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Esfuerzo En Vigas

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: Mikki 15 junio 2011

Palabras: 18842 | Páginas: 76

...

flexión, considérese una viga sujeta a flexión pura (es decir, una viga en la cual no se presentan esfuerzos cortantes), como en la Fig, 5.1. Supóngase que la viga está formada de un gran número ele fibras longitudinales. Cuando se flexiona la viga, las fibras de la porción superior de la viga se comprimen, mientras que las de la porción inferior se alargan. Se ve intuitivamente que debe haber alguna superficie donde se verifica la transición entre compresión y tensión. Esta, superficie (en la cual el esfuerzo es cero) se llama la superficie neutra, o eje neutro, y está localizada en el centro de gravedad de la sección transversal. La Fig. 5.1 (b) es un diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la viga y muestra la distribución de las fuerzas en las fibras de la viga. Las fuerzas resultantes de compresión y de tensión (C y T) son iguales en magnitud y forman al momento resistente interno de la viga (véase sección 4.2). La magnitud de los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en la viga, asociados con este momento pueden determinarse a partir de la fórmula de la flexión, que se deduce en la sección siguiente: En la deducción y uso de la fórmula de la flexión, se hacen ciertas suposiciones con respecto a la acción de la viga. En un trabajo de diseño normal estas suposiciones se aproximan a la acción real de la viga. Si en casos relativamente raros de diseño elemental surgen situaciones donde estas suposiciones no son válidas, deben emplearse otros métodos de análisis.

Las suposiciones que se hacen al usar la formula de la flexión son:

1. La viga inicialmente es recta, tiene una sección transversal constante y se conserva así esencialmente cuando está cargada. Las vigas realmente tienen ligeramente flexiones y torceduras que pueden ocurrir durante su fabricación, y cuyo efecto se desprecia. Sin embargo, el gancho de una grúa, que tiene una gran curvatura, no podría diseñarse mediante la fórmula de la flexión de este capítulo.

2. Las cargas se aplican en tal forma que no se presenta torsión. Si las cargas se aplican excéntricamente, tiene lugar una combinación de flexión y torsión. El análisis de este tipo de carga está fuera, del alcance de este libro, pero el capítulo 11 considera el tópico adicionalmente.

3. Todos los esfuerzos en la viga están por debajo del límite de proporcionalidad, y por consiguiente, se aplica la Ley de Hooke.

4. El módulo de elasticidad de las fibras a compresión es igual al de las fibras a tensión.

5. La parte de la viga que está comprimida, está restringida para moverse lateralmente.

6. La línea de acción de las fuerzas sobre la viga se aplica paralelamente a un eje principal y pasando por el centro de cortante. (El capítulo 11 describe este tema con más detalle.)

7. Las secciones planas antes de la flexión se conservan planas después de la flexión. Es decir, un plano que pase a través de una sección transversal antes de la flexión no se alabeará después de que se cargue la viga. Esta suposición explica la distribución de esfuerzos en forma lineal {OA y OB) mostrada en la Fig. 5.1 (b).

Figura 5.2

Estas suposiciones y las características físicas asociadas con la flexión pueden observarse en la Fig. 5.2. La Fig. 5.2 (a) y (b) muestra la viga y dos secciones planas (a-b y c-d) antes y después de la flexión. Como las secciones planas antes de la flexión se conservan planas después de la flexión (suposición 7), las fibras de la viga deben cambiar de longitud. La posición original de las fibras que se muestran en la Fig. 5.2 (c) (con líneas interrumpidas) se ha movido después de la flexión, a la posición mostrada por las líneas continuas. Las fibras superiores se han acortado, las fibras inferiores se han alargado, y las fibras localizadas en el eje neutro no han cambiado su longitud. La Fig. 5.2 (d) es un diagrama de la distribución de la deformación en la sección transversal. Obsérvese especialmente que la deformación varía linealmente desde cero en el eje neutro hasta un valor máximo de compresión en las fibras más superiores y hasta un valor máximo de tensión en las fibras más inferiores. Como, por la Ley de Hooke, el esfuerzo es proporcional a la deformación (suposición 3), la distribución de esfuerzos de la Fig. 5.2 (e) tiene la misma forma que la distribución de deformaciones, pero a una escala diferente. Por consiguiente, los esfuerzos en una viga varían también desde cero en el eje neutro hasta un máximo en las fibras extremas.

Formulas de flexión

La fórmula de la flexión se deducirá esencialmente en la misma forma que la fórmula de la torsión de la sección 3.2 Primero establecemos la relación entre los esfuerzos en las fibras y el momento resistente interno, lo cual se puede hacer de la manera siguiente:

a) Se analiza tina fibra localizada a una distancia cualquiera y a partir del eje neutro, se determina la fuerza ejercida en esta fibra debida a su esfuerzo, y el momento de esta fuerza con respecto al eje neutro.

b) Se obtiene la suma de los momentos de todas las fibras, con respecto al eje neutro. El resultado será el momento resistente interno de la viga. La deducción tiene la forma siguiente:

1. Considérese una sola fibra de área dA localizada a una distancia y del eje neutro (Fig. 5.3). Si el esfuerzo que actúa sobre esta fibra es , el esfuerzo que actúa sobre la fibra extrema es , y la distancia desde el eje neutro a la fibra extrema es c, entonces, por los triángulos semejantes de la figura 5.3 (e), tenemos:

Figura 5.3

2. Conociendo el esfuerzo sobre esta fibra y su área dA, se determina la fuerza ejercida por esta fibra:

3. El momento de esta fuerza dP con respecto al eje neutro es:

4. Sumando los momentos de cada una de las fibras de la viga se obtiene:

El término es por definición, el momento de inercia I de la sección transversal. La fórmula entonces se convierte en:

donde

=esfuerzo en las fibras extremas de la viga, en , o en Pa.

M = momento flexionante interno en la viga, en Ib-plg, o en N • m.

I = momento de inercia de la sección transversal de la viga, en plg4, o en m*.

c=distancia desde el eje neutro de la viga hasta las fibras extremas, en plg, o en ni.

Debe notarse que el eje neutro siempre coincide con el centroide de la sección transversal sí la viga está sujeta a esfuerzos menores a los del punto de fluencia y no se presentan fuerzas axiales.

Uso de la formula de la flexión

Se puede usar la fórmula de la flexión para determinar los esfuerzos máximos en las fibras de vigas en las cuales se conocen M, c, e I, o éstos se pueden determinar a partir de las cargas dadas y de las dimensiones.

Los ejemplos 5.1, 5.2 y 5.3 ilustran este procedimiento. Frecuentemente, las vigas tienen secciones transversales asimétricas con respecto al eje de flexión, semejantes a las indicadas en la Fig.5.4. El procedimiento para analizar estas vigas es semejante al ilustrado en los ejemplos 5.1, 5.2 y 5.3. La única diferencia es que existen dos valores de c. Si se quiere determinar el esfuerzo máximo se debe usar la mayor distancia c. Sin embargo, si se van a determinar los esfuerzos tanto en las fibras de la parte superior como en las fibras de la parte inferior, se aplica la fórmula = Mc/I dos veces, usando las respectivas distancias c. Como el eje neutro siempre está en el centroide de la sección transversal, el primer cálculo consiste en localizar este eje, .para determinar las dos distancias c. El procedimiento para calcular centroides y momentos de inercia se presenta en el apéndice A y se ilustra en el ejemplo 5.4.

El ejemplo 5.4 ilustra otro problema de análisis que se presenta frecuentemente. En este caso, se dan las dimensiones de la viga y los esfuerzos admisibles. El problema consiste en determinar la máxima carga que se puede aplicar.

