Leer Ensayo Completo Algebra

Algebra

Imprimir Documento!
Suscríbase a ClubEnsayos - busque más de 2.242.000+ documentos

Categoría: Ciencia

Enviado por: Rimma 02 junio 2011

Palabras: 84369 | Páginas: 338

...

n general de ecuaciones Diofánticas.............. Dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas....... Método 1: método gráfico............................................. Método 2: método de eliminación............................... Reducción....................................................................... Igualación....................................................................... Sustitución..................................................................... Método 3: método por determinantes......................... Tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas...... Método 1: solución por eliminación........................... Método 2: solución por determinantes....................... Problemas con ecuaciones de primer grado.............. Ecuaciones de primer grado con una incógnita, problemas....................................................................... Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, problemas....................................................................... Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas, problemas....................................................................... Ecuaciones de segundo grado...................................... Método axiomático........................................................ Técnica por factorización............................................. Técnica de completar cuadrados................................. Técnica por la fórmula cuadrática............................... Ecuaciones con radicales.............................................. Ecuaciones con fracciones............................................ Problemas con ecuaciones de segundo grado............ Ecuaciones de tercer grado......................................... Resolución moderna...................................................... Solución de ecuación de tercer grado......................... Ecuaciones polinómicas................................................ Ecuaciones racionales................................................... Fracciones parciales.....................................................

4

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

CAPITULO 2: INECUACIONES................................ INTRODUCCIÓN......................................................... OBJETIVOS................................................................... Desigualdad................................................................... Propiedades de las desigualdades.............................. Operaciones con intervalos.......................................... Inecuaciones lineales.................................................... Inecuaciones lineales con una incógnita.................... Inecuaciones racionales............................................... Inecuaciones cuadráticas............................................. Inecuaciones mixtas..................................................... Problemas con inecuaciones de una variable............ Inecuaciones condos variables..................................... Sistema de inecuaciones, problemas.......................... Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.......... Ecuaciones con valor absoluto..................................... Inecuaciones con valor absoluto.................................. CAPITULO 3: FUNCIONES....................................... INTRODUCCIÓN......................................................... OBJETIVOS..................................................................: Sistema de coordenadas............................................... Coordenadas cartesianas............................................. Diagrama de Venn........................................................ Relaciones...................................................................... Funciones....................................................................... Funciones de valor real................................................ Las funciones según el tipo de relación.....................

5

UNAD

Simetría de las funciones............................................. Descripción de una función.......................................... Clasificación de funciones............................................ Funciones especiales.................................................... Funciones algebráicas.................................................. Función cuadrática....................................................... Función cúbica............................................................... Función polinómica...................................................... Funciones racionales.................................................... Función radical............................................................. Funciones trascendentales.......................................... Función logarítmica...................................................... Funciones trigonométricas.......................................... Relaciones trigonométricas......................................... Función trigonométrica............................................... Función seno.................................................................. Función coseno.............................................................. Función tangente.......................................................... Funciones hiperbólicas................................................ Algebra de funciones.................................................... Composición de funciones........................................... Funciones inversas....................................................... Funciones algebráicas inversas.................................. Funciones trascendentales inversas.......................... Aplicación de las funciones......................................... Trigonométricas............................................................ CAPITULO 4: Trigonometría..................................... INTRODUCCIÒN......................................................... OBJETIVOS...................................................................

6

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Identidades trigonométricas....................................... Identidades básicas...................................................... Identidades de suma y diferencia.............................. Identidades de ángulo doble....................................... Identidades de ángulo mitad...................................... Identidades producto-suma........................................ Identidades de suma- producto.................................. Demostración de identidades trigomoétricas........... Ecuaciones trigonométricas........................................ Análisis de triángulos no - rectángulos..................... Teorema de coseno....................................................... Triángulos no rectángulos, problemas de aplicación....................................................................... Hipernometría.............................................................. Identidades hiperbólicas............................................. AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1.............................. UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA................... INTRODUCCIÓN......................................................... OBJETIVOS.................................................................. MAPA CONCEPTUAL................................................ CAPÍTULO 1: LA RECTA.......................................... INTRODUCCIÓN......................................................... Distancia Euclidiana.................................................... La recta........................................................................... Ecuación de la recta.....................................................

7

UNAD

La pendiente................................................................. El intercepto................................................................. Rectas paralelas............................................................ Rectas perpendiculares................................................ CAPÍTULO 2: LAS CÓNICAS.................................... INTRODUCCIÓN.......................................................... Circunferencia............................................................... La elipse......................................................................... Ecuación canónica con focos en y................................ Excentricidad................................................................. Parábola.......................................................................... Hipérbolas...................................................................... Asíntotas........................................................................ Traslación de ejes.......................................................... Circunferencia............................................................... Elipse.............................................................................. Parábola.......................................................................... Hipérbola....................................................................... Ecuación general de segundo grado........................... Circunferencia............................................................... Elipse.............................................................................. Hipérbola....................................................................... Aplicación de la geometría analítica.......................... UNIDAD 3: SUMATORIA Y PRODUCTORIAS....... INTRODUCCIÓN.......................................................... OBJETIVOS.................................................................. MAPA CONCEPTUAL.................................................

8

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

CAPITULO 1: LAS SUMATORIAS............................ INTRODUCCIÓN.......................................................... Denotación de sumatorias............................................ Teoremas........................................................................ Propiedades................................................................... Operaciones de sumatorias......................................... La media aritmética...................................................... Dobles sumatorias......................................................... CAPITULO 2: PRODUCTORIAS............................... INTRODUCCIÓN.......................................................... La productoria................................................................ Cálculo de productorias............................................... Propiedades de productorias...................................... Ejercicios diversos........................................................ Factorial......................................................................... AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3............................... INFORMACIONES DE RETORNO........................... BIBLIOGRAFIA............................................................

9

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

INTRODUCCIÓN

E

stimados estudiantes bienvenidos, al curso de álgebra y Trigonometría y Geometría Analítica. La matemática como ciencia a través de su historia ha buscado fundamentos sólidos que garanticen su validez absoluta y universal, dando así su gran forma de ser exacta y rigurosa, esto hace que presente diversas ramas, desde la aritmética, pasando por el álgebra, geometría; hasta temáticas avanzadas como la teoría de conjuntos, geometría diferencial y otros. Todo esto tiene como finalidad dar la sociedad una «herramienta formal» que le permite demostrar lo que está bien y lo que está mal. En este orden de ideas el curso que se presenta aquí, tiene diversas temáticas que de una u otra forma hacen parte de esta gran herramienta formal. Las temáticas presentadas son de interés para estudiantes de cualquier programa unviersitario, están desarrolladas en un lenguaje sencillo; pero con gran rigor matemático, ya que el propósito fundsamental es desarrollar en los estudiantes conocimientos sólidos en álgebra, trigonometría y geometría analítica. En curso está desarrollado en tres unidades a saber: La unidad uno, contempla lo referente al álgebra y Trigonometría, allí se presentan, los principios, teorías, propiedades, leyes y aplicaciones de las ecuaciones,

11

UNAD

inecuaciones y funciones.

También lo referente a la

trigonometría analítica. Para desarrollar estos conocimientos es pertinente activar los conocimientos previos en aritmética, álgebra y geometría plana y espacial; lo cual se ofrece en el curso de matemáticas básicas, el cual se debe consultar cuando así se requiera. La unidad dos, hace referencia a la geometría analítica, en donde se analizar lo referente a la recta, circunferencia, elipse, parábola e hipérbola, haciendo énfasis a los parámetros, gráfica, ecuación canónica y ecuación general de las mismas. No se puede pasar por alto el análisis de la ecuación general de segundo grado y su relación con las figuras geométricas analizadas. Finalmente se trabajan algunas de las muchas aplicaciones que tiene la geometría analítica. La tercera unidad, trabaja sobre las sumatorias y productorias, temáticas aparentemente nuevas, pero su importancia es el contexto matemático, motiva a trabajarlas en forma detallada. Estos temas son insumos matemáticos importantes para poder abordar temas de matemáticas más vanzados como las progresiones, integrales, sucesiones, entre otros. Para una buena comprensión e interiorización de los conocimientos, se debe hacer un buen uso de la metodología que la UNAD propone en su modelo académico - pedagógico, donde desde el estudio independiente hasta el de grupo de curso, son fundamentales en el trabajo autónomo del estudiante; la guía didáctica como la carta de navegación del curso, permite que el estudiante dinamice su proceso de aprendizaje. Los ejemplos modelos ilustran el tema, los ejercicios propuestos motivan la profundización del mismo; además, de que se presenta su respuesta para corrobar que el procedimiento es adecuado. Cada unidad tiene la autoevaluación, que permite al estudiante hacer un seguimiento de su proceso académico.

