Trabajo Colaborativo 1 Calculo Diferencial

FASE 1

A. Halle los términos generales de las sucesiones:

Para resolver los ejercicios de esta fase tendremos encuentra que “toda progresión es una sucesión “.también tendremos en cuenta si es de tipo aritmético o geométrico según las características

C_n={3,1,-1,-3,-5,….}

Esta sucesión es de tipo aritmético, la diferencia está dada por:

d=U_((n+1) )-U_n=1-3=-2

Y la fórmula para hallar el término general de este tipo de progresiones es el siguiente

U_n=U_a+(n-a)*d Sabiendo que a=1 y U_a=3 tenemos

U_n=3+(n-1)*(-2)=3-2n+2=-2n+5

Luego el término general de esta sucesión es

U_n=-2n+5

C_n={1,3,9,27,81,….}

Esta sucesión es de tipo geométrico, la razón común está dada por

q=U_((n+1) )/U_n =3/1=3

Y la fórmula para hallar el término n_esimo de este tipo de progresiones es la siguiente:

U_n=q^((n-a) )*U_a

Sabiendo que a=1 y U_a=1, tenemos que:

U_n=3^((n-1) )*1= 1/3*3^n=3^n/3

El término general de esta sucesión es: U_n=3^n/3

C_0={1/2,3/4,1,5/4,3/2,…}

Esta sucesión es de tipo aritmético, la diferencia está dada por:

d=U_((n+1) )-U_n=3/4-1/2=1/4

Y la fórmula para hallar el término general de este tipo de progresiones es el siguiente:

U_n=U_a+(n-a)*d

Sabiendo que a=1 y U_a=1/2 tenemos:

U_n=1/2+(n-1)*(1/4)=1/2+n/4-1/4=n/4+1/4

U_n=((n+1))/4

FASE 2

B. Sucesiones monótonas

4. Demostrar que la sucesión: O_n={2n/((n+1) )} es estrictamente creciente

Para eso necesitamos probar que O_((n+1) )-O n>0 y sea:

O_((n+1) )={((2(n+1) ))/(((n+1)+1) )}={((2n+2))/((n+2) )}

Luego:

{((2n+2))/((n+2) )}-{2n/((n+1) )}=2/(((n+1)(n+2) ) )=1/((n+2) )*2/((n+1) )

Luego como ese término es positivo queda demostrado que la sucesión es estrictamente creciente.

Demostrar que la sucesión O_n={1/n} es estrictamente decreciente.

Para eso necesitamos probar que:

O_((n+1) )-O n<0 Y sea O_((n+1) )={1/((n+1) )} luego veamos qué:

O_n={1/n}={1,1/2,1/3,1/4,1/5,…}

Observar cada término de la sucesión vemos que decrece, así que: 1/n>1/((n+1) ) luego esto demuestra que es decreciente estrictamente.

C. Sucesiones acotadas .halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con ellas, si son o no crecientes

Para resolver estos ejercicios tendremos en cuenta las definiciones de máxima cota inferior y mínima cota superior

O_c={(〖3n〗^2+1)/(〖6n〗^2+2n+1)}

Debemos obtener algunos términos de dichas sucesiones, entonces:

O_c={(〖3n〗^2+1)/(〖6n〗^2 2n+1)}={4/9,13/29,28/61,49/105,….}

Se puede inferir que a medida que n crece la sucesión tiende a 0,45, entonces la sucesión tiene como máxima cota inferior a 4/9 y la mínima cota superior es 0,45

7. O_c={(5n+1)/n^2 }

Debemos obtener algunos términos de dichas sucesiones, entonces

O_c={(5n+1)/n^2 }={6,11/4,16/9,21/16,…}

Se puede inferir que a medida que n crece la sucesión tiende a 0, entonces la sucesión tiene como máxima cota inferior a 0 y la mínima cota superior es 6

FASE 3

D. Progresiones.

8. ¿Qué término de una progresión aritmética es 21 si su primer término es -6 y la diferencia común es 3?

Solución:

Datos:

n=?

U_n=21

U_a=-6

d=3

a=1

d = 3

U_n=U_a+(n-1)*d

21=-6+(n-1)*3

21+6=(n-1)*3

27/3=n-1

9+1=n

n=10

9 +1 = n

El término 10 de dicha progresión es 21

9. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron $193.738.560?

Solución:

Datos:

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