Ejemplo 5.1 determinar el esfuerzo en las fibras extremas de la viga de 100 mm x 160 mm indicada en la figura 5.5.

a) Despreciar el peso de la viga

b) Incluir el peso de la viga (el peso específico de la madera es de 5 600N/m3).

Solución

a) El momento máximo debido a la carga concentrada puede determinarse según el caso1 del apéndice D. Así,

El momento de inercia es

Figura 5.5

El esfuerzo en las fibras extremas, superiores o inferiores, es

b) Cuando se incluye el peso de la viga como una carga uniformemente distribuida, el valor de w es

El momento adicional debido a esta carga es

El esfuerzo adicional debido a este momento es

El esfuerzo máximo en la viga, incluyendo su propio peso, es entonces de

E J E M P L O 5.2 Determinar el esfuerzo en las fibras extremas de la viga indicada en la Fig. 5.6.

S O L U C I Ó N El esfuerzo máximo puede determinarse a partir de =Mc/I. Sin embargo, en este caso debemos calcular primero I. Para determinar el momento de inercia con respecto al eje neutro (pasando a través del centroide de la sección transversal), usamos 3a Tabla 5.1. Por inspección vemos que el centroide está a 6 plg de la parte inferior.

A partir de la Tabla 5.1, calculamos

El momento es:

Ahora calculamos el esfuerzo y obtenemos

EJEMPLO 5.3 Determinar el esfuerzo máximo en una viga W 12 X 26 que está soportando la carga mostrada en la Fig. 5.7.

SOLUCIÓN Las propiedades de diseño para perfiles de acero laminado se encuentran en manuales tales como el Steel Construction publicado por American Institute of Steel Construction. Las propiedades de algunos perfiles seleccionados en este libro se incluyen en el Apéndice J. En la descripción de un perfil laminado, la letra indica su forma (en este caso de ala ancha), el primer número representa el peralte (la altura), nominal de la viga, el segundo número representa su peso por pie de longitud. En este ejemplo, W 12 X 26 significa que es una viga en I de ala ancha, de aproximadamente 12 plg de alto, que pesa 26 Ib/pie. Con esta información, consultamos el Apéndice J. para determinar el esfuerzo, solamente se necesita el momento de inercia con respecto al eje x-x y la mitad del peralte. Según el Apéndice J, Ixx = 204 plg4 y c=12.22/2 = 6.11 plg. Sin embargo, como la relación I/c se usa muy frecuentemente, también esta tabulada. En este caso l/c (llamado el módulo de la sección S) es de 33.4 plg3.

El momento de la viga se calcula como

Ahora calculamos el esfuerzo en la viga, y obtenemos

EJEMPLO 5.4 determinar los esfuerzos en las fibras extremas, superiores e inferiores, de la viga de sección T indica en la figura 5.8.

SOLUCIÓN para aplicar la fórmula de la flexión , debemos calcular tanto I como c. El primer paso es determinar la ubicación del centroide de la sección. A partir del ejemplo A. 18, sabemos que éste queda 100 mm por encima de la base. En seguida debemos calcular el momento de inercia con respecto al eje que pasa por este punto. Según el ejemplo A.24, I=31.76x10-6 m4. Por consiguiente:

Figura 5.8

El esfuerzo (máximo) en las fibras extremas inferiores es

El esfuerzo en las fibras extremas superiores es

EJEMPLO 5.5 Una viga W 16x36 soporta una carga uniformemente distribuida. El claro es de 20 pies y el esfuerzo permisible es de 24 000 lb/plg2. Determinar la carga permisible sobre la viga.

SOLICIÓN La capacidad de la viga para momento puede determinarse a partir de . Según el apéndice J, hallamos que I/c de una viga w 16x36 es 56.5 plg3.

Para una carga uniformemente distribuida, como se indica en la figura 5.9, el momento máximo es

Esfuerzos cortantes

El capítulo 4, se dedicó en parte a explicar la construcción de diagramas de fuerzas cortantes para fuerzas cortantes verticales en vigas. La consideración del esfuerzo cortante vertical, como tal, se hace muy pocas veces en el análisis y diseño de vigas. Sin embargo, los esfuerzos cortantes verticales se relacionan con los esfuerzos cortantes horizontales en las vigas, y esto es de gran importancia en algunos aspectos del diseño de vigas. Los esfuerzos cortantes horizontales deben considerarse en las dos aplicaciones importantes que se describen a continuación.

a) El material usado para la viga tiene una baja resistencia al esfuerzo cortante en una dirección (generalmente la horizontal). Esto ocurre en las vigas de madera.

b) Las partes délas vigas fabricadas deben estar unidas en una forma segura. Una viga de acero puede reforzarse uniéndole cubreplacas, y una viga de madera puede reforzarse uniéndole varias piezas más pequeñas. En estas aplicaciones se deben calcular las fuerzas cortantes horizontales para determinar el número requerido de clavos, de remaches, o de pernos, o la longitud de soldadura necesaria para que la sección compuesta trabaje como una unidad.

Hay dos métodos para establecer la existencia de los esfuerzos cortantes horizontales. Considérese una viga sujeta a cargas transversales como en la Fig. 5,10. La fuerza cortante vertical que actúa sobre cualquier sección, tal como la o-o, produce esfuerzos cortantes verticales. Sepárese un pequeño bloque de la viga y trácese un diagrama de cuerpo libre mostrando, los esfuerzos cortantes en la superficie a-a. Corno la viga está en equilibrio, el bloque también debe estar en equilibrio. Para conseguir que debe haber esfuerzos cortantes iguales (tuerzas) sobre las cuatro superficies en las direcciones indicadas en la Fig. 5.10 (e); es decir, el esfuerzo cortante horizontal en un punto dado debe ser igual al esfuerzo 'Cortante vertical en ese punto. También puede notarse que siempre que haya un esfuerzo cortante en un punto de un bloque, debe haber esfuerzos cortantes iguales sobre las cuatro superficies mutuamente perpendiculares del bloque. Este concepto se discutió en la sección 3.4.

La Fig. 5.11 es otro ejemplo de la acción de los esfuerzos cortantes horizontales en una viga. En la Fig. 5.11 (a), se supone que la viga está compuesta de varias placas delgadas colocadas una sobre otra, pero sin estar unidas de ninguna manera. Cuando se aplica una carga a la viga y ocurre la deformación, las superficies de contacto entre las placas se deslizarán, y sus posiciones finales serán como se indica en la Fig. 5.11 (b).

Si las placas estuvieran unidas por algún medio antes de que se aplique la carga (por ejemplo, por medio de pernos), la viga actuará como una unidad, como se nuestra en la figura 5.11 (c). Estos medios de conexión (los pernos considerados aquí) impedirán el deslizamiento de las superficies individuales. Por consiguiente los pernos están ejerciendo fuerzas horizontales.

Si la viga está compuesta de un solo bloque, y se aplica una carga sobre ella, como se muestra en la figura 5.11 (d), cada superficie horizontal tiende a deslizarse con respecto a la superficie adyacente. Realmente el deslizamiento no ocurre (excepto en el caso de una falla por esfuerzo cortante horizontal), pues la resistencia de la viga al esfuerzo cortante horizontal impide el deslizamiento; sin embargo, debe recordarse que una viga que soporta cargas transversales existen esfuerzos cortantes horizontales.

