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Modelos De Inventarios

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: poland6525 31 mayo 2011

Palabras: 6092 | Páginas: 25

...

ución. Esto permite que las diversas actividades de producción operen más independientemente, sin tener que confiar completamente en la programación de salida de actividades previas en el proceso de producción.

5. Inventarios Estacionales.

Los inventarios utilizados con este fin se diseñan para cumplir más económicamente la demanda estacional variando los niveles de producción para satisfacer fluctuaciones en la demanda.

Los inventarios también se pueden utilizar con otros fines. Por ejemplo, los inventarios en vitrina sirven como instrumento promocional. Los inventarios de materias primas y productos terminados se acumulan frecuentemente para prevenir incrementos de precios, inflación y huelgas. Los inventarios sirven para suavizar irregularidades en la demanda.

El solo hecho de que estos inventarios cumplen esas funciones implica que son de gran valor para la administración. Necesariamente no necesitan minimizarse. Las organizaciones que mantienen niveles de inventario mínimos, pueden incurrir en costos de producción y distribución extremadamente altos.

Se requiere determinar niveles óptimos de inventario en una situación dada. Esto requiere balancear un conjunto de costos que suben con los niveles altos de inventarios contra un conjunto de costos, que bajan con niveles altos de inventarios.

DECISIONES BÁSICAS EN INVENTARIOS

Las decisiones básicas en inventarios (variables de decisión) de cada problema de inventario son las siguientes:

1. ¿Qué cantidad se debe pedir?

2. ¿Cuándo se debe pedir?

El gerente se enfrenta a un compromiso, él desearía producir en grandes lotes para minimizar el costo de producción y por otro le gustaría tener el menor inventario para minimizar costos.

CARACTERISTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIO

Aquí describimos las características de un sistema de inventarios.

Costos de Inventario

El criterio usual considerado en un análisis de inventarios (es decir, cuánto y cuándo pedir es la minimización de una función de costo que balancea los costos de (1) pedido (2) mantenimiento y (3) quedarse corto de inventario.

Costo de Pedir (o alistar)

Los costos de pedir (o alistar si se produce en casa) son todos los costos incrementales asociados con el reabastecimiento del inventario. Estos costos varían con el número de pedidos colocados. Estos costos típicos que ocurren cada vez que se coloca un pedido comprenden los costos de requisición, los costos de emitir y seguir la orden de compras, los costos de inspección al recibir y colocar los artículos en inventario, pago al proveedor, costos contables y costos administrativos tales como suministros y papelerías, etc.

Los salarios de los individuos involucrados en tales actividades constituyen la mayor parte de los costos de pedir.

Costos de Mantenimiento

Estos costos son los asociados con mantener un nivel dado de inventario disponible y varía con el nivel y periodo de tiempo que se mantiene el inventario.

Los costos de mantenimientos comprenden:

1. Costos de oportunidad en la inversión comprometida en el inventario (basados en costo de capital).

2. Costos de almacenamientos (arriendo, calefacción, refrigeración, vigilancia, etc.)

3. Deterioro del producto u obsolecencia

4. Impuestos, depreciación y seguros.

Los costos de mantenimiento se expresan como el costo en dólares de mantener 1 unidad en inventario por unidad de tiempo (usualmente 1 año).

Otra forma es como porcentaje del valor del inventario promedio (es decir, 10% del valor del inventario medio).

Costos de quedarse Corto (agotado).

Estos son los costos de penalización en que se incurre cuando se queda sin la mercadería cuando ésta se necesita. Generalmente comprende costos debido a perdida de clientes, prestigio y perdida potencial de utilidad debido a pérdidas en ventas. En el caso en donde la demanda insatisfecha puede satisfacerse en una fecha posterior (por medio de pedidos pospuestos), estos costos generalmente varían directamente con la cantidad faltante y el retardo de tiempo.

Precio de Compra

Este parámetro es de interés especial cuando se puede asegurar descuentos en cantidades o intervalos de precios, o cuando la producción en grandes lotes se traduce en la reducción de costos de producción. Bajo estas condiciones, la cantidad pedida debe ajustarse para aprovechar estos intervalos de precios.

