Teoria Del Valor Esperado

Daniel Bernoulli y la Teoría de la Utilidad Esperada

Alrededor de mediados del siglo XVII se había planteado el problema de formular un marco teórico consistente que permitiera analizar problemas vinculados a lo que hoy podríamos llamar la toma de decisiones microeconómicas bajo incertidumbre. La motivación se originó por varios problemas derivados de los juegos de azar, de la emisión de seguros y de bonos a perpetuidad y de otros problemas vinculados a las finanzas.

El principio que comenzó a utilizarse y generalizarse como expresión de la previsión de los posibles resultados inciertos fue el del valor esperado, desarrollado por Fermat y Pascal en su tratamiento del “problema de los puntos”, problema propuesto por el Chevalier de Méré a Blaise Pascal alrededor del año 1650, que consistía en encontrar la forma más justa de dividir una apuesta hecha en un juego de azar, antes de que este llegara a su fin, entre los dos jugadores. Pascal planteó a su vez este problema a Pierre de Fermat, quien propuso como solución tener en cuenta el valor esperado del resultado del juego para cada uno de los jugadores dada la instancia en que el juego se interrumpe, dividiendo entonces la apuesta entre ambos en proporción a sus chances de ganarlo, es decir, cada uno debía llevarse el monto correspondiente al valor esperado de su apuesta en ese momento. La forma de calcular este valor esperado era multiplicando lo que cada uno podía ganar o perder por el número de maneras en que cada uno de estos resultados podía suceder y luego dividiendo este producto por el número total de maneras en que el juego podía ocurrir. (History of the Mathematical Theory of Probability, de Todhunter, publicado en 1865, es el libro donde mejor se exponen los detalles acerca de cómo Pascal y Fermat fueron obteniendo estas conclusiones).

A través de las obras posteriores de Christian Huygens, De Ratiociniis in Ludo Alae, de 1657, y de Jacob Bernoulli (también conocido como James o Jacques), Ars Conjectandi, publicado en 1713 (pero desarrollado alrededor de 1700 y 1705), se generalizó el concepto de valor esperado, y se utilizó como medida de la expectativa que debería tenerse sobre los resultados posibles de situaciones caracterizadas por la incertidumbre.

El primero en proponer una crítica de la utilización del valor esperado en situaciones que implicaran costos y beneficios monetarios inciertos fue Daniel Bernoulli (sobrino de Jacob). Daniel Bernoulli comienza su memoria Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis, publicada en 1738 por la Academia de San Petersburgo (traducida al inglés y publicada en 1954 en Econometrica Vol. 22 Nro. 1 como “Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk”), diciendo lo siguiente:

“EVER SINCE mathematicians first began to study the measurement of risk there has been general agreement on the following proposition: Expected values are computed by multiplying each possible gain by the number of ways in which it can occur, and then dividing the sum of these products by the total number of possible cases where, in this theory, the consideration of cases which are all of the same probability is insisted upon. If this rule be accepted, what remains to be done within the framework of this theory amounts to the enumeration of all alternatives, their breakdown into equiprobable cases and, finally, their insertion into corresponding classifications.”

Pero a pesar de que el valor esperado era útil para varias de las circunstancias en que se necesitaba expresar una expectativa incierta, D. Bernoulli opinaba que fallaba a la hora de medir el impacto de la incertidumbre o de la suerte (“mensura sortis”) en las situaciones o decisiones que involucraban aspectos vinculados a la riqueza de las personas, en particular cuando los posibles resultados pudieran implicar importantes variaciones de la misma. El supuesto básico de D. Bernoulli va a ser que la percepción del riesgo por cada individuo es diferente, y está en relación inversa a su nivel de riqueza: por ejemplo, ante la propuesta de apostar una determinada cantidad de dinero en un juego de azar, una persona rica percibirá un riesgo menor que una persona pobre, dado que en caso de ganar o perder, la persona rica no sufre grandes modificaciones de su nivel de riqueza mientras que la persona pobre sí.

Es decir, D. Bernoulli afirma que es necesario incorporar a la idea tradicional de Pascal y Fermat de valor esperado de los posibles resultados pecuniarios de una situación azarosa, una noción de valoración subjetiva de estos posibles resultados, noción que llamará emolumentum (la cual se ha traducido como utilidad, pero que podemos traducir también como ganancia, beneficio, gratificación o ventaja), y que es una función de la cantidad de riqueza poseída, con la particularidad de que a medida que esta aumenta, su emolumentum aumenta, pero menos que proporcionalmente. Explícitamente, Bernoulli afirma que cada persona estima sus pronósticos de cualquier exposición al riesgo a la luz de sus circunstancias financieras específicas , motivando esta afirmación con el siguiente comentario:

“Somehow a very poor fellow obtains a lottery ticket that will yield with equal probability either nothing or twenty thousand ducats. Will this man evaluate his chance of winning at ten thousand ducats? Would he not be ill-advised to sell this lottery ticket for nine thousand ducats? To me it seems that the answer is in the negative. On the other hand I am inclined to believe that a rich man would be ill-advised to refuse to buy the lottery ticket for nine thousand ducats. If I am not wrong then it seems clear that all men cannot use the same rule to evaluate the gamble.”

Es decir, rechaza la idea de computar el valor de una determinada exposición al riesgo como la esperanza matemática de esa exposición, afirmando que el valor esperado debe ser diferente de la esperanza matemática, en donde la noción de valor no se refiere a un número o una cantidad abstracta sino a la noción de emolumentum:

“But anyone who considers the problem with perspicacity and interest will ascertain that the concept of value which we have used in this rule may be defined in a way which renders the entire procedure universally acceptable without reservation. To do this the determination of the value of an item must not be based on its price, but rather on the utility it yields. The price of the item is dependent only on the thing itself and is

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