Fórmulas del esfuerzo cortante

En análisis y diseño de ingeniería interesa la magnitud y la distribución de los esfuerzos cortantes en las vigas. Una expresión para determinar los valores del esfuerzo cortante horizontal puede obtenerse de la manera siguiente:

La figura 2.12 (a) muestra una viga de ancho b que soporta cargas transversales. Quítese una sección de la viga de longitud dx y trácese un diagrama de cuerpo libre de esa porción de la viga (figura 5.12 b). El momento flexionante sobre la carga cd serán mayores que el de la cara ab (según el diagrama de momentos, que no se muestra), y por consiguiente, los esfuerzos sobre las fibras de la cara cd serán mayores que los de la cara ab. Ahora considere el diagrama de cuerpo libre de una sección de la figura 5.12 (c), cortada a una distancia y1 del eje neutro. Esto se muestra en la figura 5.12 (d). En este diagrama de cuerpo libre, la fuerza de compresión Cab (resultante de de cada fibra sobre ab arriba del corte) será menor que Ccd debido a que los esfuerzos sobre la cara ab son menores que los esfuerzos sobre la cara cd. Ya que esta sección debe estar en equilibrio y , debe actuar una fuerza horizontal hacia la derecha. Esta fuerza es P8, la fuerza cortante horizontal en la viga en esa sección. Dividiendo P8 entre el área sobre la cual actúan, obtenemos el esfuerzo cortante horizontal en la viga en ese lugar.

Los conceptos anteriores pueden expresarse en forma matemática como sigue:

El término representa el momento estático del área con respecto al eje neutro, y normalmente se presenta por Q. en otras palabras, es la distancia donde el eje neutro al centroide del área que queda arriba (o abajo) del corte, y A es el área de la sección transversal que queda arriba (o abajo) del corte.

Por lo estudiado en capítulos anteriores, (sección 2.10), y DM=V dx (sección 4.9). Haciendo estas sustituciones en las ec. (a), obtenemos:

Donde

Esfuerzo cortante horizontal, en lb/plg2, o en N/m2.

V= fuerza cortante vertical en la sección, en lb o en N.

Q= momentos estático del área que queda arriba (o abajo) del corte (Q=), en plg3 o en m4.

d= ancho de la sección del corte, en plg o en m.

Usos de la formula del esfuerzo cortante

Los dos tipos de problemas que pueden resolverse usando la formula (5.2) del esfuerzo cortante se describieron en la sección 5.6. Son los problemas de:

a) encontrar el esfuerzo cortante en materiales cuya resistencia al esfuerzo horizontal es pequeña.

b) Diseñar o analizar conexiones en miembros compuestos, en lo que respecta a fuerzas cortantes horizontales.

Los ejemplos 5.6 a 5.8 ilustran, respectivamente, cada uno de estos tipos de problemas.

Ejemplo 5.6. Trazar una grafica de la distribución de esfuerzos para la vigueta en la figura 5.13. Calcular los valores a cada 30 mm del peralte, para una fuerza cortante de V= 20 KN.

Solución La grafica final se indica en la figura 5.13 (b). Los valores del esfuerzo cortante se calculan como sigue:

En su parte superior: en la parte superior de la viga, Q=0; por consiguiente,

En la parte superior. A 30 mm por debajo (figura 5.13c),

En un punto localizado a 60 mm debajo del borde superior (figura 5.13d) se calcularan dos valores, uno justamente arriba de la junta del patín y el alma, donde b=180 mm, y el otro justamente debajo donde b=60 mm. El momento estático Q será el mismo para cada lugar. Se obtiene:

A 90 mm por debajo (figura 5.13.)

A 120 mm por debajo (fig. 5.13f)

A 150 mm por debajo (ejemplo neutro) (figura 5.13g),

Debido a la simetría, los valores correspondientes a puntos situados por debajo del eje neutro, son iguales a los calculados anteriormente.

Ejemplo 5.7 Se va a fabricar una viga de 8 plg x 12 plg con secciones de madera como se muestra en la figura 5.14. Si los clavos se van a espaciar cada 3 plg, ¿son más deseables las cuatro secciones de 2x4, de la figura 5.14 (b) con respecto a los esfuerzos cortantes? Las secciones de madera son de tamaño natural y V=1000lb. Se tiene:

Solución calculamos la fuerza cortante horizontal sobre los clavos de la figura5.14 (a). En este problema, como en muchos otros donde se requieren las fuerzas cortantes, es, más conveniente determinar el “flujo cortante” que el esfuerzo cortante. El flujo cortante es la fuerza cortante por pulgada (o metro) de longitud y se calcula como.

Así, para la figura5.14 (c),

Como los clavos están espaciados 3 plg, la fuerza sobre cada par de clavos es:

La fuerza cortante sobre cada clavo es la mitad de 245.4, o sea 122.7 lb.

Para encontrar la fuerza cortante horizontal sobre los clavos de la figura. 5.16 (b), se calcula (véase figura 5.14 d)

La fuerza sobre cada par de clavos es:

La fuerza sobre cada clavo es la mitad de esta fuerza, o sea 61.4 lb. Por consiguiente, con relación a la fuerza cortante soportada por los clavos, es preferible el arreglo mostrado en la figura 5.14 (b).

Ejemplo 5.8 Determine el espaciamiento necesario de los clavos, Ref. 10 d, para asegurar que la viga de sección T consiste de dos secciones de madera de 2 plg x 6plg mostrada en la figura5.15 actúe como una unidad. La resistencia permisible para esfuerzo cortante horizontal de un clavo10 d es de 94 lb.

Solución La fuerza cortante es de valor constante e igual a 125 lb, de modo que los clavos pueden quedar igualmente espaciados a través de la longitud de la viga. El flujo cortante para cualquier sección es:

Como se debe obtener una resistencia al esfuerzo cortante de 22.1 lb por cada pulgada de longitud, el espaciamiento de los clavos es:

Consideración del diseño

Hasta aquí, se han considerado problemas de análisis; es decir, se dieron las dimensiones de la viga, y se calcularon los esfuerzos o los momentos (cargas). Los problemas de diseño también utilizan la fórmula de la flexión = Mc/I y, ocasionalmente, la fórmula del esfuerzo cortante = VQ/Ib. En el diseño, se conoce el claro, la carga, y los esfuerzos admisibles, y el problema consiste en determinar las dimensiones y forma requeridas de la sección transversal de la viga.

El diseño de vigas es teóricamente complejo porque involucra la determinación del l/c necesario de la viga. Sin embargo, la solución práctica del problema es generalmente muy simple porque la mayoría de las vigas se consiguen en dimensiones estándar con valores de I/c tabulados en tablas adecuadas. En el diseño de las vigas debemos determinar el valor l/c necesario a partir de I/c M/ , y después obtener las dimensiones de la sección transversa] que proporcionará el I/c necesario o un valor ligeramente mayor.

En este libro, el diseño se explicará en dos formas. El primer tratamiento será semejante al que pudiera a aplicarse problemas elementales de diseño de máquinas, donde la sección transversal es un área geométrica simple, .al como un círculo, un rectángulo, o un triángulo. Se deducirán las relaciones I/c de formas simples y se igualarán los resultados al I/c requerido para obtener las dimensiones deseadas. El segundo método se usa para seleccionar vigas en las dimensiones comercialmente disponibles. En este caso, se tabulan, los valores de I/c, y el diseño se lleva a cabo seleccionando las dimensiones más económicas. Para aquellos casos en los que los perfiles no son formas geométricas simples o formas comerciales estándar, debe usarse un método de tanteo.

Modulo de la sección

El modulo de la sección se define como

Con esta definición la formula de la flexión se puede escribir como

Diseño de vigas que tienen formas geométricas simples

Cuando el área de la sección transversal de una viga en un circulo, un rectángulo, un triangulo, u otra forma geométrica, para las cuales se cuenta con fórmulas para el momento de inercia y el centroide, sus dimensiones pueden determinarse usando la definición del módulo de la sección. Si se dan las cargas y los esfuerzos admisibles, el módulo de la sección necesario puede calcularse a partir de Snecesario= M/.

Después se usa la definición de módulo de la sección (S = I/ c) para determinar las dimensiones de la sección transversal. Los ejemplos siguientes ilustran este procedimiento.

