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Geometria Analitica

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: poland6525 02 mayo 2011

Palabras: 46535 | Páginas: 187

...

ual la ordenada es mxima o mnima, dicha ordenada vara ms lentamente, no se considera creador, el atribuye a otras personas sus ieas

Johannes. Kepler

1571-1630

Alemania: estudio matemticas y astronoma en la universidad de Tubingen. nombrado como asistente de tycho brahe. en el observatorio de Praga , adquiri datos exactos sobre las rbitas de los planetas.

las mximas aportaciones de Kepler fueron sus tres leyes del movimiento planetario:

1)los planetas se mueven en el elipse ,con el sol en uno de sus focos.

2)la recta que une al sol con un planeta barre reas iguales en tiempos iguales.

3)el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de sus cuadrados.

Hace la misma observacin que Oresme.

Usa nmeros para representar puntos, emplea la palabra foco para determinar un elemento de la elipse

Personaje

Periodo de

Vida,

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometra Analtica

Ren Descartes

1596 - 1650

Mejor conocido como un gran filosofo moderno. Tambin fue un fundador de la biologa moderna, fsico y matemtico. Su trabajo matemtico de mayor trascendencia fue la gometrie, publicado en 1637. En el, intento la unificacin de la antigua y venerable geometra con el lgebra. En (1637 - 1665) tiene crdito por la unin que llamamos hoy geometra analtica o geometra coordenada. En su obra establece una relacin entre el nmero y el espacio

F. Van Schooten

1615-1660

Sugiri el uso de de coordenadas en el espacio tridimensional

Blaise Pascal

1625 -1662

:Hizo aportaciones al calculo, a la edad de 19 aos invento la primera maquina de sumar. Tiene el crdito de la iniciacin de estudios serios sobre la teora de la probabilidad.

Se da el nombre del tringulo de Pascal al arreglo de nmeros que contienen los coeficientes del teorema del binomio.

Pedro de Fermat

1601-1665

Determin el rea bajo algunas parbolas,

Hace estudios sobre de lugares planos y slidos interpretando ecuaciones sencillas geomtricamente.

Isaac Newton

1642-1727

Inglaterra: Comparte con Gotfried Leibniz el crdito del descubrimiento del Clculo, siendo el primero en concebir las principales ideas del Mtodo de Fluxiones. Descubri el teorema del Binomio que lleva su nombre, los elementos del clculo integral y diferencial , la teora del color y la ley universal de la gravitacin

Considera el signo de las coordenadas en los diferentes cuadrantes

Considera la hiprbola como una curva con dos ramas

Gottfriel Wilhelm. Leibniz

1646-1716

Alemania: Comparte con Newton el crdito del descubrimiento del Clculo, descubri independientemente de Newton las ideas de ste, sobre el Clculo, no recibe el mismo reconocimiento que Newton; pero fue uno de los ms grandes inventores de los smbolos matemticos a l se debe el nombre de Clculo integral y Clculo Diferencial y el uso de dy/dx para la derivada y para la integral el trmino de funcin y el uso de =, desarrollando con mayor rapidez el clculo con el uso de estos smbolos

Jacobo Bernoulli

1654-1705

Inventa las coordenadas polares que se haban usado para el estudio de espirales

Guillaume F. A. de L 'Hpital

1661-1704

Francia: discpulo de Johann. Bernoulli de ah que en sus trabajos hay disputas entre ambos,

Public el libro de texto ms importante de geometra analtica. Introdujo los dos ejes no por fuerza perpendiculares

A Parent

1666-1716

Representa por primera vez mediante una ecuacin cartesiana la superficie de una esfera y otros slidos, para ello no menciona ni ejes ni planos

J. E Herman

1678-1733

Indic la consideracin de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano, dando impulso a la geometra del espacio. Observa que un punto en cualquier eje tiene las otras coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuacin de primer grado con tres variables representa un plano, partiendo de esta ecuacin deduce las coordenadas de la interseccin del plano con cada uno de los ejes de los ejes coordenados.

Personaje

Periodo de

Vida,

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometra Analtica

Leonard Euler

1707-1783

Suiza: Escribi 75 libros de matemticas, contribuye con sus estudios a la interpretacin de las funciones trascendentes, introdujo al nmero "e" base de los logaritmos naturales, demostr que e y e2 son irracionales, Complementa dando fundamentos a la geometra analtica del espacio . Estudia las ecuaciones de segundo grado y las clasifica en 5 tipos

A. C. Clairaut

1713-1765

Amplia los trabajos de Herman y sus trabajos representan un tratado de geometra analtica del espacio

Mara Gaetana Agnesi

1718-1799)

Italia. comenz su mas importante trabajo, en un libro de texto de calculo.

su estudio de una curva conocida entonces como la versiera.

Miln reconoci a Agnesi dndole en su honor su nombre a una calle.

Joseph-Louis. Lagrange

1736 - 1813

Turn Italia: Por la lectura de un ensayo sobre el calculo, domin esta ciencia. Se cree que a los 19 aos, comenz su obra mxima "Mcanique Analytique". La carrera de Langrage fue ilustre. En Pars, ayudo a perfeccionar el sistema mtrico de pesas y medidas. Sus contribuciones, incluyen el mtodo de multiplicadores de Langrage.

Carl Friedrich Gauss

1777 - 1855

Alemania: La matemtica es la reina de las ciencias y la teora de los nmeros es la reina de la aritmtica, expresin de este personaje, el ms grande matemtico despus de Newton, Conocido como el prncipe de las matemticas, propone estratagemas para el conteo, concibe la idea de geometra no euclidiana, inventa el mtodo de mnimos cuadrados, resuelve el problema de construir con regla y comps el polgono de 17 lados. Hace la primera demostracin del teorema fundamental del lgebra. Su obra "Disquistiones Arithmeticae" ha influido notablemente sobre la teora de los nmeros. En Clculo sus trabajos sobre superficies curvas incluye el teorema de la divergencia. Una unidad de los campos magnticos lleva su nombre.

A: F: Mbius

1790-1868

Primero que Considera de manera sistemtica el signo de los segmentos, ngulos y reas

Estas a punto de comenzar un interesante tema, el cual utilizaras en el semestre, te invitamos a que comiences resolviendo el siguiente acertijo.

Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuacin y determina si son rectas o paralelas las figuras.

Qu lineas encontraste en figura?

Qu relacin existe entre las lineas que observaste?

Qu aparente relacin observas en las lineas?

Te costo trabajo encontrar las lineas?

Ahora comprueba tus respuestas auxiliandote de una regla o una hoja de papel.

Existen diferencias entre las primeras observaciones y la comprobacin realizada?

Cuales son estas diferencias.

Investiga en algunos de los mediaos que ya conoces lo siguiente:

Conceptos de punto

Concepto de segmento

Recta

Plano cartesiano

A continuacin lee el contenido de tu antologa sobre el tema que se presenta a continuacin en tu antologa.

1.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

1.1.1 Sistema cartesiano

Este sistema se denomina cartesiano en honor a Ren Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unin de lgebra y la geometra plana para dar lugar a la geometra analtica.

El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX' y YY' llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre s; la recta horizontal se llama eje X', la recta vertical se llama eje Y'; su punto de interseccin 0 es el origen del sistema

Estos ejes coordenadas dividen en planos de cuatro regiones llamados cuadrantes, los cuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen son positivas y hacia abajo del origen son negativas.

La localizacin de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto.

Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualquier esquina si contamos con dos datos: el nombre de la calle y el nombre de la avenida que la cruza; si estamos en un saln de clases se puede localizar cualquier asiento, con tan slo dos datos: el nmero de la fila y el nmero de la hilera, as mismo lo podemos hacer en un sistema de coordenadas, mediante la:

1.1.2 Localizacin de puntos en el plano

En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relacin que establece que a cada par de nmeros reales (x ,y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto del plano le corresponde un par de nico de coordenadas (x, y).