12

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Para aprender, matemáticas, se requiere fundamentalmente querer hacerlo, tener algo de perspicacia, sentido lógico y muchas ganas de enfrentarse a más y más retos. Animo y éxitos en esta gran aventura, que ojalá sea agradable a usted, estimado lector. El autor

13

UNAD

14

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

15

UNAD

16

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

INTRODUCCIÓN

E

l Álgebra y la Trigonometría son áreas dentro del a ciencia de las matemáticas que busca desarrollar los principios fundamentales necesarios para resolver problemas en todos los campos del saber. En esta unidad se tratarán los principios, propiedades, definiciones y aplicaciones del álgebra y la trigonometría. Cada temática se desrrollará en forma metódica, ilustrativa y didáctica, con el propóstio de que los estudiantes activen sus conocimientos previos, que exploren y desarrollen nuevos conocimientos, de tal forma que los puedan comprender e interiorirzar para utilizarlos cuando sea necesario. La parte correspondiente de álgebra contempla las ecuaciones e inecuaciones en todos los contextos, las funciones, sus características, su definición según el tipo de relación y según el tipo de expresión que la representa. Se hace énfasis en las características de cada una, sus parámetros y sus aplicaciones. Dentro de la trigonometría; además, del análisis de las funciones trigonométricas se desarrollará la trigonometría analítica, especialmente lo referente a identidades y ecuaciones trigonométricas. Con mucho entusiasmo y excelente trabajo, se consignan buenos resultados sobre álgebra y trigonometría.

17

UNAD

18

Algebra y Trigonometría

Ecuaciones

Inecuaciones

Funciones

Trigonometría

Tipos Identidades

Tipos

Principios parámetros

Ecuaciones

Segùn grado Lineal Cuadrática

Segùn número variables Demostración funciones Técnicas de solución Exponencial Logarítmica Trigonométrica Hiperbólicas Valor absoluto parte etnera definida por tramos Algebráicas Trascendentales Especiales

Clasificación

Identidades básicas

Principios de ecuaciones trigonométricas

Primero Segundo Tercero

Una variable Dos variables Tres variables

Mapa conceptual

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

19

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Lineal Cuadrática Cúbica Radical Polinómica Racional Aplicaciones Algebra funciones inversa funciones Transformaciones de funciones Aplicaciones funciones

Resolución ecuaciones trigonométricas

Métodos de resolución

Aplicaciones

UNAD

20

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

OBJETIVOS

General

.

Que la comunidad estudiantil de la UNAD, reconozca los principios y teorías del álgebra, trigonometría y geometría analítica, profundice las particularidades de cada temática y finalmente pueda aplicar dichos principios en las diferentes áreas del saber.

Específicos

. . . . .

Que los estudiantes decriban claramente los ecuaciones e inecuaciones, a través del estudio teórico y el análisis de casos modelo, para que puedan ser utilizados como herramienta matemática en diferentes contextos. Que los estudiantes identifiquen claramente las funciones, sus principios, mediante el etudio adecuado y el desglosamiento de las clases de funciones, que facilite su posterior utilización en las situaciones que se requieran. Que los estudiantes describan claramente sus sumatorias y productorias, por medio de un trabajo específico de éstos temas, para poder posteriormente asumir temas más avanzados como las sucesiones y series. Que los estudfiantes resuelvan problemas modelos que involucren ecuaciones, inecuaciones, funciones, trigonometría,sumatorias y productorias, utilizando los conocimientos adquiridos en cada temática. Que los estudiantes planteen y resuelvan ejercicios de diferentes campos del saber, aplicando los conocimientos desarrollados en éste curso académico y así contribuir en la solución de problemas en las áreas de ciencias naturales, ingeniería, administración, ciencias sociales, ciencias agrarias y otros.

21

UNAD

22

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

ECUACIONES

Introducción

Las ecuaciones son de suma importancia en las matemáticas y otras ciencias, desde los babilonios, pasando por los egipcios y los griegos,, ...hasta nuestra época, las ecuaciones han sido el pan de cada día para resolver problemas donde se requiere saber el valor de una «incógnita». Las ecuaciones son igualdades, que se hacen verdaderas para valores

específicos, por ejemplo si: 2x + 5 = 9 ; para que esta igualdad sea verdadera, el valor de x debe ser 2 y no otro. Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita que hagan verdadera dicha igualdad. A su vez las soluciones pueden ser reales o imaginarias; según el caso, por ejemplo: x 2 − 4 = 0 , x puede tomar los valores

2 y − 2 , pero si x 2 + 4 = 0, x toma valores

2i y −

2 i . Siendo i el símbolo

de Imaginario. (Recordemos los números imaginarios del curso de matemáticas básica). Existen diferentes clases de ecuaciones, según el grado del polinomio que la describe, según el número de variables, según los coeficientes. Según el grado existen ecuaciones de primer grado, segundo grado, etc. Según el número de variables; ecuaciones de una variable, ecuciones de dos variables, etc. Según los coeficientes, ecuaciones de coeficientes enteros, de coeficientes racionales, coeficientes reales, etc. Para resolver ecuaciones, se utiliza los principios de operaciones opuestas, ya que cuando a una ecuación se le suma y resta la misma cantidad a uno de sus términos,

23

UNAD

ésta no se altera, igual si se multiplica y divide uno de sus términos. Otra forma es sumar o restar a los dos términos de la ecuación la misma cantidad, este no se altera. En general, a medida que avancemos en el estudio de ecuaciones vamos adquiriendo mucha destreza en su forma de solución.

Objetivo general

. . . .

Que los estudiantes identifiquen claramente las ecuaciones, su clasificación, su resolución y la forma de plantearla de situaciones descriptivas.

Objetivos específicos

Reconocer claramente las ecuaciones de primero, segundo y más grados, de una, dos y tres incóginitas. Resolver ecuaciones de primero, segundo y más grados, con una, dos y tres incógnitas. Solucionar problemas que involucren ecuaciones.

E

CUACIONES DE PRIMER GRADO

Para analizar las ecuaciones, es necesario conceptualizar algunos términos que son comunes en las ecuaciones. Constante: son términos que toman valores fijos. En álgebra se usan por lo general las primeras letras del alfabeto; a, b, c,... todos los números se consideran constantes, por ejemplo en la expresión: ax 2 + bx + c : los términos a, b, y c trabajan como constantes.

24

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Variable: se consideran a los símbolos que pueden cambiar, generalmente las variables se simbolizan con las últimas letras del alfabeto; x, y, z, w,... por ejemplo, la expresión: ax 2 + bx + cy = k , x y y trabajan como variables. A manera de ejercicio, identifique las variables y las constantes en las siguientes expresiones:

4 x 3 + 5 y2 − 7z = 0 ax 3 − by 2 + cz = 4

Las ecuaciones de primer grado se pueden clasificar, en una incógnita, dos incógnitas, tres incógnitas, etc., para el caso de éste curso trabajaremos con ecuaciones de una, dos y tres incógnitas. Es de anotar que el término incógnita es equivalente a variable, en el contexto que estamos trabajando. En la resolución de una ecuación se pueden aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto numérico que se esté considerando. Pero no siempre una ecuación tiene solución en un conjunto numérico dado. Si tenemos la ecuación: x + 5 = 3 . Esta no tiene solución en los Naturales; pero si tiene solución en los enteros, racionales, reales. La ecuación: x 2 − 2 = 0 , No tiene solución en el conjunto de los enteros (Z), pero Si tiene solución en el conjunto de los reales (R) para el caso del presente texto, si no se dice otra cosa, la solución o soluciones, estarán en el conjunto de los Reales. Leyes de uniformidad: es pertinente recordar las leyes de uniformidad para la suma y producto de número reales. Sea a, b, c, d número reales; tal que: a = b y c = d, entonces:

a) b) c) d)

a+c = b+d a+c = b+c a x c = bx d axc = bxc

25

UNAD

Estas leyes se pueden extender a la resta y división, salvo para casos con denominador cero. Para el caso de la potencia y raíz:

e) a c = b c f ) ca = d d g ) c a = c b ; para a ≥ 0 y b ≥ 0; c ε z + y c ≥ 2 h ) a ⋅ b = 0 ; sí solo sí ; a = 0 ó b = 0

E

CUACIONES DEL PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

estas ecuaciones son de la forma: ax + b = c , donde a, b, y c son las constantes y x la variable. el valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero. Estudiaremos los diferentes casos. Sean las ecuaciones:

3x − 5 = 0 : coeficiente es entero, expresión entera

1 2 x − = 0 : coeficiente es racional, expresión entera 3 5

3x − 2 5x 2

= 8 : coeficiente es entero, expresión racional

Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque la incógnita (variables) tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto significa que éste tipo de cuaciones tienen «una sola» solución. Resolución: la resolución de ecuaciones, ha tenido diversos aportes desde la antiguedad hasta nuestros días. Vamos a analizar algunos métodos de resolución para éste tipo de ecuaciones.