DEMANDA

El patrón de demanda de una mercadería puede ser determinístico o probabilístico. Por determinístico entendemos que las cantidades pedidas sobre los periodos subsiguientes se conocen con certeza. La demanda sobre periodos iguales de tiempo puede ser constante o puede variar así, como también ser determinística. Estos dos casos se denominan demanda estática y dinámica, respectivamente.

La demanda probabilística ocurre cuando la demanda sobre un periodo dado de tiempo es incierta, pero puede describirse en términos de una distribución de probabilidad. Análogas a las demandas estáticas y dinámicas en el caso determinístico, la distribución de probabilidad puede ser estacionaria o no estacionaria sobre el tiempo.

La demanda para un periodo de tiempo dado puede satisfacerse instantáneamente al principio del periodo o uniformemente durante el periodo. Como ustedes lo verán las demandas instantáneas y uniformes afectan los niveles de inventarios y los costos de mantenimiento del inventario.

Ciclo de Pedido

Un ciclo de pedido se identifica por el periodo de tiempo entre la colocación de dos pedidos sucesivos. Este puede iniciarse como sigue:

1. Revisión Continua.

El registro de nivel de inventario se monitorea continuamente hasta que se alcanza un punto de disparo (o de nuevo pedido) especificado en donde se coloca un nuevo pedido. A esto se le conoce como el “sistemas de dos cajones”.

Este nombre se deriva del hecho de que el monitoreo continuo puede efectuarse utilizando dos cajones para el inventario. Los artículos se retiran solamente de uno de ellos y cuando éste queda vacío, se coloca un nuevo pedido.

2. Revisión Periódica

Los pedidos se colocan a intervalos regulares de tiempo.

Tiempos de Anticipación

Cuando se coloca un pedido, puede que se reciba inmediatamente o puede que tome algún tiempo antes de que se reciba. El tiempo entre la colocación y la recepción se conoce como el tiempo de anticipación.

Reabastecimiento del Inventario

El reabastecimiento actual de la mercadería puede ocurrir instantáneamente o uniformemente sobre le tiempo. El reabastecimiento instantáneo resulta cuando los artículos se compran a fuentes externas. El reabastecimiento uniforme, usualmente ocurre cuando el artículo es producido localmente dentro de la organización.

Horizonte de Tiempo

El horizonte de tiempo define el periodo sobre el cual el nivel de inventario debe ser controlado. El horizonte puede ser finito o infinito dependiendo de la naturaleza de la demanda.

Numero de Artículos

Un sistema de inventario usualmente comprende muchas mercaderías diferentes. Generalmente estas mercaderías compiten por recursos tan limitados como espacio o capital. Cuando esto sucede, existe interacción entre los artículos diferentes y los modelos de inventario deben desarrollarse para esta clase de situación.

Los atributos discutidos antes representan los elementos básicos que se necesitan considerar al modelar situaciones de inventario, siendo la demanda quizás el más importante.

También es virtualmente imposible formular un modelo de inventario general que tenga en cuenta todas las variaciones que se encuentran en un sistema real de inventarios.

Por consiguiente, intentaremos presentar un conjunto de modelos que se han encontrado útiles e ilustrativos de algunos de los diversos tipos de sistemas de inventarios.

Los modelos siguientes se discutirán, procediendo del caso más simple al más complejo.

1. Modelo clásico CEP (no se permiten faltantes).

2. Modelo CEP (se permiten faltantes).

3. Modelo CEP con descuentos por cantidad.

4. Modelo CEP para lotes de producción: un solo producto.

5. Modelo CEP para lotes de producción: productos múltiples.

6. Modelo CEP con restricción de recursos.

CEP: CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO O TAMAÑO ECONÓMICO DEL LOTE.

MODELO CLASICO DE CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO (CEP).