Ejemplo 1. Grafica los puntos B (2 , 5) y G (-3 , -4)

Ejemplo 2. Grafica los puntos P (3 , -5) Q (-7/2 , 11/3) y R (1.75 , 0.5)

A partir de los ejemplos anteriores realiza las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Contesta las siguientes preguntas:

1.Nombre del fundador de la geometra analtica:

2.Cul fue el primer descubrimiento matemtico de Descartes?.

3.Quin ya haba intentado unir el lgebra y la geometra?.

4.Explica de qu manera integr Descartes el lgebra y la geometra:

5.Cul es el concepto de geometra analtica?.

6.Cul es la razn por la que el sistema de coordenadas rectangulares se denomina tambin cartesiano?

7.Cmo se ordenan los cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares?.

8.Explica cundo las abscisas y ordenadas son negativas:

9.Cul es la representacin de las coordenadas de un punto de manera general?.

II. En qu cuadrante se localizan los siguiente puntos?

a) N(3, 2) b) O(-4, -6) c) P(7, -8) d) R(-5, 6)

III. Representa grficamente los siguientes puntos:

a) A(2, -1), B(-3, 6), C(-9, -2) b) C(1, 4), M(0 -7), R(-2, 3)

IV. Representa grficamente los siguientes tringulos, formados por las coordenadas de sus vrtices.

a) A(4, 5), B(-7, 0), C(-6, 4) b) A(-3, 6), B(6, 5), C(-4,-3)

V. Grafica los siguientes polgonos cuyos vrtices son:

a) A(-4, 2), B(-1,-3), C(2, -6), D(0, 4) b) A(-3, -5), B(5, -2), C(5, 5), D(1, 5) E(-4, 2)

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I.Grafica y di en qu cuadrantes se localizan los siguientes puntos:

1. S(-4.5,-2.5) 2. U(9/4,-4/2) 3. W(13/16,-7/3)

4. O(-8,10) 5. N(4,0) 6. A(5,-1) 7. A(0,8)

II. Localiza en el plano cartesiano un tringulo issceles, un rombo y un paralelogramo, cuyos vrtices sean los que t elijas y que queden en el primero, segundo y tercer cuadrante, respectivamente.

Te has imaginado cul es la distancia que hay de tu casa a la escuela? Seguramente ya lo hiciste, lo cual te servir para comprender el siguiente tema denominado:

1.1.3 Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las que explicaremos a continuacin.

1.Sean P1 (x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es:

Frmula de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1.

P1 P2 = x2 - x1

P2 P1 = x1 - x2

La frmula de la distancia no dirigida es:

?P1 P2 ? = ?x2 - x1 ? = ? x1 - x2 ?

Sean P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralelas al eje y). La distancia dirigida entre los dos puntos es, conforme a las siguientes frmulas:

P1 P2 = y2 - y1

P2 a P1 = y1 - y2

La frmula de la distancia dirigida es:

?P1 P2 ? = ?y2 - y1 ? = ? y1 - y2 ?

Sean P1 (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1 , paralela al eje "x", otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje "y"; estas rectas se intersectarn en un punto Q(x2 , y1) formando as un tringulo P2 QP1 en el cual identificamos:

?P1 P2 ? = hipotenusa = d (distancia)

P1 Q = cateto adyacente = (x2 - x1)

QP2 = cateto opuesto = (y2 - y1)

La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:

d =

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos cuya coordenadas son:

P1 (-7 , 2) y P2 (8 , 2)

Si graficamos los puntos dados, tenemos:

Observa que los dos puntos pertenecen a una misma recta horizontal, por lo que la distancia dirigida

entre los dos puntos es:

d = P1 P2 = X2 - X1 d = P2 P1 = X1 - X2

d = P1 P2 = 8 - ( -7 ) d = P1 P2 = - 7 - 8

d = P1 P2 = 8 + 7 d = P1 P2 = - 15

d = P1 P2 = 15

Ejemplo 2:

Grfica los puntos: P1 ( -2, 4 ) y P2 ( -2, - 6 )

Observa que los dos puntos dados pertenecen a una misma recta vertical, por lo que la distancia no dirigida entre los dos puntos es:

d = P1 P2 = Y2 - Y1 d = P2 P1 = Y1 - Y2

d = P1 P2 = - 6 - 4 d = P1 P2 = 4 - ( - 6 )

d = P1 P2 = - 10 d = P1 P2 = 4 + 6

d = P1 P2 = 10

Ejemplo 3:

Calcula la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

A ( - 6, 3 ) y B ( 2, - 3 )

Si graficamos los puntos dados, tenemos:

Observa que los puntos A y B no pertenecen a una distancia recta horizontal o vertival, por lo que su distancia se determina por la frmula:

d = ? (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Al sustituir los valores de las coordenadas en la ecuacin, resulta:

d = ? (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

d = ? ( 2 + 6 )2 + (- 3 - 3 )2

d = ? ( 8 )2 + ( - 6 )2

d = ? 64 + 36 = ? 100

d = 10

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

1. A ( 3, 5 ) y B ( 4, -1 ) 2. A ( -2, -3 ) y B (4, -2 )

II. Demuestra mediante la frmula de la distancia, que los siguientes puntos son colineales.

1. A( -5, 6 ), B( 2, 4 ) y C( 16, 0 ) 2. A(-2, -5), B(2, -4) y C(10, -2)

III. Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un tringulo issceles.

1. A( -2, 2 ), B( 3, 1 ) y C( -1, -2 ) 2. A( -6, -6 ), B( -2, 5 ) y C(2, -2)

IV. Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un tringulo rectngulo.

1. A( 3, 2 ), B( -2, -3 ) y C( 0, -4 ) 2. K( 3, 5 ), L( 7, 2 ) y M( 4, -2 )

V. Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un paralelogramo.

1.A( 4, 2 ), B( 2, 6 ), C( 6, 8 ) y D ( 8, 4 )

VI. Sean A(0, 0 ), B( 3, 0 ), C( 4, 2 ) y D (1, 2 ) los vrtices de un paralelogramo, halla la longitud de sus dos diagonales.

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I. Grafica y encuentra la distancia entre los dos puntos que se indican.

1. C( 2, 3/4 ), y M( -2, -3/2 ) 2. U( 9/2, -3/4 ), y V( 17/5, -3/4 )

3. A( 10, 1 ), B ( 6, 1 ) y C( 2, -3 ) 4. A( -4, 2 ), B ( 4, 6 ) y C( 8, 8 )

5. A( -2, -4 ), B ( -5, 1 ) y C ( -6, -5 ) 6. A( -6, 4 ), B ( -5, -3 ) y C ( -1, -1 )

7. A( 1, 4 ), B ( -2, -1 ), C ( -1, -5 ) y D (2, 1) 8. P( -2, -8 ), Q ( -6, -1 ) y C ( 0, -4 )

El rea de un polgono en funcin de las coordenadas de sus vrtices.

rea de una regin triangular

Sean P1 ( x1 - x1 ), P2 ( x2 - x2 ) y P3 ( x3 - x3 ) los vrtices de un tringulo, su rea "A" se puede obtener sumando las reas de los trapecios Q1 Q3 P3 P1 y Q3 Q2 P2 P3 y resultando el rea del trapecio Q1 Q2 P2 P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vrtices del tringulo al eje "x".