Ejemplo 5.9 Una viga de aluminio de 2 m de longitud soporta una carga de 12 kN aplicada a 0.8 m de un extremo (véase Fig. 5.16). La sección transversal de la viga debe ser rectangular, con un peralte igual al doble del ancho. El esfuerzo permisible es de 80 MPa. Determinar las dimensiones necesarias.

Solución

El módulo de la sección necesario es:

La sección necesaria es rectangular. El módulo de la sección para esta forma se encuentra como sigue:

Igualando el módulo de la sección necesaria con el de un rectángulo, se ve que:

Según el cual

Por consiguiente,

Ejemplo 5.10 Una parte de una máquina tiene 1.6 m de longitud y soporta una carga de 16 kN en su centro (figura 2.17). El esfuerzo admisible es de 110 MPa. Determine el diámetro necesario para una sección circular.

Solución

El módulo de la sección para una sección circular se deduce así:

Igualando el módulo de la sección necesario con el de una sección circular, tenemos

Ejemplo 5.11 La sección transversal de una viga en voladizo de 3 pies de longitud (Fig- 5.18) es un triángulo equilátero. Determine las dimensiones de la viga, suponiendo que soporta una carga de 2 klb en su extremo. El esfuerzo admisible es de 16 klb/plg2.

Solución

El módulo de la sección de una sección triangular se deduce como sigue:

Para un triangulo equilátero, la lectura es b=0.866b. Igualando el módulo de la sección necesario, con el proporcionado, obtenemos:

Diseño usando perfiles estándar, disponibles comercialmente.

El procedimiento de diseño descrito en la sección anterior es difícil aplicar si la sección transversal de la viga fuera diferente de una de las formas geométricas simples. El diseño ele vigas que tienen formas compuestas se hace mediante uno de dos métodos- —ya sea eligiendo una sección a partir de las muchas formas y tamaños estándar, comercialmente disponibles, o por tanteos. El primer procedimiento es el método más común y fácil en el diseño estructural. Se recurre al método de tanteos solamente en casos en que la forma y dimensiones de la viga no sean estándar. El diseño estructural normal consiste en elegir la forma y dimensiones de la viga más económica, a partir de perfiles estándar, comercialmente disponibles. En el diseño de vigas de acero, las formas más comúnmente usadas son de patín ancho (W) *, la Estándar Americana (S) en canal (C), o en ángulo. En el Apéndice J se presentan tablas con las dimensiones de algunos de estos perfiles. En el manual Steel Construction que publica el American Institute of Steel Construction se puede encontrar una lista completa de ellos.

Las vigas de madera son otros materiales estructurales comúnmente usados. Las dimensiones de una viga de madera se dan mediante su tamaño nominal. Sin embargo, este generalmente no proporciono dimensiones verdaderas, ya que las cuatro caras de una viga de madera se cepillan en el aserradero. El tamaño nominal, llamado también la "dimensión sin labrar", es la dimensión de la viga antes de que se cepillen los lados. El tamaño labrado, es el tamaño después del cepillado que escomo generalmente se compra en las madererías. Por ejemplo, un tamaño nominal de 2 x 6 realmente mediría plg x plg. En el Apéndice I hay una tabla donde se indica el tamaño nominal, el tamaño labrado y las propiedades de diseño. También se usa el símbolo S4S para describir una pieza de madera cepillada por los cuatro lados.

El procedimiento básico en el diseño estructural es determinar el módulo de la sección necesario dividiendo el momento flexionante máximo por el esfuerzo permisible, y después escoger un tamaño de viga que proporcionará ese módulo de la sección o un valor ligeramente mayor. Es conveniente hacer aquí unos cuantos comentarios sobre la economía en la selección de tamaños. Las vigas de acero se venden sobre la base de su peso. Entre más ligera es una viga, es menos costosa, independiente de su peralte. Por .consiguiente, la viga de acero más liviana que proporcione la resistencia necesaria es la menos costosa. Frecuentemente las consideraciones prácticas de diseño requieren el uso de secciones que pueden pesar más de lo que se requiere, pero que se ajustan más fácilmente al -detalle general de construcción. Como hay muchas consideraciones prácticas de diseño que influyen en la elección de una vieja, es imposible considerarlas en este libro. Para nuestros propósitos, la viga más económica es la sección de menor peso que proporcione la resistencia necesaria.

La madera se vende por pie de tablón, basado en el tamaño nominal.

Un pie tablón es el volumen equivalente a un tablón de 1 pie de largo por 1 pie de ancho y por 1 plg de grueso. Por ejemplo, una viga de 3 plg X 8 plg y de 8 pies de longitud contendría (3 X 8) / (12 X 1)= 2 pie tablones/pie. Para 8 pies de longitud, la pieza contendría 2 X8 = 16 pies tablones de madera. El módulo de sección varía con el cuadrado del peralte y directamente con el ancho. Por consiguiente, las secciones de mayor peralte son las más económicas. Los ejemplos 5.12 y 5.13 ilustran el diseño- de vigas de acero- y de madera.

Ejemplo 5.12 Diseñe una viga de acero que soporte las cargas mostradas en la Fig. 5.19. El esfuerzo de flexión admisible es de 24 klb/plg2.

Solución

El momento máximo puede calcularse combinando los casos 2 y 4 Apéndice D:

Según las tablas de perfiles estructurales dados en el Apéndice J, se pueden usar:

Entre todas estas posibilidades, la de mayor peso, y por consiguiente, la sección más económica, sería la W 14x34.

Ejemplo 5.13 Diseñe la viga de madera más económica (tamaño labrado) para soportar las cargas mostradas en la Fig. 5.20. El esfuerzo de flexión admisible es de 1 500 lb/plg2.

Según el Apéndice H se podría usar:

Vemos que el tamaño de 4x12 sería el más económico, ya que tiene 4 pies tablón/pie.

Esfuerzos cortantes en el diseño

El esfuerzo cortante debe considerarse en el diseño de cualquier viga- Como el esfuerzo cortante frecuentemente no es tan crítico en el diseño de las vigas como los esfuerzos de flexión, el procedimiento normal consiste en dimensional- la viga sobre la base de los esfuerzos de flexión; y verificar que en esa sección no hay esfuerzos cortantes excesivos.

Como en la práctica; los esfuerzos cortantes nunca controlan el diseño de las vigas de acero, a menos que se apliquen grandes cargas concentradas cerca de los apoyos, no se considerarán aquí. Sin embargo, se recomienda al lector que investigue las especificaciones de diseño, -en el raro caso en que se apliquen cargas concentradas grandes cerca de un apoyo.

Para las vigas de madera, cuya capacidad para resistir fuerzas cortantes horizontales es muy baja, los esfuerzos cortantes controlan frecuentemente el diseño. Como se indicó anteriormente, e 1 procedimiento usual consiste en diseñar la viga sobre la base de los esfuerzos de flexión, y después revisar para los esfuerzos cortantes horizontales. Si el cortante horizontal es excesivo, debe incrementarse el tamaño para reducir él esfuerzo cortante basta límites permisibles.

El esfuerzo cortante horizontal máximo ocurre en el eje neutro (excepto en vigas que tienen lados abusados, tales corno un triángulo). Como la mayoría de las vigas de madera son rectangulares, la fórmula del esfuerzo cortante, ec. (5.2), puede volver a escribirse para obtener el esfuerzo cortante máximo para este caso, como se muestra en los cálculos que siguen (véase Fig. 5.21):

El área A puede obtenerse en las tablas de propiedades de diseño dadas en el Apéndice I

Ejemplo 5,14 Diseñe la viga de madera mostrada en la Fig. 5.22. El esfuerzo de flexión admisible es =1 500 lb/plg2, y el esfuerzo cortante admisible es de = 120 lb/plg2.

