Leer Ensayo Completo Aplicacion De Operaciones Aritméticas

Aplicacion De Operaciones Aritméticas

Imprimir Documento!
Suscríbase a ClubEnsayos - busque más de 1.622.000+ documentos

Categoría: Informes De Libros

Enviado por: karlo 06 junio 2011

Palabras: 2295 | Páginas: 10

...

ejemplo:

Otras definiciones

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, -a, ðs4x, x2(2zy)3 son algunos ejemplos de términos. La parte numérica de un término se denomina coeficiente. Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, -1, ð y 8 (el último término se puede escribir como 8x2(zy)3).

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio, dos términos, binomio y tres términos, trinomio. Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos. Por ejemplo, un polinomio de n-ésimo grado en su forma general se expresa como:

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado. Del mismo modo, la expresión xn + xn-1 + xn-2 es de n-ésimo grado.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado, es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3.

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias. Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 × 3 × 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

Operaciones con polinomios

Al hacer operaciones con polinomios, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica. En aritmética, los números usados son el conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos. El conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Propiedades de la adición

A1. La suma de dos números reales a y b cualesquiera es otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real.

A2. Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). Es la llamada propiedad asociativa de la adición.

A3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a.

A4. Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.

A5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la adición, la suma es siempre la misma: a + b = b + a. Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.

Cualquier conjunto de números que cumpla las cuatro primeras propiedades se dice que forma un grupo. Si además el conjunto cumple A5, se dice que es un grupo abeliano o conmutativo.

Propiedades de la multiplicación

Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, hay que prestar especial atención a los elementos neutro y recíproco, M3 y M4.

M1. El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.

M2. Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc). Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.

M3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1) = 1(a) = a.

M4. Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a-1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a-1) = (a-1)a = 1.

M5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo: ab = ba. Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.

Un conjunto de elementos que cumpla estas cinco propiedades se dice que es un grupo abeliano, o conmutativo, para la multiplicación. El conjunto de los números reales, excluyendo el cero —pues la división por cero no está definida— es un grupo conmutativo para la multiplicación.

Propiedad distributiva

Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente:

D1. a(b + c) = ab + ac

D2. (b + c)a = ba + ca

Un conjunto de elementos con una relación de igualdad, en el que se definen dos operaciones (como la adición y la multiplicación) que cumplan las propiedades de la adición, A1 a A5, las propiedades de la multiplicación, M1 a M5, y la propiedad distributiva, D1 y D2, constituye un cuerpo conmutativo.

Multiplicación de polinomios

El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:

Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:

Factorización de polinomios

Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos. Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y). El encontrar los factores de un determinado polinomio puede ser materia de simple inspección o se puede necesitar el uso de tanteos sucesivos. Ciertos polinomios, sin embargo, no se pueden factorizar utilizando coeficientes reales y son llamados polinomios primos.

Algunas factorizaciones conocidas aparecen en los ejemplos siguientes.

Para factorizar suele ser útil agrupar primero; aquellos términos que sean similares se agrupan como en el siguiente ejemplo, cuando sea posible:

Máximo común divisor

Dado un polinomio, suele ser importante determinar el mayor factor común a todos los términos del polinomio. Por ejemplo, en la expresión 9x3 + 18x2, el número 9 es un factor de ambos términos, lo mismo que x2. Tras su factorización se obtiene 9x2(x + 2), y 9x2 es el máximo común divisor de todos los términos del polinomio original (en este caso un binomio). De la misma manera, en el trinomio 6a2x3 + 9abx + 15cx2, el número 3 es el mayor submúltiplo común a 6, 9 y 15, y x es el mayor factor de la variable común a los tres términos. Por tanto, el máximo común divisor del trinomio es 3x.

Mínimo común múltiplo

Encontrar el mínimo común múltiplo es útil para poder hacer ciertas operaciones con fracciones algebraicas. El procedimiento es similar al usado para realizar estas operaciones con fracciones ordinarias en aritmética. Para poder combinar dos o más fracciones, los denominadores deben ser iguales; la forma más directa de obtener un denominador común es multiplicar todos los denominadores entre sí. Por ejemplo:

Pero puede ocurrir que bd no sea el mínimo común denominador. Por ejemplo:

Sin embargo, 18 es sólo uno de los posibles denominadores comunes; el mínimo común denominador es 6:

En álgebra, el problema de encontrar el mínimo común múltiplo es similar. Dadas varias expresiones, su mínimo común múltiplo es aquella expresión con el menor grado y los menores coeficientes que se puede dividir exactamente por cada una de ellas. Así, para encontrar un múltiplo común a los términos 2x2y, 30x2y2, 9ay3, basta con multiplicar las tres expresiones entre sí y es fácil demostrar que (2x2y)(30x2y2)(9ay3) se puede dividir exactamente por cada uno de los tres términos; sin embargo, éste no es el menor de los múltiplos comunes. Para determinar cuál es el mínimo, cada uno de los términos se ha de descomponer en sus factores primos. Para los coeficientes numéricos, 2, 30 y 9, los factores primos son 2, 2·3·5 y 3·3 respectivamente; el mínimo común múltiplo de los coeficientes debe ser por tanto 2·3·3·5, o 90, que es el producto de la mínima cantidad de factores necesaria para obtener un múltiplo común. De la misma manera, como la constante a sólo aparece una vez, debe ser un factor. En cuanto a las variables, se necesitan x2 e y3; por tanto, el mínimo común múltiplo de los tres términos es 90ax2y3. Esta expresión se puede dividir exactamente por cada uno de los términos.

Resolución de ecuaciones

Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada. La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita

los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro. El término 3x se puede eliminar del lado derecho mediante sustracción; 3x se ha de restar del lado izquierdo al mismo tiempo:

Después se resta el número 6 de ambos lados:

Para despejar la x en el lado izquierdo se dividen ambos lados de la ecuación por 2:

y la solución es por tanto: x = 3. Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuación original:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Dada una ecuación de segundo grado o cuadrática en su forma general:

hay diversas posibilidades para resolverla dependiendo de la naturaleza específica de la ecuación en cuestión. Si la ecuación se puede factorizar, la solución es inmediata. Por ejemplo:

Primero se escribe la ecuación en su forma general

que se puede factorizar como:

La igualdad sólo se cumple cuando uno de los factores es cero, es decir, cuando x = 5 o x = -2. Éstas son las soluciones de la ecuación, que de nuevo se pueden verificar mediante sustitución.

Si a primera vista no se encuentra un modo directo de factorizar la ecuación, puede existir otra alternativa. Por ejemplo, en la ecuación

la expresión 4x2 + 12x se podría factorizar como un cuadrado perfecto si fuera 4x2 + 12x + 9, que equivale a (2x + 3)2. Esto se puede conseguir fácilmente sumando 9 al lado izquierdo de la ecuación. La misma cantidad debe sumarse, por supuesto, al lado derecho:

que se reduce a

o

y

pues ð tiene dos valores. La primera ecuación da la solución x = ð (restando 3 de ambos lados: 2x = 1, y dividiendo ambos lados por 2: x = ð). La segunda ecuación da x = -7/2. Ambas soluciones se pueden verificar como antes, sustituyendo los valores en cuestión en la ecuación original. Esta forma de resolución se suele denominar método del cuadrado perfecto.