El rea de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto el rea del tringulo P1 P2 P3 es:

A = rea del trapecio Q1 Q3 P3 P1 + rea del trapecio Q3 Q2 P2 P3 - rea del

trapecio Q1 Q2 P2 P1

A = ( x3 - x1 ) ( ) ( y1 + y3 ) + ( x2 - x3 ) ( ) ( y3 + y2 ) - ( x2 - x1 ) ( ) ( y1 + y2 )

A = ( x3 y1 - x1 y3 + x2 y3 - x3 y2 + x1 y2 - x2 y1 )

El rea resultante se expresa en una forma ms fcil por:

A =

Esta frmula tambin se emplea para determinar el rea de cualquier polgono. Se hace notar que el primer rengln se ha repetido al final con el fin de facilitar el clculo.

Si los vrtices se ordenan en la frmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el rea resultante es de signo positivo; en caso contrario ser negativa.

Ejemplo 1. Encuentra el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos: A ( 3, 2 ), B ( 7, 4 ) y C ( -2, 5 )

Al sustituir los datos dados en la frmula, resulta:

A = =

A = [(3)(4) + (7)(5) + (-2)(2) - (3)(5) - (-2)(4) - (7)(2)]

A = ( 12 + 35 - 4 - 15 + 8 - 14 ) = 22 / 2

A = 11 unidades cuadradas

Permetro. Es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana; matemticamente se representa por la letra P.

Semipermetro. Es la mitad del permetro; se representa por la letra "S" y matemticamente se hace notar por S = P / 2

Ejemplo 2:

Encuentra el rea, permetro y semipermetro del polgono si las coordenadas de sus vrtices son: A(-8, 2 ), B(-1, 5), C(7, -1) y D(-2, -6)

Con base en la grfica, los vrtices se ordenan en la frmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, es decir:

A = =

Al sustituir los datos dados en la frmula, resulta:

A = [(-8)(-6) + (-2)(-1) + (7)(5) - (-1)(2) - (-8)(5) - (-1)(-1) - (7)(-6) - (-2)(2)]

A = ( 48 + 2 - 35 - 2 + 40 - 1 + 42 + 4 ) = 168 / 2

A = 84 unidades cuadradas

Para determinar el permetro, se calculan las longitudes de los lados del polgono dado:

dAB = ? (-1 + 8)2 + (5 - 2)2 dBC = ? (7 + 1)2 + (-1 - 5)2

dAB = ? 49 + 9 = 7.615 dBC = ? 64 + 36 = 10

dCD = ? (-2 - 7)2 + (-6 + 1)2 dAD = ? (-2 + 8)2 + (-6 - 2)2

dAB = ? 81 + 9 = 10.295 dAD = ? 36 + 64 = 10

El permetro del polgono es:

P = dAB + dBC + dCD + dAD

P = 7.615 + 10 + 10.285 + 10

P = 37.91 unidades de longitud

El semipermetro del polgono es:

S = P / 2 = 37.91 / 2 = 18.995 unidades de longitud

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Encuentra el rea, permetro y semipermetro para los siguientes tringulos cuyas coordenadas de los vrtices son:

1. A (3, -3), B (-5, 2 ) y C ( 6, -4 ) 3. A (4, 9), B (-2, 1 ) y C ( -6, 2 )

2. A (-4, -1), B (2, -6 ) y C ( 4, 2 ) 4. A (7, -3), B (-2, 2 ) y C ( 4, 4 )

II. Obtn el rea, permetro y semipermetro para los siguientes polgonos cuyas coordenadas de los vrtices son:

1. A (-3, 3 ), B (6, 2 ), C ( 7, 7 ) y D ( -2, 5 )

2. K (-3, 1 ), L (-7, 1 ), M ( -2, 8 ), P ( 1, -5 ) y Q ( 7, 4 )

3. R (-5, 1 ), X (-4, 7 ), Y ( 3, 5 ), Z ( 7, 2 ) y A ( -2, -4 )

1.1.4Localizacin de un punto que divide a un segmento de recta en una razn dada.

Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razn r = P1P / PP2 se aplica el siguiente procedimiento:

Teorema.

Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razn r = P1P / PP2 son:

x =

Ejemplo 1:

Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por

A( 8, 2 ) y B ( -5, 7 ) en la razn = 3 / 4

Al sustituir los datos dados en las frmulas, resulta:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Encuentra las coordenadas de un punto P ( x, y ) que divide a un segmento de recta determinado por:

1. P1 ( -2, 3 ) y P2 ( 3, -2 ) r = 2 / 5

2. P1 ( -2, 1 ) y P2 ( 3, -4 ) r = -8 / 3

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I. Cules sern las coordenadas del punto de divisin a partir de los siguientes datos?

1. P1 ( 3, -1 ) y P2 ( 9, 7 ) r = 1 / 2

2. P1 ( 5, 3 ) y P2 ( -4, 3 ) r = -3 / 2

Hemos llegado a un punto en que debemos dar un giro a nuestro estado de la geometra analtica. Hasta aqu hemos deducido algunas relaciones fundamentales y considerando mtodos generales para la construccin de curvas y la obtencin de la ecuacin de un lugar geomtrico. Pero todava no hemos hecho ningn intento sistemtico para identificar las ecuaciones y sus lugares geomtricos de una manera especfica. Ms an, hasta este momento, no hemos establecido ninguna de las propiedades particulares que puede poseer una curva. En ste y en los siguientes captulos, haremos un estudio detallado de la lnea recta y de algunas de las curvas que son de mxima importancia en la geometra analtica y sus aplicaciones. Naturalmente comenzaremos con el estudio de la lnea recta debido a que su ecuacin es la ms sencilla.

1.2 LA LNEA RECTA

Llamamos lnea recta al lugar geomtrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(?1, y1) y P2(?2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m calculado por medio de la formula resulta siempre constante.

1.2.1 PENDIENTE Y NGULO DE INCLINACIN

Sea "l" una recta en el plano y ? el ngulo que forma dicha recta con el eje x , esto es, el ngulo ms pequeo cuyo lado movil gira en sentido positivo (contrario al del reloj) hasta coincidir con la recta dada (vase figura). S la recta est inclinada a la izquierda (o sea, desciende al avanzar uno de izquierda a derecha), es claro entonces que 90 < ? x1.

Se traza un tringulo rectngulo P1 Q P2 (como se indica en las figuras) trazando rectas por P1 y P2 paralelas a los ejes x e y respectivamente.

En el caso de una recta ascendente, como se ve en la primera figura, es obvio que el ngulo ? = K Q P1P2 del triangulo rectngulo, de modo

tg ? = QP2 P1Q y, por consiguiente.

En el caso de una lnea descendente, la frmula anterior es an vlida, pero es necesario extender un poco la demostracin para tomar en cuenta el signo negativo. En este caso (segunda figura)

Teorema:-

Si P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2) son dos puntos de una recta ( no vertical), su pendiente m esta dada entonces por la ecuacin

Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (13, 3) y (-5 , 7)

Sea (13,3) el punto P2 y ( -5,7) .el punto P1,entonces.

Puesto que la pendiente es negativa se sabe la recta inclinada a la izquierda.

Ejemplo 2. Encontrar la pendiente y la inclinacin de la recta que pasa por los puntos (2,-3) y (4,6).

4.5 = tg ? ? = tg-1 4.5 ? = 77 28' 16"

Para que no te quede nada pendiente en tus conocimientos, realiza las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I.- Dados los puntos en cada problema siguientes, encuentre las pendientes y la inclinacin de la recta que pase por dichos puntos.

1. P ( 2, -1 ) y Q ( 6, 5 )

2. A ( 13 - 3 ) y B ( -5, -5 )

3. M ( -5, 7 ) y N ( 1, -11 )

4. R ( -1, -2 ) y S ( 5, -5 )

5. K ( 2, 4 ) y L ( -4, 6 )

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I. Encontrar la pendiente y la inclinacin de cada recta que pasa por los puntos que se indican.