26

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

u Método Egipcio: (la Regula falsa)

En algunos libros Egipcios y Chinos, se ha encontrado un método para resolver ecuaciones, llamado la Regla falsa o falsa posición. El método, consiste que a partir de la ecuación dada, se da una solución tentativa inicial y la vamos ajustando según la ecuación dada. El principio consiste que dada la ecuación: ax = b, suponemos una solución tentativa x 0 , reemplazándola en la ecuación: a x 0 = b 0 , como no se cumple

b esta solución, se hace el ajuste así: x 1 = b x 0 , la cual es una solución de la 0

ecuación original, ya que:

 b  a x0  = b  b0   

Ejemplo 1

x = 12 4 4 = 12 , se debe demostrar! 4

12 12 48 . Ahora : x4 = 5 5 5

Resolver la ecuación: x +

Solución: proponemos x ⋅ = 4, luego : 4 +

5 = 12, lo cual no es cierto, luego hacemos el ajuste: x = que es la solución. Comprobémoslo:

48 48 / 5 48 48 240 24 + = 12 ⇒ + = 12 ⇒ = 12 ⇒ = 12 . Lo cual es verdadero. 5 4 5 20 20 2

Ejemplo 2

Resolver la ecuación: 2x +

x =8 5

27

UNAD

Solución: solución tentativa inicial x 0 = 5 , reemplazamos: 2 (5 ) + 1 = 8 11=8 lo cual no es cierto, luego hacemos el ajuste: x 0 = multiplicar por x 0 :

8 y procedemos a 11

8 ⋅5 = 11

40 11

que es la solución, verifiquemos:

80 40 400 + 40  40  40 /11 2 =8 ⇒ + =8 ⇒ =8 + 5 11 55 55  11  440 = 8 lo cual es verdadero . 55

Este método a pesar de ser muy rudimentario, es muy efectivo en muchos casos, para este tipo de ecuaciones.

u

Método axiomático

Es el método utilizado actualmente, el cual utiliza las propiedades algebráicas y las leyes de uniformidad; ya estudiadas, todo esto derivado de los «Axiomas de campo». Toda ecuación de primer grado se puede escribir de la forma:

ax + b = c , endonde a, b, c son cosntantes y a ≠ 0 .

Veamos el caso en donde: ax + b = c , si sumamos ecuación (ley uniformidad de suma tenemos:

(− b )

a ambos lados de la

ax + b + (− b ) = 0 + (− b )⇒ ax = −b . Luego multipliquemos a ambos lados

1 (ax ) = − b  1  nos resulta:   a a

x =− b a

por (1 a ) , tenemos:

Ejemplo 1

Hallar la solución de la ecuación: 6 − x = 2x + 9 Solución: como estamos aplicando el método axiomático, entonces: sumanos

(− 2x )

a ambos lados de la ecuación: 6 − x + (− 2 x ) = 2x + (− 2x ) + 9 no resulta:

28

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

ecuación: 6 + (− 6 ) − 3x = 9 + (− 6 ) obteniendo : − 3 x = 3 . Ahora multiplicamos por

6 − x − 2 x = 9 ⇒ 6 − 3x = 9 . Ahora sumamos (− 6 )

a

los

lados

de

la

 1  −  los miembros de la ecuación:  3

− 1 (− 3 x ) = − 1 (3) nos resulta : x = − 1 3 3

Solución: la pregunta sería ¡cómo corroboramos que x = − 1 , es la solución? La respuesta es, sustituyendo la solución en la ecuación original, debemos obtener una igualdad verdadera, veamos:

6 − (− 1) = 2 (− 1 ) + 9 ⇒ 7 = 7 ¡verdadero!

Así queda comprobado que x = −1 es la solución UNICA, para la ecuación propuesta. NOTA: Es pertinente que se analice porque las operaciones propuestas en la resolución del problema, (subrayado con negro) con el fin de entender la lógica del método.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación:

x 1 = x+2 2

a c = ⇒ a x d = b x c , lo b d

Solución: recordemos por las leyes de uniformidad que aplicamos al ejercicio propuesto:

ecuación: 2x + (− x ) = x + (− 2 ) + 2; obtenemos : x = 2 , que es la solución.

x 1 = ⇒ 2x = 1 (x + 2 ) ⇒ 2x = x + 2 . Sumamos x+2 2

(− x )

a los dos lados de la

Ejemplo 3

Hallar el valor de la incógnita que satisfaga la ecuación:

6t + 7 3t + 8 = 4 t − 1 2t − 4

29

UNAD

Solución: aplicamos la ley de equivalencia de fracciones:

(6t + 7 )(2 t − 4 ) = (3t + 8)(4t − 1 );multiplica mos :

12 t 2 − 10t − 28 = 12 t 2 + 29t − 8, sumamos  − 12t2  a ambos lados     12 t 2 +  − 12t2  − 10t − 28 = 12 t2 +  − 12t2  + 29t − 8, obtenemos :         − 10t − 28 = 29 t − 8; sumamos 10 t a la ecuación : − 10 t + 10 t − 28 = 29 t + 10 t − 8; obtenemos : − 28 + 8 = 39 t − 8 + 8, obtenemos − 28 = 39 t − 8 :sumamos (8 )a ambos lados de la ecuación : − 20 = 39 t ,multiplica mos por (1 / 39 ); 1  1 (39 t ); obtenemos : − 20 x   =  39  39 20 − = t , solución de la ecuación . 39

Ejemplo 4

Resolver: 8 (2x − 6 ) = 4 (x − 3) Solución: si observamos lo más obvio es hacer la mutiplicación, para iniciar la solución, entonces:

8 (2x − 6 ) = 4 (x − 3) ⇒ 16 x − 48 = 4x − 12 ; sumamos 48 16 x − 48 + 48 = 4 x − 12 + 48 ⇒ 16 x = 4 x + 36 , sumamos (− 4x ) 16 x + (− 4 x ) = 4x + (− 4x ) + 36 ; obtenemos : 1 16 x − 4 x = 36; luego :12 x = 36, multiplica mos por 12 1 (12 x ) = 1 (36 ) ⇒ x = 3 solución de la ecuación . 12 12

Ejemplo 5

Demuestre que la ecuación:

3x 3 +2 = no tiene solución. x −1 x −1

30

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Demostración: para dejar la ecuación entera multiplicamos todo por (x − 1 )

3x (x − 1) + 2 (x − 1 ) = 3 (x − 1), obtenemos : x −1 x −1 3x + 2x − 2 = 3 ⇒ 5 x − 2 = 3 , sumamos (2 ) 5x − 2 + 2 = 3 + 2 ⇒ 5x = 5; divi dim os por 1 / 5 1 (5x ) = 1 (5 )⇒ x = 1 sería la solución . 5 5

Pero x =1, NO hace parte de los valores que puede tomar la variable, ya que cuando x =1, la ecuación se hace indeterminada, por lo cual, la ecuación dada no tiene solución. Reflexión: en todos los ejemplos propuestos, la solución se resumen en despejar la incógnita (variable). Generalizando precisamente a esto es que se centrará la solución de ecuaciones, a despejar la incógnita, lo cual se hace utilizando principios, leyes y axiomas matemáticas.

