Sistema De Masa Variable

SISTEMAS DE MASA VARIABLE

Ecuaciones generales para sistemas con masa variable

Un cohete disminuye su masa con el tiempo, para lograr aumentar su velocidad. Se trata de un sistema de masa variable. En la descripción del movimiento de un cohete, no puede emplearse la segunda ley de Newton F= ma, sino la definición general de fuerza:

dp/dt=F

Sea v la velocidad del cohete respecto al planeta, y u la velocidad constante de los gases expulsados respecto del cohete; v-u será la velocidad de los gases respecto del planeta. Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=dm/dt

La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m₀-Dt. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y Dt es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.

Cuando el cohete expulsa una cantidad de combustible dm, incrementa su velocidad en dv, la variación del momento lineal será igual al momento lineal del cohete más el momento lineal de los gases expulsados en el instante t+dt, menos el momento lineal del cohete en el instante t.

dp=(m-dm)(v+dv)+(v-u)dm-mv

Simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior queda

dp=mdv-udm

La razón del cambio del momento lineal con el tiempo será entonces:

dp/dt=m dv/dt-u dm/dt

La derivada del momento lineal con el tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre el cohete F=-mg, donde g es la intensidad del campo gravitatorio cerca de la superficie del planeta que supondremos constante. Por tanto,

m dv/dt=uD-mg

Esta expresión se puede interpretar del siguiente modo: un cohete puede considerarse un móvil de masa m sometido a dos fuerzas en la misma dirección y en sentidos contrarios: el empuje de los gases uD y el peso mg.

Como caso particular mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, y sobre el cohete actúa únicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsión de los gases al quemarse el combustible.

La ecuación anterior la podemos escribir

dv/dt=-g+u D/(m^0-Dt)

Que se puede integrar de forma inmediata

∫_(v₀)^v▒〖dv=∫_0^t▒(-g+u D/(m^0-Dt))dt〗

Obteniéndose la expresión de la velocidad en función del tiempo

v=v₀-gt+uln (m₀)/(m^0-Dt)

Volviendo a integrar

∫_(x₀)^x▒〖dx=∫_0^t▒vdt〗

Se obtiene con un poco más de trabajo la posición x del móvil en cualquier instante t.

x=x₀+v₀t-1/2 gt^2+u(tlnm+1/D ((m₀-Dt)(ln⁡(m₀-Dt)-1)-m₀(lnm₀-1))

Ecuación del Cohete

La ecuación del cohete de Tsiolkovski, llamada así por Konstantín Tsiolkovski que fue el primero que la derivó, considera el principio del cohete: un aparato que puede aplicar aceleración al mismo (empuje) expulsando parte de su masa a alta velocidad en la dirección opuesta, debido a la conservación de la cantidad de movimiento

Relación entre las masas original y final, para el cohete.

Introducción

La expresión de Tsiolkovski expresa que para cualquier maniobra o viaje que incluya maniobras:

∆v=vₑln (m₀)/(m₁)

O equivalentemente

m₀=m₀e^(-∆v/vₑ), m₁=m₁e^(∆v/vₑ)

Dónde:

m₀ = masa total inicial.

m₁ = masa total final

vₑ = velocidad de los gases de salida con respecto al cohete (impulso específico).

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