1. A ( 3, -5 ) y B ( 2, 6 )

2. C ( -2 , -8 ) y D ( 5, -2 )

3. E ( 3, 2 ) y F ( 9, 6 )

4. G (8, -5 ) y H ( -1 , -1 )

5. I ( 3, 7 ) y J ( -5, -4 )

Las rectas para su estudio en relacin a sus pendientes pueden ser:

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.

Vamos a observar que pasa con las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares.

l 1 l 2

m1 m2

0

Ejemplo: Determinar las pendientes de l1, que contiene a (1 , 5) y a (3 , 8), y l2 que contiene a (-4 , 1) y a (0 , 7), determinar si l1 y l2 son paralelas, perpendiculares o si no estan dentro de estos casos.

m1 = =

m2 = = =

m2 m1

l1 l2

Ejemplo: Determine si la recta l1 que pasa por los puntos (1,-3) y (3,1) es perpendicular a la recta l2 que pasa por los puntos (1,-3) y (-1, -2).

m1 = = = 2 Como las pendientes son recprocas y de signo

contrario, entonces, las rectas son perpendiculares

m2 = =

A partir de los siguientes ejemplos, analizados y comprendidos podrs realizar las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos que se citan en cada problema. A continuacin determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o no caen bajo ninguna de estas clasificaciones.

1. (1 , -2) (-2 , -11) y (2 , 8) (0 , 2)

2. (1 , 5) (-1 , -1) y (0 , 3) (2 , 7)

3. (1 , 1) (4 , -1) y (-2 , 3) (7 , -3)

ACTIVIDADES DE EVALUACIN.

. Demuestra si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares:

1. (1 , 2) (3 , 2) y (4 , 1) (4 , -2)

2. (2 , 1) (5 , -1) y (3 , 3) (12 , -3)

3. (1 , 5) (-2 , -7) y (7 , -1) (3 , 0)

Basado en lo anterior podemos concluir diciendo que los elementos bsicos de una recta son dos puntos cualesquiera sobre ella, su pendiente, su ngulo de inclinacin y sus intercepciones, de la manera en que se usen o combinen esos elementos, la ecuacin adopta distintas formas, que estudiaremos a continuacin:

1.2.2 ECUACIN DE LA RECTA

ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE DADA.

Geomtricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su direccin. Analticamente, la ecuacin de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ngulo de inclinacin o su pendiente.

Teorema 1.- La recta que pasa por el punto P1 ( x1, y1 ) y tiene la pendiente dada m, tiene por ecuacin.

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto ( 4,-1 ) y tiene un ngulo de inclinacin de 135.

La recta cuya ecuacin se busca es la trazada en la figura.

La pendiente de esta recta es

m= tg 135 = -1

Por lo tanto, por el Teorema 1, la ecuacin de la recta es:

y - (-1) = - 1 (x - 4)

O sea x + y - 3 = 0

ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Geomtricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualquiera de sus puntos. Analticamente, la ecuacin de la recta tambin queda perfectamente determinado conociendo las coordenadas de sus dos puntos.

Teorema: 2.- La recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1 ) y P2(x2, y2) tiene por ecuacin.

y-y1 =

Ejemplo: Determinar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1, - 3) y (-4, 5)

ean los puntos P1 y P2, respectivamente. La ecuacin da:

y - ( -3 ) = ( x - 1 )

Al simplificarla nos da: 8x + 5y + 7 = 0

ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA

Sean a 0 y b 0 los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y, es decir, sus intercecciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos de la recta. Por tanto, el problema de obtener la ecuacin de una recta cuando se conocen los segmentos que determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos y tenemos, por el Teorema 2,

Y - 0 = ( x - a),

De donde

ay = - bx + ab

Trasponiendo - bx al primer miembro y dividiendo por ab, obtenemos:

A esta igualdad se le llama ecuacin simtrica de la recta. De aqu el siguiente:

Teorema 3.- La recta cuyas intersecciones con los ejes x y y, son

a 0 y b 0, respectivamente, tiene por ecuacin:

Ejemplo: Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y, son 5 y -2, respectivamente; hallar la ecuacin:

x y

a b

x y

5 -2

x y

5 2

2x - 5y = 10

2x - 5y - 10 = 0

ECUACIN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN.

Consideremos una recta l cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su interseccion con el eje Y , es b . Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0 , b) est sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a hallar la ecuacin de la recta que pasa por un punto (0 , b) y tiene una pendiente dada. Segn el teorema, la ecuacin buscada es:

y - b = m (x-0)

o sea,

y = mx+b

Podemos enunciar este resultado como el :

Teorema 4.- La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuacin y = mx+b.

Ejemplo. Determina una ecuacin para la recta de pendiente 3 que corta al eje y a -5 unidades de distancia del origen.

Si m =3 y b = -5 la ecuacin buscada es y - (-5) =3 (x-0) o sea y = 3x-5

Si ya comprendiste y entendiste las distintas formas de la ecuacin de la recta, podrs realizar las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

I. Haz una grfica para cada ejercicio:

1.Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (2, -3) y tiene de pendiente 2.

2.Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto B (-4, -2) y tiene un ngulo de inclinacin de 45

3.Halla la ecuacin de la recta cuya pendiente es -3 y cuya interseccin con el eje y es -5.

4.Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A (6, 4) y

B (-5, 7).

5.Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son 2 y -4 respectivamente, halla su ecuacin.

6.Los vrtices de un cuadriltero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D(6, 0), halla las ecuaciones de sus lados.

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I. Encuentra y grafica la ecuacin de la recta para cada ejercicio que se te propone.

a)Pasa por el punto M (3 , 5) y tiene un ngulo de inclinacin de 60.

b)Pasa por el punto N(-4 , 6) y tiene de pendiente 3.

c)Tiene pendiente -2 y su interseccin con el eje y es 5.

d)Pasa por los puntos E(-3 , 5) y L(4 , -2).

e)Si los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son -4 y 6 respectivamente.

FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE UNA RECTA.

En los artculos precedentes hemos visto que la ecuacin de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal.

Ax + By + C = 0

en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La ecuacin (1) se llama la forma general de la ecuacin de una recta.

Teorema 5.- Una ecuacin lineal en las variables x y y representan una recta y recprocamente.

Ejemplo: Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuacin general Ax + Bx + C = 0 de una recta, para que pase por los puntos ( -1, 4 ) y ( 3, -2 ). De ah hallar la ecuacin de la recta.

Como los dos puntos estan sobre la recta, sus coordenadas deben satisfaser la ecuacion de dicha recta. Por tanto, para el punto ( -1, 4 ), tenemos :

-A + 4B + C = 0 (1)

y para el punto ( 3 - 2 ) Tenemos

3 A - 2B +C = 0 (2)

Resolviendo la ecuacion (1) y (2) para A y B en terminos de C, obtenemos.

A = -3/5 C B = -2/5C

Si sustituimos estos valores de A y B en la forma general. Obtenemos.

-3/5Cx - 2/5 Cy + C = 0

Dividiendo todas la ecuaciones por C y simplificando, obtenemos como ecuacin de la recta:

3x + 2y - 5 = 0

cuyos coeficientes son: A = 3, B = 2, C = -5.

