Sucesiones Y Progresiones

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Hallar, paso a paso, los 6 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a. Un=(n-1)^(n-1) n≥3

U_3=(3-1)^(3-1) = (2)^2 = 4

U_4=(4-1)^(4-1) = (3)^3 = 27

U_5=(5-1)^(5-1) = (4)^4 = 256

U_6=(6-1)^(6-1) = (5)^5 = 3125

U_7=(7-1)^(7-1) = (6)^6 = 46656

U_8=(8-1)^(8-1) = (7)^7 = 823543

b. Vn=(3n/(n+1)) n≥1

V_1=((3*1)/(1+1)) = 3/2 = 1.5

V_2 ((3*2)/(2+1)) = 6/3 = 2

V_3=((3*3)/(3+1)) = 9/4 = 2.25

V_4=((3*4)/(4+1)) = 12/5 = 2.4

V_5=((3*5)/(5+1)) = 15/6 = 2.5

V_6=((3*6)/(6+1)) = 18/7 = 2.571

c. Un=(n-1)^(n-2) n≥1

U_1=(1-1)^(1-2) = (0)^(-1) = Infinito complejo

U_2=(2-1)^(2-2) = (1)^0 = 1

U_3=(3-1)^(3-2) = (2)^1 = 2

U_4=(4-1)^(4-2) = (3)^2 = 9

U_5=(5-1)^(5-2) = (4)^3 = 64

U_6=(6-1)^(6-2) = (5)^4 = 625

Determine si la sucesión Wn=(n/(2n+1)) es convergente o divergente. Demuéstrelo paso a paso.

Wn=(n/(2n+1))

W_1=(1/((2*1)+1)) = (1/(2+1)) = 1/3 = 0.333

W_2=(1/((2*2)+1)) = (2/(4+1)) = 2/5 = 0.4

W_3=(1/((2*3)+1)) = (3/(6+1)) = 3/7 = 0.428

W_4=(4/((2*4)+1)) = (4/(8+1)) = 4/9 = 0.444

W_100 (100/((2*100)+1)) = (100/(200+1)) = 100/201 = 0.497

W_1000=(1000/((2*1000)+1)) = (1000/(2000+1)) = 1000/2001 = 0.499

W_1000000=(1000000/((2*1000000)+1)) = (1000000/(2000000+1)) = 1000000/2000001 = 0.4999

R/ La sucesion es convergente por que tiene un limite finito

Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con ellas, si son o no crecientes.

a. Oc=(3n^2+1)/(6n^2+2n+1)

O_c=0.444,0.448 ,0.459 ,0.466 ,0.472,…,0.498… ,0.499,… ,0.4999,…(3n^2+1)/(6n^2+2n+1)

- Sucesión creciente, cada termino es mayor que el anterior.

- La sucesión está acotada

-Cota inferior: 0.444

- Cota superior: 0.5

b. Oc=(5n+1)/n^2

Oc=6 ,2.75 ,1.777 ,1.312 ,1.04 ,…,0.051 ,…,0.005 ,…,0.0005 ,…,(5n+1)/n^2

- Sucesión decreciente, cada termino es menor que el anterior.

- La sucesión está acotada

- Cota superior: 6

- Cota inferior: 0

c. Yn=(1/n) n≥1

Yn=1 ,0.5 ,0.333 ,0.25 ,0.2 ,…,0.01 ,…,0.001 ,…,0.0001 ,…, Yn=(1/n)

- Sucesión decreciente, cada termino es menor que el anterior.

- La sucesión está acotada

- Cota superior: 1

- Cota inferior: 0

Halle la suma de los números múltiplos de 6 menores o iguales a 9126. Y diga ¿Cuántos términos hay?

Los múltiplos de 6 forman una progresión aritmética donde cada término se obtiene sumando 6 al término anterior.

El primer término de la progresión es el 6

Para saber cuántos términos hay dividimos el último término entre 6 y el cociente será el número de términos que hay 9126÷6 = 1521, luego desde el 6 hasta el 9126 hay 1521 términos.

Para calcular la suma de todos los términos de la progresión se usa la ecuación para sumar los n términos consecutivos de una progresión aritmética. Dicha ecuación es:

Sn=(a_1+a_n )n/2

a1 = primer término de la progresión: 6

an = último término de la progresión: 9126

n = número de términos de la progresión: 1521

Sustituimos los datos en la ecuación

Sn=((6+9126)*1521)/2 = (9132*1521)/2 = 13889772/2 = 6944886

R/ Hay 1521 términos. La suma de todos los términos es igual a 6944886.

Halle la suma de los números pares de tres cifras. Y diga ¿Cuántos términos hay?

Forman una progresión aritmética de razón 2. El primer término es 100 y el último 998.

Primero hallamos el número de términos usando la siguiente ecuación:

n=((a_n-a_1)/d)+1

Dónde:

an= Termino n de la progresión: 998

a1= Primer término de la progresión: 100

d = La razón o diferencia común: 2

n = Numero de términos.

Reemplazamos los datos y tenemos:

n=((998-100)/2)+1 = (898/2)+1 = 449+1 = 450 Terminos

Luego hallamos la suma de todos los términos utilizando la siguiente ecuación

Sn=(a_1+a_n )n/2

an= Termino n de la progresión: 998

a1= Primer término de la progresión: 100

n = Numero de términos: 450

Sn= Suma de todos los términos

Reemplazamos los datos en la ecuación:

Sn=((100+998)*450)/2 = (1098*450)/2 = 494100/2 = 247050

R/ La progresión tiene 450 términos y la suma de todos estos es igual a 247050

En una progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

Para hallar la diferencia común utilizamos la siguiente formula:

d=(a_j-a_i)/(j-i)

Dónde:

aj= Valor del término mayor: 66

ai= Valor del término menor: 24

j = Posición del término mayor: 10

i = Posición del término menor: 3

d= Diferencia común

Sustituimos los datos en la ecuación:

d=(66-24)/(10-3) = 42/7 = 6. Diferencia comun

Luego para hallar el valor del primer término utilizamos la siguiente ecuación:

a_1=a_n-[(n-1)d]

Dónde:

an= Último término: 66

n = Numero de términos: 10

d = Razón o diferencia común: 6

a1= Primer termino

Reemplazamos en la ecuación y tenemos:

a_1=66-[(10-1)*6] = 66-(9*6) = 66-54 = 12. Primer termino

R/ El primer término de la progresión es 12. La diferencia común es 6.

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