Solución

Por estática, calculamos las reacciones R1 = 3900lb y RD = 2700 lb. Los diagramas de V y M se muestran en la figura 5.22 (b) y (c). Calculando:

Ensayamos una sección de 4x12 (que tiene un S= 73.8 plg3) y verifiquemos el esfuerzo cortante horizontal:

Este diseño no cumple las condiciones. Por consiguiente, probemos una sección de 6x10 (que tiene un S= 82.7 plg3) y verifiquemos otra vez el esfuerzo cortante horizontal:

Este diseño soportará la carga, y se puede usar una viga de madera de 6x10 S4S.

Vigas no apoyadas lateralmente

Todo el material explicado hasta aquí en este capítulo se ha basado en la suposición de que la parte en compresión de la viga está apoyada lateralmente; es decir, que el patín a compresión no puede torcerse hacia los lados. La Fig. 5.23 (a.) y (b) muestra vigas que están lateralmente apoyadas, y la Fig. 5.23 (c) muestra una viga que no está apoyada lateralmente. Ciertas secciones de vigas son inestables cuando no están apoyadas, lateralmente y son relativamente largas. Las cargas tienden a "salirse" de la viga, y por tanto, ésta sólo puede soportar una carga mucho menor. En ausencia de apoyo lateral, las “secciones abiertas” tales como las vigas W y S son muy débiles, mientras que las secciones "cerradas" o en caja pueden soportar cargas mucho mayores.

El análisis de los esfuerzos y la estabilidad de vigas no apoyadas lateralmente es extremadamente complejo. Si se va á diseñar una de tales vigas, la práctica aceptada es seguir las especificaciones de diseño, ya que en ellas se prevén las posibles fallas por inestabilidad de las vigas no apoyadas lateralmente (o para las vigas donde los apoyos laterales están espaciados grandemente), reduciendo el esfuerzo admisible.

Las especificaciones de 1978 del American Institute of Steel Construction requieren que si los apoyos laterales están espaciados más de13 veces apropiadamente, el espesor del patín a compresión, debe reducirse el esfuerzo admisible. Las fórmulas para este esfuerzo reducido parecen complejas, pero las tablas disponibles en el manual Steel Construction vuelven relativamente fácil ese problema normalmente tedioso.

En este libro no se explicará el diseño de vigas no apoyadas lateralmente, pero se advierte al estudiante que recuerde siempre que para las vigas no apoyadas lateralmente, aunque escasas, en la práctica, un diseño inadecuado tendría serias consecuencias.

6

Esfuerzos combinados.

Hasta ahora nos hemos interesado en el cálculo de un sólo tipo de esfuerzo. Por ejemplo, con = P/A solamente se consideraron cargas axiales aplicadas a través del centroide de la sección, con r = Tc/J solamente cargas de torsión sobre ejes de sección circular, y para =Mc/I solamente cargas aplicadas perpendicularmente al eje transversal. Con estos métodos pueden resolverse una amplía clara de problemas, Pero podemos ampliar esta clase combinando adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son válidas. La Fig. 6.1 muestra varios ejemplos de problemas de este tipo. Sin embargo, estos problemas pueden resolverse mediante una combinación adecuada de los métodos ya estudiados. La poderosa técnica de superposición se usa en la solución de todos los problemas mostrados en la Fig. 6.1. En la sección A de este capítulo se discuten algunos elementos estos problemas, que involucran la superposición de esfuerzos P/A y Mc/I. Los casos de esfuerzos normales y cortantes combinados, se estudian en la Sección B.

Cargas combinadas, axiales y de flexión.

Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una carga inclinada P, como se muestra en la Fig. 6.2 (a). Esta carga no produce flexión ni carga axial solamente, sino una combinación de las dos. Si se descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y vertical, como en la Fig. 6.2 (b) y (c), estas componentes actúan en las direcciones que permiten aplicar la teoría de los capítulos 2 y 5.

La fuerza axial Px (Fig. 6.2b) produce esfuerzos directos de tensión σ3. Podemos trazar un círculo de Mohr para dos caras mutuamente perpendiculares cualesquiera.

La Fig. 6.29 (b) indica la ubicación de σ1 y σ2 en el plano X-Y; la Fig. 6.29 (c), la de σ2 y σ3 en el plano Y-Z, y la Fig. 6.29 (d), la de σ1 y σ3 en el plano X-Z. Cada uno de estos diagramas describe el estado de esfuerzos sobre dos planos mutuamente perpendiculares girados alrededor de un eje del tercer plano.

Si superponemos estos tres diagramas obtenemos el diagrama compuesto de la Fig. 6.30. Todos los esfuerzos, normales y cortantes, que pueden ocurrir en el punto definido por el elemento, sin importar la orientación de la sección, se pueden obtener a partir de este diagrama. Cualquier punto dentro de la porción sombreada da los esfuerzos normal y cortante en un punto donde la orientación está girada con respecto a dos ejes.

Generalmente usamos el diagrama para determinar los esfuerzos principales normales y los esfuerzos cortantes máximos. Estos valores se

Figura 6.29

Obtienen fácilmente a partir de la Fig. 6.30. Puede observarse que:

Ejemplo 6.15 Determinar los esfuerzos principales normales y los máximos esfuerzos cortantes para el elemento indicado en la Fig. 6.31.

Solución ES análisis considera primero los esfuerzos sobre los planos X y Y. Esta parte de la solución es idéntica a la de la sección 6.11. El círculo de diámetro AB de la Fig. 6.31 (b) describe los esfuerzos en el plano X-Y como:

Los esfuerzos sobre la tercera cara son cero. Por consiguiente, σz= 0. Considerando σz y σmin, se obtiene el círculo definido mediante el diámetro 0A. Considerando σz y σmáx se traza el círculo de diámetro 0B.

Los esfuerzos principales normales son y El esfuerzo cortante máximo es

La mayoría de los problemas pueden analizarse corno un estado biaxial de esfuerzos. Cuando existe un estado triaxial de esfuerzos, como se indica en la Fig. 6.32, pueden hacerse dos análisis separados para cada dos orientaciones. El círculo de Mohr se describirá eventualmente en forma semejante a la de la Fig. 6.30.

Figura 6.32

Ecuaciones generales para la deformación

Siempre que existan esfuerzos en un cuerpo, ocurrirán deformaciones. Las deformaciones en cualquier dirección, en un miembro sujeto a esfuerzos combinados, normal y cortante pueden determinarse considerando la geometría del movimiento producida, por los esfuerzos.

En la sección 6.8 deducimos expresiones para los esfuerzos normal y cortante en cualquier dirección para un elemento sujeto a un estado plano de esfuerzos. El procedimiento consistió en tomar un bloque elemental y deducir ecuaciones para los esfuerzos sobre un plano girado cualquier ángulo θ con respecto a los ejes originales. Las ecuaciones para la deformación sobre un plano girado, según un ángulo θ con respecto a los ejes originales puede obtenerse de una manera análoga observando la geometría del movimiento.

Consideremos un pequeño bloque elemental sujeto a esfuerzos planos, normal y cortante. Supongamos que conocemos las deformaciones producidas por los esfuerzos normal y cortante, asociadas a un sistema de ejes coordenados X y Y. Ahora queremos determinar las deformaciones asociadas a un sistema de ejes coordenados X' y Y' girados según un ángulo θ con respecto a. los ejes originales, como se indica en la Fig. 6.33.

La Fig. 6.34 (a) indica un elemento sujeto a esfuerzos planos, normal y cortante. El elemento tiene lados de longitudes dx y dy, tales que la diagonal OB está sobre el eje X'. Después del movimiento que tiene lugar debido a los esfuerzos, la esquina original B se ha movido a W, como se índica en la Fig. 6.34 (b). El movimiento BB' puede descomponerse en una componente BB", paralela al eje X', y una componente B”B´ per

Figura 6.33

Figura 6.34

pendicular al eje X'. El alargamiento BB" es la deformación total a lo largo del eje X'.