Definición de términos usados:

|Variable |Significado |Otra |

| | |Notación |

|A |Tasa de extracción de artículos, de tipo continua; [unidades/tiempo] |D |

|Q |Pedido o (producto) de artículos y todos los artículos llegan a la vez; [unidades] |Y |

|K |Costos de preparación y son los únicos que se consideran en este modelo, los cuales se cargan al hacer |Cp |

| |el pedido (o al momento de producir). [$/pedido] | |

|C |Costo de compra (o de producción) por articulo; [$ / unidad] | |

|H |Costo de mantener el inventario; [$ / unidad/tiempo] | |

El problema del inventario es determinar la frecuencia con la que debe hacerse una serie de producción y cual debe ser el tamaño del lote, de modo que el costo por unidad de tiempo sea mínimo.

Nivel de

Inventario

Q

Q - at

0 Q/a 2Q/a 3Q/a

tiempo, t

El costo por unidad de tiempo se obtiene como sigue:

1. Costo de producción por ciclo.

0 , sí Q = 0

K + cQ , sí Q > 0

2. Costo de almacenamiento por ciclo.

El nivel promedio de inventario durante un ciclo es

(Q + 0)/2 = Q/2; artículos/tiempo

y el costo correspondiente es

h (Q/2); $/tiempo

Y como la longitud de ciclo es Q / a, el costo de almacenamiento por ciclo es:

h (Q/2) x (Q/a)

Por lo tanto, el costo total por ciclo es

costo total por ciclo = K + cQ + (hQ2 / 2a)

Y el costo total por unidad de tiempo es:

T = (K + cQ + hQ2 / 2a) / (Q / a)

¿Cuál es el valor de Q que minimiza el costo total por unidad de tiempo?

(T/(Q = - aKQ-2 + h/2 = 0

Q* = [pic]

¿Cuál es el valor del tiempo que se requiere para obtener este valor óptimo de Q*?

t* = Q*/a = [pic]

N=1/t* Nro. de Ciclos para el periodo

¿Cuál es el costo total por unidad de tiempo para Q*?

T = [pic] + ac

MODELO CEP CUANDO SE PERMITEN FALTANTES

(DEFICIT PERMITIDO)

Puede que resulte beneficioso permitir que ocurra algún déficit porque puede incrementarse la longitud del ciclo con un ahorro resultante en los costos de preparación. Sin embargo, este beneficio puede ser neutralizado por el costo en el que se incurre cuando se presenta algún déficit y, por consiguiente, se requiere un análisis detallado.

Si se permite un déficit y se establece su precio a un costo de p $ por cada unidad demanda no satisfecha para cada unidad de tiempo, se pueden obtener resultados semejantes al caso en el que no se permite déficit.

Denotemos por S la existencia con la que se cuenta al principio de un ciclo.

Nivel de

Inventario

S

S - at

S

Q

0 Q/a

S/a tiempo, t

El costo por unidad de tiempo se obtiene como sigue:

1. Costo de Producción por Ciclo

0. , sí Q = 0

K + cQ , sí Q > 0

2. Costo de Almacenamiento

Nótese que el nivel de inventario es positivo para un tiempo S/a y el nivel promedio de inventario durante este tiempo es

(S + 0)/2 = S/2; artículos / tiempo

y el costo de almacenamiento

h (S/2); $/tiempo

Por lo tanto, el costo total de almacenamiento en el que se incurre durante el tiempo en que el inventario es positivo es;

(hS / 2) (S/a) = (hS2/2a)

Análogamente, los déficit se presentan para un tiempo

(Q – S)/a

El monto promedio de déficit durante este tiempo es

[0 + (Q – S)] / 2; artículos/tiempo.

