( esta inscripción no se conserva hoy día).

Los cuaterniones tienen una gran importancia en física relativista y en física cuántica, así como para demostrar un teorema propuesto por Lagrange según el cual, cualquier entero puede escribirse como la suma de 4 cuadrados perfectos.

Cuenta la leyenda, que a Hamilton se le permitía pisar el césped de la Universidad, algo totalmente prohibido. Este hecho camina entre la realidad y la ficción. Posiblemente ocurriera que absorto en sus meditaciones descuidara esta prohibición, y accidentalmente caminase por los jardines, aunque absolutamente nadie en toda Irlanda se hubiera atrevido a interrumpirle o a amonestarle. Esta anécdota seguramente sirviera para dar idea de la categoría de Hamilton como uno de los grandes matemáticos de su tiempo y de la historia.

Teorema de Hamilton

Postula que el vector velocidad de un planeta, sometido a la Ley de Fuerzas de Kepler alrededor del Sol, describe un círculo. Hamilton llamó hodógrafo a la curva descrita por el vector velocidad (del griego hodos, camino).

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el 2º y 3er cuadrante del plano cartesiano. Un vector, aquí, es un segmento de línea directa, caracterizado por ambas longitudes y magnitudes, así como dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar ciertas magnitudes físicas como fuerzas y pueden ser añadidas (sumadas) y multiplicadas como magnitudes escalares, entonces formando el primer ejemplo real de espacio vectorial.

El Álgebra Lineal hoy en día se ha extendido a considerar ''n''-espacio, puesto que los más útiles resultados de los cuadrantes segundo y tercero pueden ser extendidos ''n''-dimensionalmente en el espacio, pero podemos considerar que el álgebra lineal investiga y abarca espacios infini-dimensionales. Aunque mucha gente no puede visualizar vectores en ''n''-espacio, como los vectores ó ''n''-multiplo es útil representando información. Puesto que los vectores, como ''n''-múltiplo, son considerados listas ''ordenadas'' de ''n'' componentes, la mayor parte de la gente puede resumir y manipular información eficientemente en esta estructura. Por ejemplo, en economía, uno puede crear y usar, digamos, vectores octo-dimensionales ú óctuples para representar el Producto Interno Bruto para 8 diferentes países. Uno puede simplemente mostrar el Producto Interno Bruto en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, y es parte del álgebra abstracta, y bien podemos integrar todo esto en un campo. Algunos ejemplos contundentes en este grupo son la inversión lineal de mapas o matrices, y el anillo de mapas lineales de un espacio vectorial. El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo, notablemente, en la descripción de derivadas de alto grado (o nivel) en el análisis vectorial y en el estudio de los productos de tensor (''desconozco la traducción de esta última palabra'') y sus mapas alternativos.

Un espacio vectorial se define sobre un campo, tal como es el campo de los números reales o en el campo de los números complejos. Los operadores lineales toman/tienen efecto en el espacio lineal de otro (o en sí mismo), en una manera que es compatible con la suma/adición y la multiplicación escalar en un (o más) espacio(s) vectorial(es). Es el arreglo en sí las transformaciones del espacio vectorial. Si la base de un espacio vectorial está definida, cada transformación está definida, y cada transformación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y origen vectores (también denominados auto vectores), se consideran parte del álgebra.

Uno puede resolver problemas lineales de matemáticas -o aquellos que exhiben un comportamiento de linealidad. Por ejemplo el cálculo diferencial que es simplemente hace un estupendo trabajo en la aproximación lineal de funciones. La diferenciación entre problema no-lineal y uno lineal es muy importante en la práctica.

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos

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