Queremos describir la deformación unitaria e' a lo largo del eje X' en función de las deformaciones producidas por los esfuerzos de la Fig. 8.34 (a). La Fig. 6.35 (a), (c) y (e) indica los cambios en longitud producidos por cada una de las tres componentes del esfuerzo. Según la ecuación (2.2), la deformación total es Por consiguiente, la deformación producida por es y la producida por es . El esfuerzo cortante produce un movimiento y dy, donde y es la deformación unitaria por cortante.

Cada uno de estos movimientos puede descomponerse en componentes paralela y perpendicular al eje X'. La Fig. 6.35 (b), (d) y (f) indica estas componentes.

El movimiento total BB" de la Fig. 6.34 (b) es la sumatoria de todas las componentes del movimiento a lo largo del eje X'. Esto puede escribirse como

Reconociendo que según la Fig. 6.34 (a) dx/ds = cos 0, y dy/dx = sen θ, la ecuación (a) puede reescribirse como:

Se obtiene una expresión más útil sustituyendo las identidades trigonométricas

en la ecuación (b) . Haciendo estas sustituciones y simplificando la expresión resultante, llegamos a:

La deformación por cortante para el elemento de la Fig. 6.34 es el cambio angular con respecto a la posición original. Esta es la combinación de la rotación de los ejes X' y Y'. Llamando a al ángulo de rotación del eje X,

La distancia B" B' es la suma de los movimientos perpendiculares al je X', indicados en la Fig. 6.35 (b), (d) y (f). Es decir:

Otra vez, reconociendo que dx/ds = cos θ y dy/ds= sen θ, el ángulo α se obtiene dividiendo la ecuación (d) entre ds, Es decir:

El ángulo β es la rotación equivalente del eje Y'. Pueden construirse movimientos geométricos análogos a los indicados para el eje X'. La expresión resultante para el ángulo β llega a ser

El cambio en el ángulo X'0Y' debido a estos movimientos angulares es la-deformación por cortante, y'. Combinando las ecuaciones (e) y (f), esto se convierte en

Sustituyendo las identidades trigonométricas descritas anteriormente, la ecuación (g) puede reescribirse como

Las expresiones y γ’ de las ecuaciones (6.13) y (6.14) tienen la misma forma general que las de los esfuerzos, como lo indican las ecuaciones (6.3) y (6.4). El signo menos se debe a la convención de signos usada para los esfuerzos cortantes.

Podemos determinar la dirección de los ejes principales de deformación mediante una solución de máximos y mínimos semejante a la hecha en la sección 6.9. Derivando la ecuación (6.13) con respecto a dθ, haciendo y resolviendo para tan θ se llega a la ecuación

Donde

θ= ángulo correspondiente a las deformaciones unitarias principales,

γ= deformación unitaria por cortante,

Deformaciones unitarias axiales.

Sustituyendo en la ecuación (6.13) los valores de 29 dados por la ecuación

(6.15), obtenemos

El esfuerzo cortante máximo puede obtenerse derivando la ecuación (6.14), haciendo dγ'/dθ =0, y resolviendo. Los resultados indican que las deformaciones máximas por cortante ocurren según un ángulo de 45° con respecto a los planos principales de deformación. El valor de la deformación máxima por cortante es

Debería reconocerse la íntima correlación entre las ecuaciones para la deformación deducidas en esta sección, con las correspondientes al esfuerzo, de las secciones 6.8 6.10.

Figura 6.36

Círculo de Mohr para deformaciones

La semejanza entre las ecuaciones (6.13), (6.14), y las ecuaciones y (6.4) nos conduce a reconocer que el círculo de Mohr puede usarse para calcular valores de la deformación unitaria. El procedimiento es semejante al descrito en la sección 6.11.

La Fig. 6.36 ilustra los parámetros para esta construcción. Las deformaciones unitarias normales, ε, se trazan en el eje de las abscisas. Los alargamientos son positivos; los acortamientos son negativos. Las deformaciones unitarias por cortante, divididas entre dos se trazan sobre el eje de las ordenadas. Una deformación unitaria por cortante positiva ocurrirá cuando la arista paralela al eje X gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj y la arista paralela al eje, Y gira en el sentido- de las manecillas del reloj. La Fig. 6.34 (b) ilustra esta situación. Al identificar la coordenada consideramos positiva una rotación en el sentido de las manecillas, del reloj, de una arista paralela a un eje positivo, y una rotación negativa en el sentido contrario al de las manecillas. Esto proporciona consistencia entre la definición de la -deformación positiva por cortante y las ecuaciones (6.13) y (6.1.4).

Se trazan las dos coordenadas, y como en la Fig. 6.36. Estas coordenadas corresponden a las deformaciones unitarias representadas por la Fig. 6.34. La línea HCV es el diámetro del círculo. Con el punto C como centro, se traza el círculo completo.

Las deformaciones unitarias máximas, normal y por cortante, junto con su ángulo de rotación, pueden determinarse mediante las mismas técnicas descritas en la sección 6.11.

Ejemplo 6.16 Calcular las deformaciones unitarias principales y sus direcciones para un elemento, cuando y

Solución En la Fig. 6.37 (a) y (b) se indican las direcciones de los esfuerzos y el aspecto deformado para las condiciones del problema. La coordenada V se traza con y Surge el signo negativo debido a que el lado paralelo al eje X gira en el sentido de las manecillas del reloj. Análogamente, se traza H con y

El centro del círculo se localiza en, y el radio CV se calcula como

Figura 6.37

La deformación unitaria máxima se calcula como

La deformación unitaria mínima se calcula como

La coordenada V gira en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, según un ángulo 2θ para alcanzar el máximo en B.

El ángulo de rotación es

La Fig. 6.37 (d) indica las deformaciones y el elemento girado. La deformación unitaria máxima por cortante se obtiene girando el diámetro a través de un ángulo adicional de 90° hasta los puntos D y G. Esto corresponde a girar el elemento a través de un ángulo adicional de 45°, como se indica en la Fig. 6.37 (e). El valor de la deformación unitaria máxima por cortante es

La deformación unitaria normal correspondiente es

Aplicaciones de las medidas de las deformaciones

El esfuerzo no puede medirse debido a que es un parámetro definido. Si la fuerza interna pudiera medirse, podría calcularse su esfuerzo correspondiente. Por otro lado, la deformación unitaria puede medirse fácilmente mediante el uso de deformímetros tales como los que se describen en el Capítulo 15. Si se conocen, las deformaciones unitarias, pueden calcularse los esfuerzos correspondientes.

Una roseta de deformaciones (véase la Fig. 6.38) es un defonnimel.ro que se usa para medir deformaciones unitarias normales a. lo largo de tres ejes. Cuando se conocen las deformaciones unitarias en un punto, en tres direcciones, la información es suficiente para determinar el estado completo de deformaciones unitarias en dicho punto. Esto puede conducir después a la determinación, del estado de esfuerzos en ese punto.

La ecuación (b) de la sección 6.14 relaciona, la deformación unitaria

Figura 6.38

a lo largo de cualquier eje n con el ángulo de rotación y el plano de deformaciones, como:

Usando una roseta de deformaciones, obtenemos las deformaciones unitarias y sus direcciones con respecto a u n eje de referencia. La ecuación (b) anterior puede escribirse para obtener tres ecuaciones simultáneas que, cuando se resuelven, proporcionan los valores de y γ Las ecuaciones son:

La ecuación (8.18) es válida para tres direcciones cualesquiera de una roseta de deformaciones unitarias. Sin embargo, lo más común es usar ángulos de 0º , 45° y 90°, o de 0°, 80° y 120°, como se indica en la Fig. 6.38 (a) y (b).