(Ver ejercicios ecuaciones de primer grado, página 36

E

CUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

En éste aparte analizaremos dos casos, el primero es cuando se tiene una ecuación de primer grado con dos incógnitas y el segundo es cuando se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. Ecuaciones Diofánticas: Diofanto de Alejandría, del Siglo III de nuestra era, desarrolló unas ecuaciones que trabajan sobre el conjunto de los enteros y son de primer grado con dos incógnitas, en honor a su nombre se conocen como ecuaciones diofánticas. La forma general es: ax + by = c , donde a, b y c son constantes y enteros; además, a ≠ 0 ó b ≠ 0 .

31

UNAD

Cuando a, b y c son enteros positivos, la ecuación tiene solución entera, si y solo sí, el máximo común divisor de a y b divide a c. Este tipo de ecuaciones puede tener infinitas soluciones o no tener solución. Entonces la solución consiste en hallar ecuaciones generadoras (paramétricas) del par (x ,y ) que satisfagan la ecuación propuesta.

Ejemplo 1

Para la ecuación: 2x + 3 y = 8 , cuál será el par (x ,y ) que satisface dicha ecuación. Solución: por simple inspección vemos que x = 1 y y = 2 , satisfacen la igualdad La solución: (x, y ) = (1,2 ) , pero podemos encontrar más soluciones por ejemplo: (x ,y ) = (4,0 ) también es solución. infinitas soluciones; para esta ecuación. Solución general de ecuaciones Diofánticas (método paramétrico) Para este tipo de ecuaciones, la solución es buscar ecuaciones para x y y con un parámetro, generalmente se le llama t, llamada solución general. Otras soluciones (x ,y ) = (− 2,4 ); (x , y ) = (− 5,6 ),... como definimos al principio, hay

2 (1 ) + 3 (2 ) = 8

32

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

El procedimiento para hallar esta solución no es fácil, solo deseamos que se conozca que a partir de una solución general, se pueden hallar soluciones específicas para la ecuación dada. Los curioso pueden investigar en libros de matemáticas discretas o en temas de ecuaciones diofánticas, para que profundicen en el tema.

Ejemplo 2

A partir de la ecuación: 2x + 3 y = 8 , hallar soluciones particulares a partir de la solución general. Solución: por algoritmo computacional, la solución general es:

x = − 8 + 3t y = 8 − 2t

A partir de estas podemos hallar soluciones particulares: para t= 2, entonces:

x = − 8 + 3 (2) = − 8 + 6 = − 2 y = 8 − 2 (2 ) = 8 − 4 = 4

solución particular (x − y ) = (− 2,4 ) para t=4. Entonces:

x = − 8 + 3 (4 ) = − 8 + 12 = 4 y = 8 − 2 (4 ) = 8 − 8 = 0

solución particular (x − y) = (4,0 ) Así sucesivamente para cualquier t entero.

Ejemplo 3

Hallar soluciones particulares para t = 5 y T = 8, para la ecuación: 3x + 4 y = 50 . Solución: de nuevo por algoritmo computacional, la solución general es:

33

UNAD

x = −50 + 4t y = 50 − 3 t para t = 5, entonces x = − 50 + 4 (5 ) = − 50 + 20 = −30 y = 50 − 3 (5 ) = 50 − 15 = 35 Solución : (x, y ) = (− 30,35 )

Para t = 8. Del amisma manera:

x = − 50 + 4 (8 ) = −50 + 32 = −18 y = 50 − 3 (8 ) = 50 − 24 = 26 Solución : (x, y ) = (− 18, 26 )

Solución general de ecuaicones Diofánticas (método despeje): cómo hallar las ecuaciones paramétricas para x y y,no es tarea fácil, un método para hallar soluciones particulares a partir de una solución general, es despejando una de las variables de la ecuación y obtener otra ecuación donde se obtiene

y = f (x ) o x = f (y) ; es decir, y en función de x ó x en función de y.

Para la ecuación ax + by = c . Si despejamos y obtenemos:

y=

c − ax donde y = f (x ) . Luego dando un valor a x obtenemos el valor de y, b c − by donde x = f (y ) . Aquí damos valores a y para obtener x. a

y así la solución (x ,y ) . Pero si despejamos x, obtenemos:

x=

Ejemplo 1

Hallar para x = −2 , la solución de la ecuación 2x + 3 y = 8 . Solución: despejamos y; luego

y=

8 − 2x 8 − (2 )(− 2 ) reemplazam os x = −2, entonces : y = =4 3 3

Solución:

(x ,y ) = (− 2,4 )

Este resultado coincide con el dado para la misma ecuación en el ejemplo 2, del método anterior.

34

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ejemplo 2

Para la ecuación: x + 3 y = 14 . Hallar soluciones para: a b. x=2 y=5

Solución: a. Despejamos

14 − x 14 − 2 como x = 2 ⇒ y = =4 3 3 Solución : (x ,y ) = (2,4 ) y=

b. Despejamos

x = 14 − 3y ⇒ x = 14 − 3(5) = − 1 Solución : (x, y ) = (− 1,5 )

u Dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son de la forma.

a1x + b1 y = c1 a 2x + b 2y = c 2

Donde a1 ,a 2 , b1 , b 2 , c1 ,c 2 son constantes; además

a ≠ 0 ó b ≠ 0 ; a2 ≠ 0 ó b2 ≠ 0 .

Resolver un sistema de este tipo es hallar los valores x 0 simultáneamente las dos ecuaciones.

y y 0 que satisfagan

Sistema consistente: un sistema de ecuaciones es consistente, cuando tiene al menos una solución. Para el caso que nos ocupa, un valor para x y un valor para y.

35

UNAD

EJERCICIOS:

1. 3 (2 − x ) = 2x − 1 2. 1 x − 6 = 3 x + 1 2 4

ECUACIONES

DE PRIMER GRADO

Resolver las siguientes ecuaciones:

Rta : x = 7 5

Rta : x = −14

3.

6 4 1 + = x x 2

Rta : x = 20

2 2 4. x + 6x − 7 = (x + 1)

Rta : x = 2 Rta : x = 6

5.

2 3 10 = + x − 2 x + 5 (x + 5)(x − 2) x +2 =7 −x 3

6. 5 −

Rta : x = 4

7. y + 1 + 2y − 3 = y − 2

4 4 2 6 x 8 9 x

Rta : y = − 6

8.

+ x =

−2 x

Rta : x = 1

9. ay − 8

6 =0 3y − 6

Rta : y = 0

10.Cuánto debe valer γ en la expresión

Rta : γ =

5 3

3y − 3 γ = 3 y − 5 para que se cumpla la

igualdad

36

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistema incosistente: cuando el sistema no tiene solución alguna, se dice que es inconsistente. Esto ocurre en casos donde la propuesta de equivalencia no se satisface en ningún caso. Existen diversos métodos de resolver sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

M

ÉTODO

1.

GRÁFICO

Se basa en que en el plano de coordenadas rectángulares, una ecuación de la forma ax +by = c, está representada por una recta, cuyos puntos son parejas cordenadas de número reales; donde el primer componente es x y la segunda y. Como tenemos dos ecuaciones, deben haber dos rectas. El punto de corte de las rectas indica la solución del sistema. y y L2 x L1

P1 P2

x M1 M2

L1

y L2 son las rectas que representan el sistema:

a1x + b1 y = c1 a 2x + b 2y = c 2

La solución será: (x ,y ) punto de corte de las rectas. Cuando las rectas son paralelas, no indica que el sistema no tiene solución (P y P2 ) . Cuando las 1 rectas coinciden, nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones (M1 y M 2 ) .

Ejemplo 1

Hallar la solución al sistema:

3x − 2 y = 5 5x − y = 6

37

UNAD

Solución: Para 3x − 2 y = 5 ; damos dos valores a x y obtenemos y. Veamos: x y

recordemos que para graficar una recta sólo se requieren dos puntos y

0 −5/ 2 5/3 0

punto (0 ,−5 / 2) punto (5 / 3 ,0 )

→ 3x − 2 y = 5 x

→ 5x − y = 6 para 5x − y = 6,tenemos : x y

0 −6 6/ 5 0

punto (0,−6 ) punto (6 / 5, 0)

Solución: x = 1; y = 1

-

En el ejemplo dimos arbitrariamente el valor de x = 0 y y= 9, para hallar la otra coordenada y así obtener los puntos.

