Trabajo Colabarativo 1 De Ecuaciones Diferenciales

ACT. 6 TRABAJO COLABORATIVO No: 1

ECUACIONES DIFERENCIALES

GRUPO 100412_53

JAIRO BAUTISTA TOLOZA Código: 88154034

ERICKSON LEÓN Código:

ORLANDO PULIDO LEÓN Código:88159467

TUTOR

RICARDO GÓMEZ NAVÁEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

OCTUBRE 2011

INTRODUCCIÓN

Por medio de este trabajo, se revisarán las temáticas de la unidad 1 – ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN, y sus capítulos: Introducción a las ecuaciones diferenciales, Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y Campos de aplicación de las ecuaciones lineales de primer orden, mediante la resolución de problemas.

Por medio de este trabajo podemos comprender los conceptos de Las Ecuaciones Diferenciales, uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teórica para los Ingenieros decualquier rama.

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en ella.

1. Defina de las siguientes ecuaciones diferenciales el orden y linealidad.

A. (1-x) y’’ – 4xy’ + 5y = cos x

Corresponde a 2º orden, 1er grado, Lineal

B. xy’’’ – 2〖(y’)〗^4 + y = 0

3er orden, 1er grado, no lineal

C. y’’ + 9y = sen x

Corresponde a 2º orden, 1er grado, Lineal

D. (1-y^2) dx + x dy = 0

X dy/dx + 1 - y^2 = 0

1er orden, 1er grado, no lineal

2. Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, verifique que la función o funciones indicadas son soluciones.

A. y’ = 25 + y^2 , y = 5 tan5x

y = 5 tan 5x ; y´ = 5 - 〖sec〗^2 5x * 5

25 + 〖(5tan5x)〗^2 ; y´ = 25 〖sec〗^2 5x

= 25 + 25〖tan〗^2 5x

= 25(1 + 〖tan〗^2 5x)

= 25 〖sec〗^2 5x = y´

B. y’ – 2y = e^3x ; y= e^3x + + 10e^2x

y´= 3 e^3x + 20e^2x

y´ - 2y = 3 e^3x + 20e^2x – 2e^3x - 20e^2x = e^3x

y’ – 2y = e^3x

C. y’ + 4y = 32 ; y= 8

y´= 0

0 + 4 (8) = 32

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

A. e^x y’ = 2x

e^x dy/dx = 2x

∫▒dx = ∫▒〖2x e^(-x) 〗 dx

y = - 2x e^(-x) - 2 e^(-x) + c

B. y’ = e^(3x+2y)

= e^3x e^2y

dy/dx = e^3x e^2y

∫▒dy/e^2y = ∫▒e^3x dx

∫▒e^(-2y) dy = ∫▒e^3x dx

- 1/2 e^(-2y) = e^3x/3 + c

C. x^2 y^(2 )dy = (y+1) dx

y^(2 )/(y+1) dy = dx/x^2

∫▒〖( y-1+ 1/(y+1)〗 ) dx = ∫▒x^(-2 ) dx

y^(2 )/2 – y + ⃒n (y + 1) = x^(-1)/(-1) + c

y^(2 )/2 – y + ⃒ n (y + 1) = (- 1)/x + c

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

A. (x + 2/y ) dy + ydx = 0

ydx+( x+2/y)dy=0

∂M/∂y =1 ∂N/∂x =1 ∂M/∂y = ∂N/∂x Son exactas

∂F (X,Y)=ydx f (x,y)= ∫▒ydx = yx+h (y )

(∂F (x,y) )/∂y=x+h´ (y) ; x+h´(y)=x+ 2/y

∫▒〖h´(y)= ∫▒2/y 〗 h(y)= 2x/y+ k

B. (ydx+xdy)/(1- x^2 y^2 ) + xdx = 0

ydx+xdy+( x-x^3 y^2 )dx = 0

(y+x- x^3 y^2 ) dx + xdy = 0

∂M/∂N=1-2x^3 y ∂M/∂N=1 ∂M/∂Y ≠ ∂N/∂x No es exacta

C. 2 x (1 + √(x^2-y) dx = √(x^2-y) dx )

(2x+2x √(x^2- y´))dx - √(x^2- y) dx = 0

∂M/∂N= (-x)/√(x^2- y)

∂N/∂x

...