Ejemplo 6.17 Una roseta de deformaciones unitarias con deformímetros que forman ángulos 0º, 45º y 90° con el eje X se aplican a una parte de una máquina. Cuando se carga la máquina se miden las deformaciones unitarias siguientes:

Determinar las deformaciones unitarias principales y la deformación unitaria máxima por cortante.

Solución Sustituyendo los datos en la ecuación (6.13), encontramos.

De lo cual

Incorporando estos valores en el círculo de Mohr de la Fig. 6.39, da

Figura 6.39

Deflexión de vigas

En el diseño de partes de máquina, o de, estructuras de edificios, frecuentemente se requiere la determinación "ti? la deflexión, ya sea la deflexión máxima, ya la deflexión en un punto particular. Hay dos razones importantes por las cuales puede ser necesario un conocimiento de la deflexión de una viga. La primera es simplemente para poder predecir, la deflexión de una viga bajo carga. En edificios y partes de máquina, las especificaciones y otros requisitos limitan, a menudo, la deflexión que puede tolerarse. Por ejemplo, si los componentes de una máquina experimentan deflexiones excesivas o diferenciales, los engranajes pueden volverse inoperantes o pueden desalinearse los componentes. Si se pueden predecir las deflexiones para las partes sometidas a flexión, pueden especificarse tolerancias adecuadas en el diseño de las componentes de la máquina.

Una segunda, y posiblemente aún más significativa razón para calcular las deflexiones, es que para la solución de vigas estáticamente indeterminadas se necesita la deflexión de la viga y sus características giratorias. El capítulo 8 explica el uso de las deflexiones en la solución de vigas estáticamente indeterminadas.

Hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas. Este capítulo presenta cuatro de los más comunes. La sección A describe el método clásico de la doble integración para hallar la ecuación de la curva elástica de la viga. El, método del área de momentos que es tradicional en cursos de mecánica de materiales, se presenta en la sección B. Otro método, que se explica en la sección G, es la técnica de superposición usando las fórmulas estándar para vigas. Este método es fácil de usar, aunque algunas veces, de aplicación laboriosa. Sin embargo, se recuerda con facilidad y por consiguiente es de interés especial si las deflexiones no se calculan muy frecuentemente. Además, la sección D presenta un cuarto método para el cálculo de deflexiones, el método de los pesos elásticos. Este, en combinación con el método del área de momentos proporciona un método eficaz para resolver muchos de los problemas de rotación y deflexiones de vigas.

Las cuatro secciones de este capítulo se han escrito para ser "autosuficientes"; por este motivo se puede variar su secuencia u omitirse una o más sin afectar las otras.

Relación entre curvatura y momento

Antes de presentar los procedimientos para calcular deflexiones, es necesario definir los términos que se usarán y encontrar las relaciones fundamentales entre la curvatura de una viga y los esfuerzos internos y momentos.

La elástica de una viga es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga. Una línea que muestre la forma flexionada de una viga sometida a carga es la elástica de la viga. La pendiente de una viga se define como la pendiente de la tangente a la elástica en un punto cualquiera. La Fig. 7.1 muestra la elástica de una viga deformada por cargas (no indicadas) respecto a su posición recta original. Las tangentes a la elástica se muestran en A y B, con los símbolos indicando la pendiente de la curva en esos puntos.

La deflexión de una viga es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica, con respecto a su posición original sin carga. Se usan los símbolos en la Fig. 7.1 para indicar la deflexión de los puntos A y B de esta viga, con respecto a la posición sin carga.

Como las deflexiones de la viga son pequeñas con respecto a su longitud, cada segmento de la elástica puede considerarse aproximadamente como un arco de círculo. El radio del arco se llama radio de curvatura, y se le asigna el símbolo ρ. La Fig. 7.2 muestra la curva elástica de una viga flexionada mediante cargas (no mostradas). Cualquier segmento pequeño, tal corno el AB, es un arco de círculo de radio ρ1.

Cada segmento diferente de la curva tiene un diferente radio de curvatura, como se demostrará posteriormente en esta sección. Por consiguiente, el segmento CD de la Fig. 7.2 tiene un radio de curvatura, ρ2 que es diferente de ρ1. El centro de curvatura es la intersección de los radios, tal como- los puntos O1 y O2.

Existe una relación definida entre el radio de curvatura de la viga, el esfuerzo en las fibras extremas, y él momento flexionante que produce ese esfuerzo. Podemos encontrar esa relación considerando la Fig. 7.3. La Fig. 7.3 (a) muestra una pequeña sección de una viga sin carga, de longitud dx; la Fig. 7.3 (b) muestra la misma sección después de que la viga se ha deformado por la acción de las cargas aplicadas.

Puesto que las secciones planas antes de la deformación se conservan planas después de ella, y esta pequeña sección de la elástica es un arco de círculo, A'B' y CD' se cortarán en el centro de curvatura 0, formando un sector circular. El eje neutro (elástica) no está sujeto a ningún esfuerzo y conserva la longitud original dx. Sin embargo, las otras fibras cambian de longitud, como se discutió en el capítulo 5. Supóngase que las fibras inferiores, situadas a una distancia c a partir del eje neutro, aumentan su longitud en una cantidad δ.

Figura 7.3

Considerando la geometría de los sectores semejantes Onn y OB´D´, podemos escribir:

Resolviendo, obtenemos dx(ρ + c) = (dx + δ)p; c dx = δp; y

A partir do las definiciones básicas del capítulo 2,

y también ε= σ/E. Eliminando ε de estas ecuaciones, tenemos

Sustituyendo esto en la ecuación (b) nos da

Donde

σ = esfuerzo en libras extremas, en lb/plg2 o Pa,

E = módulo de elasticidad, en lb/plg2 o Pa,

C = distancia entre el eje neutro y las fibras extremas, plg o m,

Ρ = radio de curvatura, plg, o m.

Puede obtenerse otra expresión útil, sustituyendo la relación σ = Mc/I en la ec. 7.1. Así:

que es la relación entre la curvatura de una viga y el momento flexionante. Podemos obtener una expresión adicional, que se usará en secciones posteriores de este capítulo, eliminando ρ de las ecs. (a) y (7.2):

Y llegamos a:

La ec. (7.3) indica que la variación en la pendiente entre dos secciones, transversales de una viga es igual al área bajo el diagrama de momentos (M dx) comprendido entre esas secciones, dividida entre EI

Esta expresión se discutirá posteriormente más ampliamente en este capítulo.

Base del método

La Fig. 7.4 muestra la elástica de una viga deformada por cargas (que no se indican). El objeto del procedimiento de integración es expresar la ecuación para la elástica de la viga en términos de las cargas y de las coordenadas x y y.

En la sección.7.2, se estableció' que puesto que las deflexiones de la viga son pequeñas en comparación con la longitud de la viga, cada pequeño segmento de la elástica puede considerarse aproximadamente como el arco de un círculo que tiene un radio de curvatura p. En los libros de texto de cálculo elemental, la curvatura de una línea se define como:

Donde

radio de curvatura,

x,y = coordenadas de un punto sobre la curva.

En las vigas, la pendiente dy/dx es muy pequeña. Cuando el término dy/dx se eleva al cuadrado, se hace tan pequeño, que en comparación con los otros términos, puede despreciarse. Con esta aproximación, la ecuación de la elástica de una viga puede escribirse como:

Figura 7.4

La curvatura de una viga está relacionada con el momento flexionante. La ec. (7.2) indica esta relación como:

Por consiguiente, la ec. (7.4) puede escribirse como:

La solución de la ec. (7.4) son ecuaciones que permiten calcular la pendiente y la deflexión de la elástica de la viga.