Ejemplo 1

Resolver el sistema

2x + y = 5 4 x + 2y = 8

Hallemos los puntos: para 2x + y = 5 x y x

0 5 punto (0 ,5) 5 / 2 0 punto (5 / 2, 0)

El sistema No tiene solución, ya que las rectas nos paralelas.

38

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

para 4 x + 2y = 8 x 0 y

2

4 0

punto (0,4 ) punto (2, 0 )

Este método tiene el inconveniente que la solución no se puede ver exactamente, ya que por visual las coordenadas del punto de corte no son valores exactos; es una aproximación.

M

ÉTODO

2.

ELIMINACIÓN

Es un método algebráico donde se elimina una variable, para hallar el valor de la otra variable. Es el más utilizado y se divide en tres técnicas. Reducción, Igualación y Sustitución.

u Reducción

Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la reducción consiste en igualar coeficientes de una de las variables;pero con signo contrario, para poder reducir el sistema a una sola variable y así resolverla como ecuación de primer grado con una incógnita. Obtenido el valor de la variable despejada, ésta se reemplaza en una de las ecuaciones originales, para hallar el valor de la otra variable.

Ejemplo 1

Resolver el sistema

y−x = 0 x +y = 4

Solución: organizamos el sistema según las variables y operamos términos semejantes:

−x + y = 0 x+ y =4 2y = 4

39

UNAD

La nueva ecuación permite despejar y; como 2y=4, aplicando el método axiomático; entonces:

2y 4 = ⇒ 2 2

y=2

como y es igual a 2, reemplazamos éste valor en una de las ecuaciones originales, por ejemplo en la primera: − x + (2 ) = 0; despejamos x : − x = − 2 ⇒ x = 2 Luego la solución es:

x =2 y=2

Esta solución debe satisfacer las dos ecuaciones simultáneamente. En el ejemplo 1, vemos que fue fácil reducir a y, eliminando x, ya que ésta variable tenía el mismo coeficiente y signos contrarios, pero no siempre es así, en muchos casos es necesario ajustar ésta situación, multiplicando las ecuaciones por valores que permiten obtener coeficientes iguales con signos contrarios en la variable a eliminar.

Ejemplo 2

Resolver

x −y = 4 3x − 2 y = − 5

Solución: primero elegimos la variable a eliminar, cuando es posible, se busca aquella que tenga signos contrarios. Cuando no es posible así, entonces elegimos la que deseemos. Para éte caso elegimos x. Luego para eliminar x, la primera ecuación debe tener coeficiente 3 en la variable x y la segunda puede queda igual, veamos:

(x − y = 4) (− 3) (3x − 2y = −5) (1)

⇒ − 3x + 3y = −12 3x − 2 y = − 5

Operando el último sistema obtenemos: y = −17 Sabiendo el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales, para hallar el valor de la otra ecuación, veamos.

40

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

3x − 2 (− 17 ) = − 5 ⇒ 3x + 34 = −5 ⇒ 3x = −5 − 34 . Luego 3x = −39 ,despejamos x : 3x − 39 = ⇒ x = −13 3 3

Vemos que la solución es:

x = −13 y = 17

La verificación consiste en reemplazar la solución en las ecuaciones originales y demostrar que se cumple la igualdad.

Ejemplo 3

Hallar el valor de las variables para el sistema:

4x + 9y = 8 2x − 6 x = − 3

Solución: como vemos, se puede eliminar y, ya que tiene signos contrarios, sólo falta igualar coeficientes, lo que se consigue multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por 3. Veamos.

(4x + 9y = 8) x (2) (2x − 6x = −3) x (3)

8 x + 18 y = 16 6 x − 18 y = −9

Así podemos eliminar y, obteniendo: 14 x = 7, luego x = 1 / 2 Ahora hallamos el valor de y, reemplazando x = 1/2, en cualquiera de las ecuaciones originales, luego seleccionamos la primera:

8 (1 / 2 ) + 18 y = 16 ⇒ 18 y = 16 − 4 = 12 , por consiguien te : 18 y = 12 ⇒ y =

Solución:

12 2 . Luego y = 18 3

x =1/2 y = 2/ 3

41

UNAD

Verificación, reemplazamos la solución en las ecuaciones originales:

4 (1 / 2 ) + 9 (2 / 3) = 8 ⇒ 2 + 6 = 8 : verdadero 2 (1 / 2) − 6 (2 / 3 ) = −3 ⇒ 1 − 4 = −3 : verdadero

como las igualdades son verdaderas, nos indica que la solución es correcta.

u Igualación

Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones dadas, luego «igular» las expresiones obtenidas en los dos despejes, para que utilizando herramientas matemáticas, se obtenga el valor de la variable en la ecuación de una incógnita obtenida.

Ejemplo 1

Resolver el sistema:

x +y = 8 x −y = 4

Solución: despejamos x en las dos ecuaciones para facilitar denominados 1 y 2 a ls ecuaciones:

x1 + y1 = 8 ⇒ x1 = 8 − y1 x 2 − y2 = 4 ⇒ x 2 = 4 + y2

Ahora igualamos:

x1 = x 2 ⇒ 8 − y1 = 4 + y 2 , como y1 = y 2 , entonces :

8 − y = 4 + y, luego : − 2y = 4 − 8 ⇒ − 2y = −4. Despejamos y : Luego : y = −4 = 2. −2

Como sabemos el valor de y, la reemplazamos en cualqueira de las ecuaciones originales:

x + y = 8 ⇒ x + (2) = 8 ⇒ x = 8 − 2 ⇒ x = 6

42

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Solución:

x =6 y=2

Verificación: por ser tan sencilla, por favor estimado estudiante hacerla.

Ejemplo 2

Hallar la solución del sistema:

2 1 7 x− y= 5 6 10 3 2 19 x− y= 4 3 8

Solución: recordemos que debemos despejar la misma variable en las dos ecuaciones, elijamos x, pero antes convertimos los coeficientes a enteros para la primera ecuación:

2 1 7 12x − 5 y 7 30 (7 ) x− y= ⇒ = ⇒ 12 x − 5y = ⇒12 x − 5y = 37 5 6 10 30 10 10

para la segunda ecuación:

3 2 19 9x − 8 y 19 12 x 19 57 x− y= ⇒ = ⇒ 9x − 8y = ⇒ 9x − 8y = 4 3 8 12 8 8 2

Ahora sí despejamos x en las dos ecuaciones:

12 x − 5 y = 37 ⇒ 12 x = 37 + 5 y ⇒ x =

5 y + 37 12

9 x − 8y =

57 57 8 y + 57 ⇒ 9x = 8y + ⇒x = 2 2 18

Luego igualamos las dos variables:

5y + 37 8 y + 57 18 (5y + 37 ) 3 (5 y + 37 ) = ⇒ = 8y + 57 ⇒ = 8 y + 57 12 18 12 2

43

UNAD

Luego:

3 (5y + 37 ) = 2 (8y + 57 ) ⇒ 15 y + 111 = 16 y + 114 , reorganiza ndo : 15 y − 16 y = 114 − 111 ⇒ − y = 3 ⇒ y = −3

como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones originales, tomemos la segunda:

3 (x ) − 2 (− 3 ) = 19 ⇒ 3 x + 2 = 19 ⇒ 3 x = 19 − 2, luego : 4 3 8 4 8 4 8 3 3 4x3 x= ⇒x= ⇒ x =1/2 4 8 8 x3

Solución:

x =1/ 2 y = −3

Verificación: se debe verificar la solución obtenida.

u Sustitución

Si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que se hace es despejar una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y reemplzar la equivalencia de la incógnita en la otra ecuación. Dicho de otra manera, si despejamos la incógnita en la primera ecuación, la reemplazamos en la segunda ecuación o viceversa. Con esto obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita, que ya sabemos resolver.