Posiciones relativas de dos rectas (paralelas y perpendiculares). Ahora consideramos las posiciones relativas de la recta, cuyas ecuaciones pueden ponerse en las formas generales:

Ax + By + C = 0 (1)

Ax + By + C = 0 (2)

En particular, determinamos las condiciones analiticas bajo las cuales estas dos rectas son: a) paralelas y b) perpendiculares.

a)La pendiente de (1) es -A/B si B ? 0, y la pendiente de (2) es -A/B si B ? 0. Por un teorema de un artculo anterior, una condicion necesaria y suficiente para que la recta (1) y (2) sean paralelas en que:

-A/B = -A/B,

o sea,

A/A = B/B,

Es decir , los coeficientes de x y y deben ser proporcionales.

b)Por un teorema de un articulo anterior, una condicin necesaria y suficiente para que las rectas ( 1 ) y ( 2 ) sean perpendiculares es que.

(B/ -A) (-A/B ) = -1,

o sea,

AA + BB = 0

Podemos hacer el resumen de los resultados anteriores en el:

Teorema 6. Si las ecuaciones de dos rectas son: Ax + By + C = 0 y

Ax + By + C = 0, las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para:

a)Paralelismo, A/A = B/B, o sea AB - AB = 0;

b)Perpendicularidad, AA + BB = 0

Ejemplo: Hallar una ecuacion de la recta que pasa por el punto ( 5,1 ) y sea: a ) es paralela a la recta y = 3x +7 y b ) es perpendicular a tal recta.

a)Puesto que la linea ha de ser paralela a la dada debe tener una pendiente m = -1/3, y como pasa por el punto ( 5,1 ) la ecuacin sera:

y - 1 = 3 (x - 5 )

y - 1 = 3x - 15

O sea

y = 3x -14

b)Puesto que la lnea ha de ser perpendicular a la dada debe tener una pendiente m = -1/3, y como pasa por el punto ( 5, 1 ) la ecuacin sera:

y - 1 = - 1/3 (x - 5 )

3y -3 = - x + 5

O sea,

- x 8

3 3

A partir de los anteriores argumentos ahora podrs realizar:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I.- En los siguientes problemas se da un punto P y una recta l. Determine una ecuacin para la recta que pasa por P y sea a) paralela a l y b) perpendicular a l.

1. P (6, -2), y = x + 10 4. P (-1,-1) 5y- 2 x = 9

2. P(0, 5) 2y = x - 7 5. P(100,200), x -3y = 0

3. P(-3, 0) 3y + x = 11

II.-Hallar la ecuacin de la recta, determinando los coeficientes de la forma general;

1.-Que pasa por el punto (-2,4) y tiene una pendiente igual a -2.

2.-Si los segmentos que determinan sobre los ejes x y y es decir sus intersecciones, son 3 y -5 respectivamente.

3.- Que es perpendicular a la recta 3x -4y+11=0 y pasa por el punto

(-1,-3).

Otra de las formas de la ecuacin de la recta es:

FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE LA RECTA

Consideramos una recta 0P1 de longitud P y con uno de sus extremos 0 siempre en el origen, tal como pueden verse en la figura. La posicin exacta de este segmento de recta sobre el punto coordenado, est determinada por el angulo w, que , como en trigonometra, en el ngulo positivo engendrado por el radio vector OP al girar alrededor del origen. De acuerdo con esto, la longitud p se considera siempre positivo, y la variacin de los valores del ngulo w viene dada por

0 ? w < 360

Es evidente que, para un par cualquiera de valores dados de p y w la recta L trazada por P1 (x1 y y1 ) perpendicular a OP1 queda perfectamente determinada. Ahora obtendremos la ecuacin de L por medio de la frmula de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

Por trigonometra, para cualquier posicin de la recta L ,

x1 = p cos w, y1 = p sen w.

por tanto, las coordenadas del punto P1 son (p cos, p sen w)

Para las posiciones (a) y (b) en la figura; el ngulo de inclinacin del segmento OP1 es w, y por lo tanto, su pendiente es tgw.

Para las posiciones (c) y (d) de la figura: en donde ? es el ngulo de inclinacin de OP1, tenemos

tg w = tg (180 + ?) = tg ?

De aqu que para todas las posiciones del segmento OP1, su pendiente est dada por tg w. Como la recta L es perpendicular a OP1 su pendiente para todas las posiciones es

m = - ctg w = -

segn esto, de ( 2 ) y ( 3 ), la ecuacin de L es

y - p sen w = - (x - p cos w),

de donde

y sen w - p sen2 w = - x cos w + p cos2 w

o sea

x cos w + y sen w - p (sen2 w + cos2 w) = 0

Como

sen2 w + cos2 w = 1, esta ltima ecuacin se reduce a

x cos w + y sen w - p = 0

Este resultado conduce al siguiente:

Teorema 7.- La forma normal de la ecuacin de una recta es

x Cos w + y Sen w- p = 0

En donde p es un nmero positivo, mumricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta, y w es el ngulo positivo < 360 medido a partir de la parte positiva del eje x a la normal

Reduccin de la forma general de la ecuacin de una recta a la forma normal.

Usualmente, la ecuacin de una recta se da en la forma general:

Ax + By + C = 0

Sin embargo, la forma normal:

xcos w + y sen w - p = 0,

es til para ciertos tipos de problemas. Por esto consideramos en este artculo el mtodo de obtener la forma normal a partir de la forma general de la ecuacin.

Si las ecuaciones (1) y (2) representan la misma recta, sus coeficientes correspondientes deben ser proporcionales. Por tanto:

cos w = KA

sen w = KB

- p = KC

si elevamos al cuadrado ambos miembros de (3) y (4), y sumamos, obtenemos:

Cos2 w + Sen2 w = K2 (A2 + B2 )

Pero como Cos2 w + Sen2 w = 1, esta ltima relacin nos da;

Si se sustituye este valor de K en cada una de las ecuaciones (3) , (4) y (5), obtenemos las relaciones buscadas entre los coeficientes correspondientes de las dos formas (1) y (2), estas son:

y la recta definida por la forma general (1) tiene por ecuacin en la forma normal:

Teorema 8.- La forma general de la ecuacin de una recta;

Ax+ By + C = 0,

puede reducirse a la forma normal:

x cos w + y sen w - p = 0,

dividiendo cada trmino de (1) por , en donde el signo que precede al radical r se escoje como sigue:

a).- Si C ? O, r es de signo contrario a C.

b).- Si C ? O y B ? O, r y B tienen el mismo signo.

c).- Si C = B = O, r y A tienen el mismo signo.

Ejemplo 1: En un crculo de centro en el origen y rdio igual a 5, hallar la forma normal de la ecuacin de su tangente en el punto ( - 3, 4 ).

Por geometra elemental sabemos que el rdio que va al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Por tanto p = 5, y

sen w = 4/5 y cos w = - 3/5. Luego la ecuacin de L en la forma normal es:

- 3/5x + 4/5 y - 5 = O

o tambin

3x - 4y + 25 = O

Ejemplo 2: La ecuacin de una recta es 5x - 7y - 11 = O. Reducirla a la forma normal, y hallar los valores de p y w.

Para la ecuacin dada A = 5 B = -7 y C = -11. por tanto

como C es negativo, damos al radical el signo positivo dividiendo la

ecuacin dada por obtenemos su forma normal:

Normalzate en tus estudios, realizando!

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Dibujar una figura para cada ejercicio.

1.Hallar la ecuacin de una recta en la forma normal, siendo w = 60 y p = 5.

2.La ecuacion de una recta en la forma normal es x cos w + y sen w - 5 = 0. Hallar el valor de w para que la recta pase por el punto (4, -3).

3.Hallar la distancia * del origen a la recta 2x - 3y + 9 = 0.

ACTIVIDADES DE EVALUACIN.