Relaciones útiles

Para una condición de carga dada, una viga adoptará una posición deformada particular. Cada punto situado sobre la elástica tendrá una deflexión y, y una pendiente dy/dx. Según el material presentado en el capítulo 4, la viga tendrá también valares de la carga, fuerza cortante y momento, en cada punto. Estas cinco cantidades están relacionadas y es útil darse cuenta que lo están en una forma definida. Su relación deberá comprenderse tanto en términos físicos como matemáticos.

Suponga que una viga tiene una carga aplicada específica. La elástica de esta viga adopta una forma particular. La ecuación de esta curva se discutirá en la sección 7.5. Suponga por ahora que conoce la ecuación de la elástica y puede escribirla en términos de las coordenadas x y y, tal como y = f(x).

La deflexión y en cualquier punto puede calcularse sustituyendo el valor numérico para la distancia x, en la ecuación. La pendiente de la curva dy/dx, es la primera derivada de la ecuación de la curva. Pueden tomarse derivadas sucesivas, y las expresiones resultantes serán ecuaciones para el momento, fuerza cortante y carga aplicada. Expresado matemáticamente:

Lo anterior significa que si se conoce la ecuación para la elástica, las ecuaciones para la pendiente, momento, fuerza cortante y carga aplicada se pueden determinar por diferenciaciones sucesivas. Si se conoce la ecuación para el momento flexionante, puede integrarse sucesivamente' (primero para obtener la pendiente y en seguida para obtener la deflexión de la elástica) y también puede derivarse sucesivamente para obtener las ecuaciones del cortante y de la carga.

La Fig. 7.5 muestra las relaciones gráficas entre estas cantidades.

Ejemplo 7.1La ecuación de la elástica para todo el claro de una viga simplemente apoyada, de longitud L es:

Determinar la condición de carga de la viga.

Solución

Deflexión:

Pendiente:

M/EI:

Momento:

Fuerza cortante:

Carga:

Esta viga está simplemente apoyada, y tiene una carga uniformemente distribuida de w = 1.7 klb /pie. Las ecuaciones definen las curvas mostradas en la Fig. 7.5 y también las del caso 5 del Apéndice D

Procedimiento de doble integración

Si se conoce la ecuación de la elástica, las otras cantidades físicas de esa viga se determinan por derivaciones sucesivas. Sin embargo, este tipo de problema generalmente no se presenta. En la mayoría de los casos se conocen la forma de apoyo de la viga y las condiciones de carga. El cortante y el momento pueden determinarse mediante los procedimientos discutidos en el capítulo 4, y el problema remanente consiste en encontrar la elástica de la viga.

La ecuación de la elástica se determina mediante la aplicación de la ec. (7.4), La ecuación para el momento flexionante de la viga se expresa en términos de x y de las condiciones de carga. Esta expresión se sustituye para M en la ec. (7.4); la expresión resultante se integra una vez para obtener la ecuación de la pendiente dy/dx, y se integra una segunda vez para determinar la ecuación de la deflexión y.

Para capacitar al estudiante a entender más fácilmente los pasos necesarios del método de la doble integración, éstos se describen más adelante. Los ejemplos 7.2, 7.3 y 7.4 ilustran la aplicación de este procedimiento a problemas específicos.

Procedimiento

1. Se traza un diagrama de cuerpo libre de la viga y las cargas, y se bosqueja su eje deformado, notando en particular los puntos que tienen deflexión cero o pendiente cero.

2. Se determinan los ejes coordenados. Generalmente es mejor elegir el origen en un extremo de la viga.

3. Se toma una sección cualquiera de la viga a una distancia general x a partir del origen de coordenadas, y se traza el diagrama de cuerpo libre resultante. Es buena práctica indicar los ejes coordenados en esta figura.

4. A partir del cuerpo libre del paso 3, se escribe una ecuación para el momento flexiónante en la viga, en términos de x y de las cargas.

5. Se sustituye esta expresión para M en la ec. (7.4),

6. Se integra la ecuación del paso 5 para obtener la ecuación de la pendiente dy/dx de la viga.

7. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones a la frontera, o de límite.

8. Se integra la ecuación de la pendiente para obtener la ecuación de la deflexión y de la viga.

9. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones a la frontera.

Unos cuantos comentarios generales en este punto pueden ser útiles al aplicar estos pasos a la solución de problemas. Al usar la ec. (7.4) debe obtenerse una expresión algebraica para el momento flexiónante. Cada vez que cambia la ecuación para el momento flexiónante (lo que sucede cada vez que cambian las condiciones de carga), debe usarse una nueva expresión con la ec. (7.4). El intervalo de validez de la ecuación del momento flexiónante es, por consiguiente, el intervalo de validez de cualquiera de las ecuaciones obtenidas usando esa expresión.

Siempre que se resuelva una integral indefinida, resultará una constante de integración. Esta constante de integración debe calcularse siempre, pues no necesariamente es cero. Para calcular esta constante de integración, deben conocerse ciertas relaciones entre las variables de la ecuación. Estas relaciones se llaman condiciones a la frontera. El reconocimiento de las condiciones a la frontera en un problema y el cálculo Correspondiente de la constante de integración son necesarios para la solución completa del mismo.

La Fig. 7.6 es útil para ilustrar algunos de los comentarios discutidos anteriormente. En la Fig. 7.6 (a), solamente hay un tipo de carga en todo el claro y una aplicación de los pasos del I al 9 determinará la ecuación para la elástica. En este caso, la ecuación se aplicará a todo el claro de la viga. Para calcular las constantes de integración, debe notarse que la pendiente y la deflexión en el extremo empotrado son cero. Estas dos condiciones físicas, que son las condiciones a la frontera, son necesarias para calcular las dos constantes de integración.

La viga de la figura 7.6 (b) es más complicada debido a que hay tres secciones diferentes, teniendo cada una su propia ecuación para el momento flexiónante. Esto significa que los pasos del procedimiento descrito antes deben aplicarse tres veces diferentes, una para cada ecuación de

Figura 7.6

momento. Por consiguiente, habrá tres diferentes ecuaciones para la curva elástica, teniendo cada una de ellas sus propios límites.

Siempre que se integra una ecuación, resultará una constante de integración. En la Fig. 7.6 (b), resultará un total de seis constantes de integración para las tres secciones que forman el claro total. Por consiguiente, se requieren seis condiciones a la frontera para calcular estas constantes de integración. Dos de las seis pueden obtenerse observando que

Las otras cuatro constantes no son tan fáciles de determinar. Para calcularse, deben determinarse las condiciones de continuidad que ocurren en los puntos donde se cortan las diferentes curvas elásticas. Como la viga es continua en los puntos donde se cortan dos elásticas, tales como B y C de la Fig. 7.6 (b) se observa que

Estas cuatro condiciones nos capacitan para calcular las cuatro constantes de integración restantes. En este caso se necesita resolver ecuaciones simultáneas. El ejemplo .7.4 ilustra el uso de condiciones de continuidad en una solución.

Ejemplo 7.2 Determinar las ecuaciones para la pendiente y la deflexión de la viga mostrada en la Fig. 7.7. Tómese como origen del sistema coordenado el extremo empotrado en el punto A.

Solución El procedimiento usado para llegar a la Fig. 7.5 es como sigue:

Pasos 1 y 2: La Fig. 7.7 (a) y (b) indican el diagrama de cuerpo libre y los ejes coordenados.

Pasos 3 y 4: Escribimos las ecuaciones para el momento flexionante en x, a partir de la Fig. 7.7 (c), como:

Figura 7.7

Pasos 5 y 6: Sustituimos la ecuación (a) en la (7.4) e integramos para obtener:

Paso 7: Calculamos C1. La condición de frontera es dy/dx = 0 en x = 0. Sustituyendo esto en la ec. (b), tenemos:

Po