Ejemplo 1

Hallar la solución al sistema:

x − y = −4 3x − 2 y = −5

44

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Solución: como lo dice la teoría, despejamos una variable en cualquiera de las ecuaciones, para este caso despejamos x en la primera ecuación:

x − y = −4 ⇒ x = y − 4

Luego este valor de x, lo reemplazamos en la segunda ecuación; entonces:

3 (y − 4 ) − 2 y = −5

obtenemos una ecuación con una incógnita, que ya sabemos resolver:

3y − 12 − 2 y = −5 ⇒ y = −5 + 12 ⇒ y = 7

como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en una de las ecuaciones originales, tomemos la segunda ecuación.

3x − 2 (7 ) = −5 ⇒ 3x = −5 + 14 ⇒ 3 x = 9 ⇒ x = 3

Luego la solución es:

x =3 y =7

Ejemplo 2

Resolver el sistema:

2x + y = 1 4 x + 2y = 3

Solución: despejamos y en la segunda ecuación, luego:

4x + 2y = 3 ⇒ 2y = 3 − 4x ⇒ y =

3 − 4x 2

Reemplazamos y en la primera ecuación:

 3 − 4x  2x +  =1  2 

operamos y simplifica mos :

4x + 3 − 4x 3 = 1 ⇒ = 1 No es verdadero 2 2

Luego el sistema No tiene solución.

45

UNAD

Ejemplo 3

Hallar la solución del sistema:

3x 5y + =2 5 3 6x 5y − =1 5 3

Solución: primero convertimos las ecuaciones a coeficientes enteros:

3x 5 y 9 x + 25 y + =2⇒ = 2 ⇒ 9 x + 25 y = 30 5 3 15

para la ecuación dos es lo mismo.

6x 5y 18 x − 25 y − =1 ⇒ = 1 ⇒ 18 x − 25 y = 15 5 3 15

ya tenemos las dos ecuaciones entonces:

9 x + 25 y = 30 18 x − 25 y = 15

Despejamos x en la primera ecuación y la reemplazamos en la segunda.

9 x + 25 y = 30 ⇒ x =

30 − 25 y . Luego : 9

 30 − 25  18   − 25 y = 15 ⇒ 60 − 50 y − 25 y = 15 9   45 3 − 75 y = 15 − 60 ⇒ − 75 y = − 45 ⇒ y = ⇒ y = 75 5

para hallar el valor de la otra variable; o sea x, reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales.

46

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Tomemos la segunda ecuación:

6x 5y 6x 5 (3 / 5 ) 6x − =1 ⇒ − =1 ⇒ −1 = 1 5 3 5 3 5 6x 10 = 2 ⇒ 6 x = 10 ⇒ x = ⇒ x = 5/3 5 6

Solución:

x = 5/3 y = 3/ 5

Verificación: no olvidemos hacer la verificación. Observación: las técnicas de eliminación se diferencian en hallar el valor de la primera incógnita, la segunda parte del proceso ES SIMILAR; es decir, para hallar el valor de la segunda incógnita el procedimiento es similar en las tres técnicas.

M

ÉTODO TRES. POR DETERMINANTES

Para este método, primero recordemos algunos conceptos sobre determinantes. Una determinante, es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde los elementos, son los valores de las coeficientes de las ecuaciones que forman el sistema. El tamaño del determinante lo da el número de las

Columna

x1 x2

y1 y 2 2x2

filas y columnas, Así hay determinantes de 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, etc. Las filas son horizontales y las columnas son las verticales.

Fila

47

UNAD

Resolver un determinante, es hallar el valor del mismo, según el tamaño, la forma de resolución es muy particular. Determinante de 2 x 2: para resolver un determinante de 2 x 2, la solución es como se indica a continuación.

x1 y1 x2 y2

⇒ D = x1 ⋅ y 2 − x 2 ⋅ y1

Donde D es el valor del determinante.

u Ecuaciones por determinantes

Para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, se utilizan determinantes de 2 x 2. Kramer propuso una técnica para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando determinantes, en su honor se le llama regla de Kramer. Regla de Kramer: sea el sistema

a1 x1 + b1 y1 = c1 a2 x 2 + b2 y 2 = c

Solución: se organizan los determinantes para cada incógnita de la siguiente manera:

c1 b1 c2 b 2 x= a1 b1 a 2 b2

solución para x

y=

a1 c1 a2 c 2 a1 b1 a2 b2

solución para y

Ejemplo 1

Resolver el sistema: 3x − 2 y = 5

5x − y = 6

48

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Solución: organizamos los determinantes.

−2 5 x= −1 6 3 −2 5 −1 3 y= 6 5 6 = =

(− 2 )(6 ) − (− 1)(5 ) = − 12 + 5 (3 )(− 1) − (5)(− 2) − 3 + 10

=

−7 = −1 7

3 −2 5 −1

(3 )(6 ) − (5 )(5 ) = 18 − 25 (3 )(− 1) − (5)(− 1) − 3 + 10

=

−7 = −1 7

Solución:

x = −1 y = −1

Esto es el mismo ejemplo 1, que estudiamos en le método gráfico observando que la solución es la misma, como es obvio.

Ejemplo 2

Resolver el sistema

4 x − 3y = 6 − 2 x + 5y = 4

Solución: aplicando la regla de Kramer, tenemos:

6 −3 x= 4 4 −2 4 y= −2 4 −2 5 −3 5 6 4 −3 5 = =

(6 ) (5 ) − (4 )(− 3 ) = 30 + 12 (4 )(5) − (− 2 )(− 3 ) 20 − 6

=

42 =3 14

(4 ) (4 ) − (− 2 )(6 ) = 16 + 12 (4 )(5) − (− 2 )(− 3 ) 20 − 6

49

=

28 =2 14

UNAD

Solución:

x =3 y=2

Ejemplo 3

Hallar el valor de x y y en el sistema:

7x + 4 y = 8 7x + 4 y = 6

Solución:

8 7 x= 6 7 7 4 7 4

como el denominador es cero,, las incógnitas no tienen valor, esto nos indica que el sistema No tiene solución; es decir, es un sistema inconsistente. De esta manera hemos aprendido los métodos de resolver ecuaciones simultáneas de dos incógnitas. (Ver ejercicios ecuaciones simultáneas, página 51)

=

56 − 42 14 = = In det erminado 28 − 28 0

u

Tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas

Habiendo estudiado lo referentes a dos ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos de solución, podemos iniciar el estudio de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuyos principios son similares. Para el sistema:

a1x1 2 + b1 y1 + c1z1 = d1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z2 = d 2 a 3 x 3 + b 3 y + c3 z = d 3

3 3

La solución se hará para los métodos de eliminación y por determinantes.

50

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

EJERCICIOS:

1. 2.

ECUACIONES

SIMULTÁNEAS

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

x + 5 y = 13 x + 2y = 6 3x − y = − 10 3 2 x + y=7 4 3 5 1 x − y = 18 3 2

Rta : x = 2; y = 3 Rta : x = −2; y = 4 Rta : x = 20; y = −12

3.

Resolver los sistemas siguientes utilizando eliminación por igualación:

4.

2x − 4 y = −2 3x + 2 y = 3 2 1 7 x − y= 5 6 10 3 2 19 x− y= 4 3 8

1 3 Rta : x = ; y = 2 4 Rta : x = 1 ; y = −3 2

5.

Resolver los sistemas dados a continuación por sustitución:

6.

1 y +1 = 0 2 2x − y + 6 = 0 x− −1 1 1 + = x y 6 3 4 + =3 x y

Rta : no tiene solución , justificar

7.

Rta : x = 3; y = 2

51

UNAD

EJERCICIOS:

ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Resolver los siguientes sistemas por determinantes.

1.

5x − y = 13 2x + 3 y = 12 3x − 6 y = 24 5x + 4 y = 12 y= − 2x + 1 3

Rta : x = 3 ; y = 2

2.

Rta : x = 4; y = −2

3.

Rta : x = 2; y = −1

3x = 8 + 24

4.

3p − q = 13 − 12 p + 4q = −52 2 3 + = −2 x y 4 5 − =1 x y

Rta : x = 5; y = 2

5.

Rta : x = −

22 11 ; y=− 7 5

Identificar el valor de p en cada determinante, para quese cumpla la igualdad.

6.

24 3 p −3 5 p 4

= 12

Rta : p = 12

7.

= 13

Rta : p = − 5

52

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

M

ÉTODO UNO.