1.Hallar la ecuacin de la recta en forma normal, siendo w = 45 y p = 5

2.La ecuacin de la recta en la forma normal es x cos w + y sen w-p = 0, hallar el valor de w para que la recta pase por el punto M (3, 4)

3.Hallar la distancia el origen a la recta 6x - 4y - 5 = 0

4.Las rectas pueden chocar en un punto y formar ngulos opuestos por el vrtice, cundo eso sucede se le llama:

1.2.3 INTERSECCIN DE RECTAS

Sean A1 X + B1 Y + C1 = 0 y A2 X + B2 Y + C2 = 0 dos rectas cualesquiera, razonaremos as:

Si P (x , y) es el punto de interseccin y pertenece a los dos rectas, sus coordenadas satisfacen simultaneamente a ambas ecuaciones. Luego la coordenadas del punto P son las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas.

Ejemplo: calcular el punto de interseccin de las rectas 3x - y - 10 = 0 y 2x + y - 10 =0 resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenemos:

3x - y = 10 Sustituyendo este valor de x en cualquiera de las

2x + y = 10 dos ecuaciones, tenemos:

5x = 20 2x + y - 10 = 0

2(4) + y - 10 = 0

x = y = -8 + 10

y = 2

x = 4

Luego el punto de interseccin de las rectas es P(4 , 2)

Graficamente nos queda:

3x - y - 10 = 0

Intersctate realizando!

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Encuentra el punto de interseccin de las siguientes rectas y comprubalo graficamente.

1. 3x - 2y = 1 2. 3x - 4y = 5 3. 2x + 3y = 4

6x - 4y = 5 x + 2y = 5 -3x + y = 5

4. 4x - 5y = 8 5. 5x - 2y = 5

2x + y = -10 2x + 3y = 6

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I. Localiza el punto donde se intersectan los siguientes pares de rectas.

1. 3x - 6y - 13 = 0 2. 5x + 4y - 50 = 0

4x + 3y + 1 = 0 5x - 4y - 50 = 0

NGULO ENTRE DOS RECTAS

Dos rectas al cruzarse forman cuatro ngulos, siendo iguales los ngulos opuestos por el vrtice y se define como el ngulo que forman dichas rectas. Al ngulo positivo mas pequeo que tiene su lado inicial en R1 el lado final en R2 . Este ngulo lo identificaremos con

Y R2 R1

1 2

x' x

Y'

Como la inclinacin de R1 puede ser mayor o menor que la inclinacin de R2

En el caso donde Tan 1 > Tan 2 se tiene que = 2 -1

Y R2 R1

R1

2 1

x' x

Y'

En este caso se observa que la inclinacin de R1 es menor que la inclinacin de R2

En este caso Tan 1 < Tan 2 se tiene que = 180o +(2 -1)

En los dos casos se tiene una diferencia de ngulos y como una suma o una diferencia de ngulos es :

Tan (A

Por lo tanto Tan = tan (2 -- 1) = por lo tanto Tan = for (10)

En estos problemas m1 es la pendiente del lado inicial y m2 es la pendiente del lado final, el ngulo positivo (giro contrario alas manecillas del reloj

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Actividad: hallar los ngulos interiores del tringulo cuyos vrtices son: A(-2,1), B(3,4), C(5,-2)

1.Se recomienda graficar el problema par ubicar los ngulos

B

m =

m = -3

A

m = - C

2. Obtener las pendientes de los lados del tringulo utilizando m =

mAB = = m BC = mAC =

3. Hallar los ngulos aplicando for (10) Tan =

Tan = Arc Tan A = < A = 54o 10'

Tan B = Tan B= 4.5 < B = 77o 28' comprobar

Tan C = Tan C = 1.125 < C = 48o 22'

A + B + C = 180o

2. Dos rectas se cortan formando un ngulo de 135o, sabiendo que la recta final tiene una pendiente de - 3 calcular la pendiente de la recta final

3 El ngulo formado por la recta que pasa por los puntos A(-4,5) y B(3,y) con la recta que pasa por

C(-2,-4) y D(9,1) es de 1352, hallar el valor de "y"

4.Hallar el ngulo agudo del paralelogramo cuyos vrtices son: A(-2,1), B(1,5), C(10,7) y D(7,3)

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN

5.Encontrar los ngulos interiores de los siguientes tringulos

a)A(2,5), B(8,-1) , C(.2,1). b) A(-3.-2), B(2,5), C(4,2) c) A(-2,1), B(3,4), C(5,2)

d) A(1,-2), B(3,2), C(5,-4) e) A(0,-1), B(7,2), C(9,3)

LA EXPRESION Ax + By + C

En cada punto P de un plano, una expresin de primer grado, como Ax + By + C, tienen un valor definido que se obtiene poniendo las coordenadas de P en lugar de x e y. As, en el punto (1, 2) la expresin tiene el valor A + 2B + C. Los puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha expresin igualada a cero, constituyen la recta cuya ecuacin es Ax + By + C = 0. Si el punto P se mueve lentamente, el valor de la expresin cambia continuamente, solamente puede cambiar de signo pasando por cero. Si el punto P no cruza la recta, la expresin no se anula y por lo tanto no cambia de signo. De esto se deduce que para todos los puntos situados a un lado de la recta Ax + By + C = 0, la expresin Ax + By + C tiene el mismo signo.

Ejemplo 1. Determnese la regin en la cual x + y -1 > 0. La ecuacin x + y -1 = 0 representa la recta LK (fig. 1). Luego en todos los puntos situados a un lado de LK, la expresin tiene el mismo signo. En (1, 1) resulta x + y - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 que es un valor positivo. En la figura puede verse que (1, 1) queda encima de LK. De esto resulta que todos los puntos situados por encima de LK, x + y - 1 es positiva. En el origen de coordenadas resulta

x + y - 1 = 0 + 0 - 1 = -1

que es un valor negativo. El origen queda debajo de la recta, y por consiguiente, en todos los puntos situados por debajo de LK, la expresin x + y - 1 es negativa, de modo que la regin en la que x + y + 1 > 0, es parte del plano por encima de la recta LK.

Ejemplo 2. Determnese la regin en que x + y > 0, x + 2y - 2 < 0 y x - y - 1 < 0.

En la figura 2 las rectas x + y = 0, x + 2y - 2 = 0 y x - y - 1 = 0 estn sealadas (1), (2) y (3) respectivamente. Procediendo como en el ejemplo anterior se encontrar que x + y > 0 queda encima de (1), x + 2 y - 2 < 0 queda debajo de (2), y x - y - 1 < 0 queda a la izquierda de (3). Por consiguiente las tres desigualdades subsisten en el interior del tringulo sombreado, que es la parte comn de las tres regiones.

1.2.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Se desea encontrar la distancia de un punto P1(x1, y1) a la recta LK cuya ecuacin es Ax + By + C = 0. En la figura 3, sea MP1 perpendicular al eje de las x, y DP1 perpendicular a la recta LK. Sea ? el ngulo formado por OX y LK. Se verifica

(a) DP1 =Q P1 cos? = ( MP1 -MQ) cos?

En la figura se ve que

(b) MP1 = y1

Como Q est sobre la recta LK, sus coordenadas, x1 y MQ tienen que satisfacer la ecuacin de LK. Por lo tanto A x1 + B . MQ + C = 0 , y por consiguiente

(c) MQ = - A x1 + C .

B

La pendiente de LK es tg? = - A / B, luego

(d)

Sustituyendo los valores de (b), (c) y (d) en (a), resulta

(1)

La ecuacin (1) nos da la distancia del punto (x1 , y1 ) a la recta cuya ecuacin es Ax + By + C = 0. Puesto que la distancia es positiva, el signo del denominador debe ser de tal naturaleza que el resultado sea positivo.

