Leer Ensayo Completo Circunferencia, Parabola, Hiperbola Y Elipse

Circunferencia, Parabola, Hiperbola Y Elipse

Imprimir Documento!
Suscríbase a ClubEnsayos - busque más de 2.044.000+ documentos

Categoría: Temas Variados

Enviado por: Albert 23 mayo 2011

Palabras: 2526 | Páginas: 11

...

eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definida por la ecuación:

También en coordenadas polares una elipse (con centro en el origen) viene definida por la ecuación:

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) es:

Con , y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.

La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con (0 < e < 1)

Dado que , también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero

HIPERBOLA.

La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante.

ECUACION DE LA HIPERBOLA.

Ecuación reducida de la hipérbola:

Si el eje real está en el eje de las abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Ecuación de la hipérbola con los focos en los ejes 0Y:

Si el eje real está en el eje de las abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(0, c)

REPRESENTACION GRAFICA DE LA HIPERBOLA.

Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.

La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje Y.

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación: e .

PARABOLA.

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

ECUACION DE LA PARABOLA.

La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 viene dada por : y2=2px

La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta

y = -p/2 es: x2 = 2py

REPRESENTACION GRAFICA DE LA PARABOLA.

Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F(2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2.

la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.

Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).

La ecuación de la directriz es la recta ,

es decir,

REPRESENTACION GRAFICA DE LA ELIPSE.

Trazar una circunferencia de la ecuación:

X2 + 4Y2 - 6X -16Y + 21 = 0

Se sabe que la grafica dará como resultado una elipse porque tenemos X2 y Y2 y los coeficientes son del mismo signo es decir ambos son positivos y de diferente valor ( 1 y 4).

PASO 1:

Se transforma la ecuación antes dada para llevarla a la ecuación de una elipse:

X2 + 4Y2 - 6X -16Y + 21 = 0

X2 – 6X + 4Y2 – 16Y = - 21

(X2 – 6X) + (4Y2 – 16Y)= - 21

PASO 2:

Se busca la manera de que X2 y Y2 tengan coeficiente 1 como la X ya tiene coeficiente 1 y como Y2 tiene coeficiente 4 se utiliza la factorización:

(X2 – 6X) + 4(4Y2 – 4Y)= - 21

PASO 3:

Luego se hace un trinomio cuadrado perfecto: tomando como referencia el segundo coeficiente, se toma la mitad del número y luego se eleva al cuadrado.

(X2 – 6X + 9) + 4(4Y2 – 4Y + 4)= - 21

PASO 4:

Se multiplica el número que esta fuera del paréntesis por el tercer término y el resultado se coloca después de la igualdad:

(X2 – 6X + 9) + 4(4Y2 – 4Y + 4)= - 21 + 9 + 16

PASO 5:

Hay que factorizar cada trinomio cuadrado perfecto, tomando la raíz cuadrada del primer y tercer término y se coloca en medio el signo del segundo término y se resuelve la operación que se encuentra del lado derecho de la igualdad:

(X2 – 6X + 9) + 4(4Y2 – 4Y + 4)= - 21 + 9 + 16

(X – 3)2 + 4(Y – 2)2= 4

PASO 6:

Como la ecuación de la elipse siempre es igual a 1 hay que convertir el 4 que está del lado derecho de la igualdad en 1, para eso se divide tola la ecuación entre 4 que es el numero que está del lado derecho de la igualdad.

(X – 3)2 + 4(Y – 2)2= 4_ (X – 3)2 + (Y – 2)2= 1

4 4 4 4

Y es donde se llega a la ecuación de una elipse horizontal con centro en (h,k) tomando en cuenta que debajo de (Y – 2)2 hay un 1 como denominador, y que el denominador más alto que es 4 está debajo de la X y la ecuación es:

(X – h)2 + (Y – k)2 = 1

a2 b2

Donde: h y k son el centro de la elipse, a2 es la longitud del semieje mayor y b2 es la longitud del semieje menor.

PASO 7:

Se sustituye de la ecuación (h y k) por los números para obtener el centro de la elipse y los denominadores para saber la longitud:

(X – h)2 + (Y – k)2 = 1 (X – 3)2 + (Y – 2)2= 1

a2 b2 4 1

-h = -3 si se multiplica por -1 se obtiene 3 positivo

-k = -2 si se multiplica por -1 se obtiene 2 positivo

a2 = 4 se saca raíz cuadrada de 4 y queda 2

b2 = 1 se saca raíz cuadrada de 1 y queda 1

Entonces el centro de la elipse está en la coordenada (3,2), la longitud del semieje mayor es 2 y la longitud del semieje menor es 1.

PASO 8:

Determinamos C que viene dada por la ecuación:

C= a2 – b2

C= 4 – 1 C= 3 = 1,7

C= 1,7

Entonces reunimos todos los elementos de la grafica:

c = (3,2)

a = 2

b = 1

C = 1,7

V1 = (1,2) V2 = (5,2) V3 = (3,1) V4 = (3,3)

F1 = (3-1,7 ,2) F2 = (3+1,7 ,2)

REPRESENTACION GRAFICA DE LA CIRCUNFERENCIA.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro con extremos en los puntos P (-1,3) y Q (7,-5)

P (-1,3) Q (7,-5)

PASO 1:

P = (-1,3) Q = (7,-5) P = (X1,Y1) Q = (X2,Y2)

Se calcula h que viene dada por la formula:

h = X1 + X2 h = -1 + 7 = 6 = 3

2 2 2

h = 3

Se calcula k que viene dada por la formula:

k = Y1 + Y2 k = 3 + (-5) = -2 = -1

2 2 2

k = -1

Por lo tanto el centro de la circunferencia es C = (3,-1)

PASO 2:

Calculamos el radio de la circunferencia, se pueden tomar cualquiera de las dos distancias es decir entre C y P, o C y Q. tomando la distancia entre C y Q, los puntos de referencia son:

C = (3,-1) Q = (7,-5), se denominan los puntos como: C = (X1,Y1) Q = (X2,Y2), se utiliza la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos cartesianos la cual es:

d = (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2

Se reemplaza la ecuación por lo que vamos a calcular que es el radio y queda:

r = (7 – 3)2 + (-5 + 1)2 r = (4)2 + (-4)2 r = 16 + 16

r = 32

PASO 3:

Se utiliza la ecuación canónica de una circunferencia con centro (h,k) y radio que es la siguiente:

(X – h)2 + (Y – k)2 = r2

Se sustituye (h,k) y r2, para conseguir la ecuación de la circunferencia que es lo que se pide de este ejercicio:

(X – 3)2 + (Y + 1)2 = 322 (X – 3)2 + (Y + 1)2 = 32