SOLUCIÓN POR ELIMINACIÓN

El método consiste en que a partir de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se reduzca a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que ya sabemos resolver. Para facilitar el proceso, las ecuaciones se enumeran con el fin de hacer seguimiento en cada paso hasta la obtención del valor de las variables.

Ejemplo 1

Resolver el sistema:

x + y + z = 4 (1 ) x + y − z = 0 (2 ) x − y + z = 2 (3 )

Solución: vemos que las ecuaciiones están enumeradas.

x +y+z = 4 x + y− z = 0 2x + 2y = 4 (4 )

Vemos que z se elimina fácilmente, así obtenemos una ecuación con dos incógnitas, que la denominamos como la ecuación 4.

El segundo paso es eliminar la misma incógnita de las ecuaciones 1 y 3.

x +y+z = 4 x − y+ z = 2

como debemos eliminar z, entonces la segunda ecuación la multiplicamos por -1, luego:

x +y+z = 4 − x + y − z = −2 2 y = 2 (5 )

Al operar obtenemos la otra ecuación con dos incógnitas, la denominamos con 5.

53

UNAD

como tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, el tercer paso es utilizar uno de los métodos estudiados para resolverlos. Para este ejemplo, vemos que la quinta ecuación solo tiene una incógnita, lo que permite la solución más rápida, ya que solo es despejar y. Entonces:

2y = 2 ⇒ y = 1

El cuarto paso es reemplazar y en la ecuación 4, para hallar el valor de x. Entonces:

2x + 2 (1) = 4 ⇒

2x = 2 ⇒ x = 1

El último paso es reemplazar en cualquiera de las ecuaciones originales las variables conocidas, para hallar la desconocida. Tomemos la ecuación 1. Entonces:

x + y + z = 4 ⇒ (1) + (1) + z = 4 ⇒ z = 4 − 2, luego z = 2

Solución:

x =1 y =1 z=2

El ejemplo se observa extenso, pero por la explicación en cada paso, con buen trabajo, nos daremos cuenta que no es extenso, más bien dinámico y relativamente corto.

Ejemplo 2

Resolver el siguiente sistema:

x + y + z = 12 (1 ) 2x − y + z = 7 (2) x + 2 y − z = 6 (3 )

54

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Solución: como v emos cada ecuación tiene un número, eliminamos y en (1) y (2), Entonces:

x + y + z = 12 (1 ) 2x − y + z = 7 (2 ) 3x + 2z = 19 (4 )

Ahora tomemos (2) y (3)

2x − y + z = 7 (2) x + 2y − z = 6 (3 )

multiplicamos (2) por 2 y (3) queda igual.

4 x − 2 y + 2z = 14 x + 2y − z = 6 5x + z = 20 (5 )

Las ecuaciones (4) y (5) son de dos incógnitas, que podemos resolver por los métodos ya estudiados. Apliquemos igualación, entonces:

3x + 2z = 19 (4 ) 5 x + z = 20 (5 )

Eliminamos z, para lo cual multiplicamos (5) por (-2), luego:

3x + 2 z = 19 − 10 x − 2z = − 40 − 7 x = −21 Luego : x = − 21 =3 ⇒ x=3 −7

como sabemos el valor de x, lo reemplazamos en (4) ó (5) para hallar z, escogemos (5), luego:

55

UNAD

5 (3 ) + z = 20 ⇒ z = 20 − 15 ⇒ z = 5

Ahora, como conocemos x y z, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales, para hallar y, escogemos (2); luego:

2x − y + z = 7

Solución:

⇒ 2 (3) − y + 5 = 7 ⇒ − y + 11 = 7 ⇒ − y = 7 − 11

− y = −4 ⇒ y = 4

x =3 y=4 z =5

Ejemplo 3

Resolver el sistema:

x − 2 y + 3z = 1 (1) 3x + y − 2z = 0 (2 ) 2x − 4 y + 6z = 2 (3 )

Solución: como ya sabemos la metodología, apliquemos los pasos: tomamos (1) y (2) para eliminar y, ya que tienen signo contrario.

x − 2 y + 3z = 1 (1) 3x + y − 2z = 0 (2 ) multiplica mos (2) por + 2 x − 2y + 3z = 1 + 6 x + 2 y − 4z = 0 7x − z = 1(4 )

Ahora tomamos (2) y (3) para eliminar y

3x + y − 2z = 0 (2) 2x − 4 y + 6 z = 2 (3) multiplica mos (2) por 4 ,luego 12 x + 4 y − 8z = 0 2x − 4 y + 6 z = 2 14 x − 2z = 2 (5 )

56

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Eliminamos z de (4) y (5):

7x − z = 1 (4 ) 14 x − 2z = 2 (5)

multiplicamos (4) por (-2), entonces:

− 14 x − 2 z = −2 14 x − 2z = 2 0 + 0 = 0

vemos que las variables se eliminan, lo que indica que el sistema es inconsistente. Condición: No hay solución. Nota: recordemos que el sistema no puede tener solución, ya que es inconsistente.

M

ÉTODO DOS.

SOLUCIÓN

POR DETERMINANTES

Cuando tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, debemos trabajar con determinantes de tercer orden. Determinantes de tercer orden orden son arreglos de tamaño 3 x 3.

x1 y1 z1 A = x 2 y 2 z2 x 3 y3 z3

Para resolver determinantes de tercer orden hay tres formas: Primera forma: la llamamos productos cruzados:

A = [a ] −

Donde:

[b ]

57

UNAD

a = ( x1 ⋅ y 2 ⋅ z3 ) + ( y1 ⋅ z 2 ⋅ x 3 ) + ( x 2 ⋅ y 3 ⋅ z1 )

x1 x2 x3

y1 y2 y3 y1 y2

z1 z2 z3 z1 z2

b = (x 3 ⋅ y2 ⋅ z1 ) + (x 2 ⋅ y1 ⋅ z 3 ) + (y3 ⋅ z 2 ⋅ x1 )

x1 x2

x 3 y 3 z3 Segunda forma: conocido como el método de «Sarrus» consiste en aumentar

las dos primeras filas a continuación de la tercera fila y hacer productos cruzados, veamos:

A = [β ] −

[γ ]

Donde:

x1 x2 β = x3 x1 x2

y1 y2 y3 y1 y2

z1 z2 z 3 = (x1 ⋅ y 2 ⋅ z 3 ) + (x 2 ⋅ y 3 ⋅ z1 ) + (x 3 ⋅ y1 ⋅ z 2 ) z1 z2

x1 x2 γ = x3 x1 x2

y1 y2 y3 y1 y2

z1 z2 z1 z2 z3 = (x 3 ⋅ y 2 ⋅ z1 ) + (x1 ⋅ y3 ⋅ z 2 ) + (x 2 ⋅ y 2 ⋅ z 3 )

Tercer forma: el método por cofactor, que explicamos con la siguiente ilustración:

58

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

x1 A = x2 x3

y1 y2 y3

z1 z 2 ⇒ A = x1 z3

y2 y3

z2 z3

− y1

x2 x3

z2 z3

+ z1

x2 x3

y2 y3

Ahora, podemos resolver los determinantes de 2 x 2, para obtener la solución general.