Ejemplo 1. Bsquese la distancia del punto (1, 2) a la recta 2x - 3y = 6. La distancia de cualquier punto (x1 , y1 ) a la recta es, de acuerdo con (1)

DP =

Luego la distancia de (1, 2) es

DP =

Ejemplo 2. Las rectas (1) y - x - 1 = 0, (2)x + y - 2 = 0 y (3)x + 2y + 2 = 0 determinan un tringulo ABC. Determnese la bisectriz del ngulo A formado por los lados (1) y (2) (fig. 4).

La bisectriz es el lugar geomtrico de los puntos equidistantes de las rectas (1) y (2). Si (x, y) es un punto de la bisectriz, x e y tienen que satisfacer la ecuacin

Deben elegirse los signos de modo que estas expresiones resulten positivas para los puntos interiores del tringulo. En el origen de coordenadas, estas expresiones son

-1 / ( ), -2 / ( ). Por lo tanto, tiene que adoptarse el signo negativo en ambos denominadores, y la bisectriz que se busca ser.

Simplificando esta expresin, resulta x =

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Resuelve y grafica cada ejercicio.

1)Hallar la distancia de la recta 4x - 5y + 10 = 0 al punto P(3, 2).

2)Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2 y + 7 = 0 al punto P (-1, 4)

3)Hallar la distancia de la recta 5x + 12 y - 12 = 0 al punto P (3, -2)

4)Hallar la distancia dirigida de la recta 12x- 5 y + 3 = 0 al punto P(6, 4)

Ahora, mide muy bien tu distancia y ubcate en un punto de tu saln de clases para realizar:

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I. Hallar la distancia de la recta al punto que se indica.

1. 3x - y + 6 = 0 , B(2 , -1)

2. 2x + y - 10 = 0 , C(-3 , 5)

3. x + 2y - 5 = 0 , D(6 , 8)

4. 2x + 3y - 6 = 0 , E(3 , 4)

A continuacin estudiaremos la lnea recta y algunas curvas que son de gran importancia en matemticas y que te servirn de apoyo para otras materias.

Iniciaremos con la lnea recta.

TALLER No. 2. LA LINEA RECTA

Temas a cubrir:

a)Pendiente y ngulo de inclinacin (Definicin, Pendiente y Angulo de inclinacin)

b)Paralelismo y perpendicularidad (lneas que forman rectas paralelas, demostracin a travs de pendientes, lneas que son perpendiculares o cruzadas)

c)Ecuacin de una recta

Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen

Caso 2: Punto-Pendiente

Metodologa:

Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnos

Sesin de preguntas y respuestas

Planteo de situaciones problemticas ideales o reales

Algoritmos de solucin

Repaso de conceptos anteriores

a)Pendiente y ngulo de inclinacin

Se le denomina pendiente ( m ) de una lnea recta a la relacin que existe entre la elevacin (el cambio en la variable dependiente y ) y el avance ( el cambio en la variable independiente x )

A partir de los datos podemos hacer los siguientes clculos:

e = y2 - y1 = 5 - 2 = 3

a = x2 - x1 = 6 - 2 = 4

Segn la definicin anterior sera entonces:

En el ejemplo anterior, la pendiente ser entonces:

m = = 0.75

Esto se puede leer as: "Por cada unidad que se avance de x, se eleva tres unidades de y "

Ejercicios: Calcula la pendiente de los puntos del ejercicio anterior:

1.(5, 4), (6, 14)

2.(3, 1), (1, -6)

3.(-1, -2), (-4, -7)

A partir de lo anterior, podemos construir otra definicin:

"Se le llama ngulo de inclinacin a la pendiente convertida a unidades trigonomtricas de la tangente"

Si estamos utilizando una calculadora cientfica, el proceso para calcular el ngulo de inclinacin, puede realizarse de la siguiente forma suponiendo que cada par de corchetes representa la secuencia de teclas que debern de oprimirse:

Nota: En algunas calculadoras la tecla [Shift] es lo mismo que [2nd] y la tecla [ ' "] (grados, minutos y segundos) equivale a la tecla [DMS] (degree, minutes and seconds)

b)Paralelismo y perpendicularidad

Definiciones:

Paralelas: Son dos rectas cuyas pendientes son iguales

Perpediculares: Son dos rectas cuyas pendientes son inversas y con signo contrario. Dicho de otro modo, al cruzarse forman 4 angulos rectos de 90.

Con base en dichas definiciones podemos escribir con smbolos dichas condiciones:

Paralelas: m1 = m2

Perpendiculares: m1 - m2 = -1

Ejercicios:

Utilizando las frmulas anteriores determina si las rectas formadas por los pares de puntos son paralelas o perpendiculares:

a)L1 (-5 , 0) (0 , 5) y L2 (-2,2) (0, 0)

b)L1 (0, 10) (0, -10) y L2 (1, 2) (10, 2)

c)L1 (0, 3), (2 , 0) y L2 (-2, 0) (0, -3)

Repaso de conceptos utilizados en esta sesin:

1.Pendiente

2.Angulo de inclinacin

3.Paralelismo: condiciones para que dos rectas sean paralelas

4.Perpendicularidad: condiciones para que dos rectas sean perpendiculares

TALLER No. 3. LA LINEA RECTA

Temas a cubrir:

a)Ecuacin de una recta

Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen

Caso 2: Punto-Pendiente

Metodologa:

Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnos

Sesin de preguntas y respuestas

Planteo de situaciones problemticas ideales o reales

Algoritmos de solucin

Definicin:

a)Ecuacin de una recta

Se dice as de una expresin algebraica que muestra la correspondencia o relacin entre una variable dependiente "y" (la ordenada) y una variable independiente o "x" (la absisa), de tal forma que esta expresin permite describir toda la recta y cada uno de sus puntos. Algebraicamente esto es:

y = f(x) que se lee: "Ye es una funcin de equis"

Tambin, y segn sea el caso, se puede presentar la misma ecuacin igualada a cero colocando primero a las equis, luego a las yes, y por ltimo el valor de la constante como por ejemplo:

3x +4y -5 = 0

Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen

Se puede definir la ecuacin de una recta disponiendo simplemente de su pendiente y la ordenada (b) en el origen (el valor de y por donde pasa la lnea recta al cortar el eje de las ordenadas).

Ejemplo1: Definir la ecuacin de una lnea recta dados:

m= 0.75

b= 3

En este caso, convertimos la fraccin decimal (0.75) en una fraccin comn y simplificamos hasta donde sea posible:

Esta pendiente nos indica que por cada 4 unidades de avance, hay una elevacin de 3 unidades

Por otra parte el valor de b=3 nos indica que la lnea recta corta al eje de las ordenadas en 3. Grficamente esto sera as:

Matemticamente, la pendiente nos indica que por cada unidad que cambie el valor de y la x lo hace en 0.75 +3, es decir:

Para comprobar lo anterior, simplemente damos valores a la x y los cotejamos con los de y:

Por ejemplo:

X=0 Tal como se puede comprobar en la grfica anterior

X=4

Ejemplo 2: Determine la ecuacin de la recta dados m=3 , b=0.5

Este caso es ms fcil si retomamos el esquema anterior. Observa de dicho ejemplo que la pendiente transformada en fraccin comn multiplicaba a la x, y el valor de y simplemente se colocaba al final de la ecuacin respetando su signo. Si asignamos el valor de la ordenada a la variable b, la ecuacin pendiente-ordenada al origen se simboliza as:

Y = mx +b

Por tanto, nuestro problema ya resuelto sera: y = 3x + 0.5

Ejercicio: Sustituye algunos valores de x para que obtengas los valores de la y . En el espacio que se d a continuacin grafica dichos puntos y comprueba si la formulacin es correcta:

Caso 2: Ecuacin Punto-pendiente:

Similar al caso anterior, podemos definir este tipo de ecuaciones a partir de dos datos que son un punto P1 (x1 ,y1) y la pendiente. Si utilizamos como referencia un punto cualquiera P(x,y), la pendiente entre estos dos puntos estara dada por:

Puesto que esta pendiente es igual que la otra que es dada como dato, al igualar dichas pendientes tendramos:

Despejando dicha ecuacin se tiene entonces:

que es la frmula Punto-pendiente

Ejemplo: Determinar la ecuacin de la recta dados P(3,3) y m=5

Utilizando la frmula obtenida anteriormente, esto sera as:

y-3=5(x-3)

y-3=5x-15 Ordenando trminos e igualando a cero:

5x-y-12=0 que es la ecuacin de la recta que se busca

Ejercicios: Encuentra la ecuacin de la recta para cada caso:

A)

1.m=3 , b = -6

2.m= -5 , b= 2?

