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Polinomio: es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Grado de un polinomio

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.

P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.

Polinomios de una variable

Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0,…, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama Mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Raíces de un Polinomio

Un número a es una raíz de un polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero, P(a) = 0. En este caso, el polinomio P(x) es divisible por x – a, y este es un factor de P(x)

Ejemplo:

El polinomio tiene como raíces 2 y 4 ya que:

Por lo tanto el polinomio P(x) es divisible por X-2 y X-4. Estos dos binomios son factores del polinomio P(x)

Suma

La suma de dos polinomios se calcula sumando los términos semejantes de ambos.

Resta

La resta de dos polinomios se obtiene sumando el primero con el opuesto del segundo. Sean los polinomios:

y

el opuesto de Q(x) será: y la resta seria asi:

División

Como en todas las divisiones, Dividendo D(x) es igual a divisor d(x) por cociente c(x) mas el resto R(x)

Si , la división es exacta, y se dice que el polinomio D(x) es divisible por d(x), que D(x) es múltiplo de d(x) o que d(x) es divisor de D(x). En caso contrario la división es entera.

1-Se ordenan los polinomios según las potencias de x, de mayor a menor

2-Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor:

3-El término hallado del cociente se multiplica por el divisor y el producto se resta del dividendo

4- Se baja el siguiente término del dividendo y se divide el primer termino del dividendo parcial entre el primer termino del divisor. Se continua el proceso hasta llagar a un resto cuyo grado sea menor que el grado del divisor.

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini se aplica en las divisiones cuyo divisor es un polinomio de la forma x-a, donde a es un numero real.

Ejemplo si dividimos los polinomios siguientes de la forma tradicional:

Nos da como resultado:

El método de Ruffini es el siguiente:

- Se coloca en la primera línea los coeficientes del dividendo

- En la parte inferior izquierda se coloca el término independiente del divisor cambiado de signo

- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.

- Se multiplica "a" ( en nuestro caso -1) por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente

- Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.

- Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes

Multiplicación de Polinomios.

Si se tienen dos polinomios muy simples, por ejemplo, dos monomios, el producto de ellos dos es muy fácil de calcular. Por ejemplo:

...