A = x1 y 2 ⋅ z3 − y 3 ⋅ z2 − y1 x 2 ⋅ z3 − x 3 ⋅ z2 + z1 x2 ⋅ y3 − x3 ⋅ y 2

(

)

(

)

(

)

De esta manera podemos resolver determinantes de tercer orden:

Ejemplo 1

Resolver el siguiente determinante: a) Por productos cruzados b) Por Sarrus

−2 3 1 D = 3 −1 4 2 −2 3

Solución: a) Por productos cruzados

D = [ (− 2 )(− 1 )(3 ) + (3 ) (− 2) (1) + (3 )(4 )(2 ) ] − [ (2) (− 1 ) (1 ) + (3 )(3 )(3) + (− 2 ) (4 ) (− 2 )] D = [ 6 − 6 + 24 ] − [ − 2 + 27 + 16 ] = (24 ) − (41 ) D = − 27

b) Por Sarrus

59

UNAD

−2 3 3 −1 D = 2 −2 −2 3 3 −1

1 4 3 = [ (− 2)(− 1)(3) + (3)(− 2)(1 ) + (2)(3)(4 )] − [ (1)(− 1)(2) + (− 2)(− 2)(4) + (3)(3)(3 ) ] 1 = [ 6 − 6 + 24 ] − [ − 2 + 16 + 27 ] = (24 ) − (41 ) 4

D = 24 − 41 = −27 D = − 27

Ejemplo 2

Resolver el determinante dado por Sarrus y por cofactores:

−4 3 0 P= 1 2 3 −2 4 2

Solución: por Sarrus:

−4 1 P= −2 −4 1

3 2 4 3 2

0 3 2 = [ (− 4 )(2)(2 ) + (1)(4 )(0) + (− 2 )(3)(3)] − [ (− 2 )(2 )(0 ) + (− 4 )(4 )(3 ) + (1 )(3 )(2 )] 0 = [ − 16 + 0 − 18 ] − [ 0 − 48 + 6 ] = (− 34 ) − (− 42 ) 3

P = − 34 + 42 P=8

Por cofactores:

−4 P= 1

3 0 2 3 ⇒P = − 4

P = −4 (− 8 ) − 3 (8 ) = −32 − 24 P=8

60

−2 4 2

2 3 1 3 1 2 −3 +0 = −4 (4 − 12 ) − 3 (2 + 6 ) + 0 42 −2 2 −2 4

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Nota: la regla de Sarrus, solo es utilizable para determinantes de 3 x 3, el método de cofactores se puede utilizar para determinantes de mayor tamaño. Ecuaciones por determinantes: sabiendo cómo se resuelven determinantes de tercer orden, (3 x 3) ahora vamos a analizar la solución de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. «Kramer» propuso una técnica para resolver este tipo de sistema. Veamos el procedimiento. Dado el sistema:

a1x1 + b1 y1 + c1z1 = d1 a 2x 2 + b 2y 2 + c 2z 2 = d2 a 3x 3+ b3 y3 + c 3z 3 = d3

Entonces, primero definimos el determinantes de coeficientes.

a1 b1 c1 ∆ = a2 b2 c 2 a 3 b 3 c3 donde ∆ ≠ 0

Ahora definimos los determinantes para cada variable. para x: para y: para z:

d1 b1 c1 ∆ x = d 2 b 2 c2 d3 b 3 c 3

a1 d1 c1 ∆ y = a 2 d2 c 2 a 3 d 3 c3

a1 b1 d1 ∆ z = a 2 b2 d 2 a 3 b 3 d3

Finalmente, la solución para cada variable:

x=

∆x ∆

y=

∆y ∆

∆ z= z ∆

como podemos ver para que el sistema tenga solución, el determinante de coeficientes debe ser diferente de cero.

61

UNAD

Ejemplo 1

Resolver el sistema dado:

x + y+z = 5 3x + 2 y + z = 8 2x + 3 y + 3z = 14

Solución: hallamos el determinante de coeficientes; y lo resolverlos.

1 11 ∆= 3 21 2 3 3

se puede resolver por productos curvados, por Sarrus o por cofactores.

∆= ∆ =1

2 1 3 1 3 2 −1 +1 = 3 − 7 +5 = 1 3 3 2 3 2 3

¿Qué método se utilizó? Calculemos los determinantes de las variables.

5 1 1 → ∆ x = 8 2 1 = [ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 14 ] − [ 14 ⋅ 2 ⋅ 1 + 8 ⋅ 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 ⋅ 5] 14 3 3 ∆ x = (30 + 24 + 14 ) − (28 + 24 + 15 ) = 68 − 67 ∆x =1

¿Qué método se utilizó para resolver el determinante ∆x ?

62

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

1 1 5 1 3 → ∆y = 3 8 1 = 2 2 14 3 1 3

∆y =1

5 1 8 1 14 3 = (1 ⋅ 8 ⋅ 3 + 3 ⋅ 14 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 ⋅ 1 ) − ( 5 1 8 1

(1 ⋅ 8 ⋅ 2 + 1 ⋅ 14 ⋅1 + 3 ⋅ 5 ⋅ 3 )

∆ y = (24 + 42 + 10 ) − (16 + 14 + 45 ) = 76 − 75

1 1 5 → ∆z = 3 2 8 2 3 14 ∆z = 3

Ahora:

=1

2 8 3 8 3 2 = −1 +5 == (28 − 24 ) − (42 − 16 ) + 5 (9 − 4 ) 3 14 2 14 2 3

∆ z = 4 − 26 + 25 = 3

x=

1 =1 1 1 =1 1 3 =3 1

y=

z=

Ejemplo 2

Resolver el sistema:

x − y + 2z = 0 3x + 2y = 0 − 2x + 2y − 4z = 0

Solución: con el procedimiento descrito, realicemos la solución secuencialmente.

63

UNAD

1 −1 ∆= 3 2

2

0 = [1 ⋅ 2 (− 4 ) + 3 ⋅ 2 ⋅ 2 + (− 1 ).0 .(− 2 )] − [ (− 2 ) ⋅ 2 ⋅ 2 + 3 (− 1 ) ⋅ (− 4 ) + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 ]

∆ = (− 8 + 12 + 0 ) − (− 8 + 12 + 0 ) = 4 − 4 = 0 ∆ =0

como el determinante de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución, es inconsistente, La única solución que se podría tomar es: x = y = z = 0. (Ver ejercicios ecuaciones simultáneas, página 65).

−2 2 −4

P

ROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Con el estudio de ecuaciones de primer grado, ahora entraremos a su aplicación por medio de la resolución de problemas. Lo nuevo en esta parte es que a partir del contexto y descripción del problema, se debe plantear la ecuación o ecuaciones, para luego resolverlas. Es pertinente tener en cuenta para resolver problemas con ecuaciones, los siguientes aspectos, los cuales permitirán obtener resultados claros y verdaderos. 1) Se debe leer bien el contexto del problema hasta que quede completamente entendido. Si es necesario, leerlo las veces que se requieran para comprenderlo. 2) Llevar dicho problema a un lenguaje matemático, a través de símbolos como coeficientes, variables, igualdades, otros; llamado modelación matemática. 3) Si es necesario utilizar gráficos, tablas y otros; como ayuda para la ilustración del problema. 4) Realizar las operaciones necesarias, para obtener el valor de las incógnitas. 5) Identificar la respuesta y hacer su respectiva verificación.

64

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

EJERCICIO:

ECUACIONES

SIMULTÁNEAS

Resolver por eliminación los siguientes sistemas:

1.

x − 2 y + 3z = 7 2x + y + z = 4 − 3x + 2y − 2z = −10 2 3 2x − y + z = 1 3 4x + 2y = 8 3x + y − z =

Rta : x = 2;

y = −1;

z =1

2.

Rta : x =

1 ; 3

y=

2 ; z =1 3

Resolver los siguientes sistemas por determinantes:

3.

x − 2 y + 3z = 7 2x + y + z = 4 − 3x + 2y − 2z = −10

Rta : x = 2; y = −1; z = 1

4.

2x + y + z = 0 x − 2y − 2z = 0 x + y+ z =0

Rta : x = 0, − c, c

5.

2x − 3 y + 2z = −3 − 3x + 2y + z = 1 4 x + y − 3z = 4

2 31 1 Rta : x = , y = , z= 3 21 21

6.

Describir explícitamente las reglas de Sarrus y de Kramer; para qué son útiles estas teorías.

65

UNAD

u Ecuaciones de primer grado con una incógnita: problemas

La teoría sobre solución de problemas con ecuaciones, se describió anteriormente. Para resolver problemas de una ecuación con una incógnita, es más pedagógico proponer ejercicios modelos, los cuales nos ilustrarán el proceso.

Ejemplo 1

Escribir en modelación matemática la siguiente situación. El área de un triángulo es la mitad del producto de la longitud de la base y la altura. Solución: sea A = área del triángulo, b= longitud de la base, h la longitud del triángulo. Finalmente la mitad del producto será

1 b.h , luego: 2

A=

1 b. h 2

Ejemplo 2

Un padre debe repartir su fortuna entre sus dos hijos, la cual es de 100.000, si al hijo mayor le corresponde x cantidad de la fortuna, ¿qué cantidad le corresponde al hijo menor? Solución: llamemos cantidad de la herencia del hijo menor y, como la del hijo mayor es x, entonces: y = 100.000 - x, cantidad que le corresponde al hijo menor.

Ejemplo 3

Un carpin