3.m=0 , b= 3

4.m=7 , b= 2/3

5.m= -3/5 , b = -8

B)

1.(0, 3) , m=1

2.(-3, -5), m=0

3.(0, -4), m= -2/3

4.(-1, -1), m= -5/7

5.(-5, -5), m= -1/2

Revisin de conceptos:

Escribe una defincin propia de los siguientes conceptos:

a)Punto-Pendiente

b)Pendiente-Ordenada en el origen

c)Variable independiente

d)Variable dependiente

e)Funcin de una variable

Ejercicio: Grafica las ecuaciones obtenidas en los incisos anteriores este espacio:

Aplicaciones:

1.El gerente de un negocio, ha determinado que los costos de su empresa en el nivel de produccin 0 Unidades, es de $200.00 (Costos Fijos). Si al vender 300 unidades los costos se incrementan en $280.00 (Costos variables), determine la ecuacin que define la lnea de costos variables y calcule el costo de produccin de la empresa cuando se produzcan 1000 unidades

2.Si el punto de equilibrio operativo de una empresa se alcanza cuando se producen 500 unidades a $480.00, y por cada 100 unidades ms de venta los costos aumentan en 60 unidades, Cul sera el nivel de costo cuando se alcance un nivel de produccin de 1000 unidades?

TALLER No. 4. LA LINEA RECTA

Temas a cubrir:

Ecuacin de una recta

Caso 3: Ecuacin Cartesiana

Caso 4: Reducida a absisa y ordenada en el origen

Metodologa:

b)Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnos

c)Sesin de preguntas y respuestas

d)Planteo de situaciones problemticas ideales o reales

e)Algoritmos de solucin

Conceptos nuevos:

Reducida a absisa: Se trata de una forma de expresar que un punto de referencia solo contiene dentro del parntesis el valor de la absisa ( x ) y en la mayora de los textos se le representa con una letra a, en el caso anlogo, cuando solo hay un valor de y, se le conoce como ordenada al origen y se representa con una letra b. De esta forma, un par de puntos con estas caractersticas no requiere expresarse en la forma normal entre parntesis, simplemente indicando el valor de a y de b.

Caso 3: Ecuacin Cartesiana

Se le llama as a esta forma de la recta porque se utiliza como base de clculo dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Basados en el esquema anterior, la forma punto pendiente, bastar con igualar las dos pendientes, m1 y m2 para obtener dicha ecuacin, es decir:

Caso 4. Reducida a absisa, ordenada al origen (Simtrica)

Este caso se presenta cuando una lnea recta corta a ambos ejes x e y, por lo que sus coordenadas contendrn al menos un valor que sea cero. Ejemplo:

Utilizando la frmula anterior:

Que es la frmula para una ecuacin reducida a absisa y ordenada al origen.

Revisin de conceptos:

a)Reducida a absisa-ordenada en el origen

b)Cartesiana

Ejercicios: Determina y grafica la ecuacin de la recta dados:

a)a = 4, b=-8

b)a= -3 , b= -9

c)a= 3/8 , b= -9/10

d)a= 36/6 , b= 48/6

e)P1(-2, -6), P2(-3, -3)

f)P1(1, 1100), P2(5, 1700)

g)Suponiendo que los datos anteriores son la grfica de poblacion de Pantanal, y el 5 representa el ao 2003, Calcule la poblacin estimada para el 2004 y el 2005.

Aplicaciones:

h)Un consumidor est dispuesto a pagar $5.00 por 2 Unidades de producto. Si el costo aumenta a $6.00, el consumidor reduce a 1 Unidad su consumo. Determine la ecuacin que define la lnea de indiferencia de dicho consumidor.

i)Tericamente, canto pagara al nivel cero de producto?Cul sera el nivel mximo de consumo si el precio fuese cero?

TALLER No. 5. LA LINEA RECTA

Temas a cubrir:

j)Ecuacin de una recta

Caso 5: Ecuacin General

Caso 6: Ecuacin normal

Metodologa:

f)Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnos

g)Sesin de preguntas y respuestas

h)Planteo de situaciones problemticas ideales o reales

i)Algoritmos de solucin

Conceptos nuevos:

Ecuacin general de la recta: Se le denomina as a la expresin matemtica de una recta en donde se presentan de manera ordenada los tres elementos de una recta, representados por tres coeficientes que son A, B y C. Ecuacin normal de la recta: De forma similar, los coeficientes aparecen ahora, como una expresin trigonomtrica calculados a partir de un segmento OP, que sale desde el orgen hasta el punto P y el ngulo que forma est dado por la expresin 0 ? w < 360

Caso 5: Ecuacin General

Se le llama as a esta forma de la recta porque se obtiene de las formas anteriores. Es decir, se generaliza partiendo de una ecuacin que ha sido igualada a cero, donde se pueden observar que existen tres tipos de coeficientes: el primero para un valor de la x, el cual se representa por una letra A, el segundo para un valor de la y, representado por una letra B, as como un valor que representa la ordenada cuando el valor de x=0, que se simboliza con una letra C.

Esto es: Ax + By + C = 0

Si despejamos el valor de y podemos deducir dos frmulas ms: una para la pendiente (m) y otra para el valor de la ordenada (b) :

Ejercicio:

1.De los problemas planteados para los talleres 3 y 4, expresa las respectivas ecuaciones en su forma general indicando el valor de sus coeficientes, sus pendientes y sus ordenadas. Grafica ahora, en funcin de m y de b

2.Qu ventajas le ves a esta forma de expresar una lnea recta?

a.Para graficar

b.Para expresar una relacin elevacin-avance y posicin respecto al eje y

Caso 6. Ecuacin normal

Si tomamos el segmento dado por los puntos OP de la recta que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, los valores de x e y estn dados por:

X1= p(Cos w)

Y1= p(Sen w)

o

Si ahora utilizamos la expresin para la forma Punto-Pendiente la expresin cambia a:

y-y1=m(x-x1)

Que es la frmula para una ecuacin normal.

Nota: Conviene para este caso, recordar la identidad fundamental Sen2x + Cos2x = 1 obtenida a partir de un tringulo rectngulo donde a es el cateto adyacente, b el cateto opuesto y c la hipotenusa, as:

Que es el teorema de Pitgoras

Ejercicios:

1.Hallar la ecuacin y graficar la recta en la forma normal siendo:

a.W=-130 , p = -4

b.W=135 , p = -1

c.W=-15 , p= 0

2.Transforma las ecuaciones encontradas a la forma general y encuentra las pendientes de dichas ecuaciones y el valor de su ordenada. Grafica.

CNICAS

Las cnicas son curvas que surgen al cortar un cono con planos de distinta inclinacin. Es importante tener en cuenta que son lneas curvas y no superficies.

Las cnicas son:

Circunferencia. Es la lnea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base.

Elipse. Es la lnea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano oblicuo.

Parbola.- Es la lnea