Y el costo correspondiente es

p (Q – S)/2; $/tiempo

Y el costo total del déficit es

(p(Q – S) /2) ((Q – S)/a) = p(Q – S)2/2a

Por lo tanto, el costo total por ciclo es

K + cQ + hS2/2a + p(Q – S)2/2a

Y el costo total por unidad de tiempo

T = K + cQ + hS2/2a + (p(Q-S)2/ 2a)

(Q / a)

Este modelo tiene dos variables de decisión S y Q, de modo que se encuentran los valores óptimos S* y Q* igualando a cero las derivadas parciales (T/(S y (T/(Q

[pic]

Q* = [pic][pic]

S* = [pic] [pic]

La longitud optima del periodo, t*

t* = Q*/a

t* = [pic][pic]

El déficit máximo

Q* - S* = [pic] [pic]

Fracción de tiempo en la que no existe déficit

(S*/a) / (Q*/a) = p / (p + h)

DESCUENTO POR CANTIDADES

NO SE PERMITE DEFICIT

En los modelos considerados se ha supuesto que el costo unitario de un artículo era el mismo, independiente de la cantidad producida. Esto condujo a las soluciones óptimas que son independientes de este costo unitario.

Supongamos, que existen costos diferenciados, es decir, el costo unitario varia con la cantidad pedida (o producida).

Desarrollemos esto a través de un ejemplo.

Supongamos que el costo unitario de producir un altoparlante es c1 = $11, si se producen menos de 10.000 altoparlantes, c2 = $10, si la producción cae entre 10.000 y 80.000 altoparlantes y c3 = $ 9,5, si la producción es mayor que 80.000 altoparlantes ¿Cuál es la política óptima en este caso?

Retomemos el resultado del modelo del tamaño económico del lote, considerado con anterioridad (no se permite déficit), el costo total por unidad de tiempo, si el costo de producción es cj, está dado por:

Tj = aK/Q + a cj + hQ/2 para j = 1, 2, 3.

Los valores de K = 12000 [$] h = 0,3 [$/unidad/tiempo] y a = 8000 [unidad/tiempo]

Tj = (96 x 106/Q) + 8000cj + 0,15Q [$/tiempo]

Costo total

por unidad

de tiempo

Tj

110

105

T1 (c1 = 11)

100

95 T2(c2= 10)

90 T3(c3= 9,5)

85 T4(c4=9,0)

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q x104

• Para cada curva, se encuentra que el valor de Q que minimiza a Tj es:

Q* = 25.298 unid.

• Si evaluamos Tj en Q* = 25.298 unid.

T1 = $95.589

T2 = 87.589 ( Único valor factible

T3 = $83.589

• Si evaluamos T3 en Q = 80.000 se tiene:

T3 = $89.200

Es evidente que es mejor producir lote de 25.298 (a un costo de $87.589).

• Analicemos el caso en que C3 = $9 (en lugar de $9,5), cuando la producción es mayor que 80.000 unid. Se tiene:

T3 = $85.200

Por supuesto que ahora la cantidad óptima es 80.000 unid. (En vez de los 25.298 unid. (A un costo total de 85.200)).

INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIÓN CONTINUA Y CADA ITEM CONSIDERADO INDIVIDUALMENTE.

La función de costo se puede obtener a partir del costo total para un solo producto (sin desagregación). c

T = aK/Q + hQ/2

Para varios ítems se tiene

Ti = aiKi / Qi + hiQi/2 con i= 1,...., n

Por lo tanto, el tamaño del lote económico es:

Q*i = [pic]

Y el costo total por unidad de tiempo queda de la siguiente manera.

Ti = [pic]

Y el tiempo del ciclo de cada uno de los ítems es:

t* = Q*i / ai

INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIÓN CONTINUA Y LAS ORDENES INCLUYEN A TODOS LOS ITEMS.

n

T = ( (aiki/Qi + hiQi/2)

i =1

t = Qi/ai = t

n

T = ( (Ki/t + ½ hiai t)

i =1

n n

T = 1/t ( Ki + ½ t ( hiai

i =1 i =1

pero como es una sola orden que incluye a todos los ítems se tiene:

n

K = ( ki

i = 1

n

T = 1/t K + ½ t ( hiai

i=1

Calculemos los valores que hacen mínimo el valor de T.

n

(T/ (t = - (1/t2) K + ½ ( hiai = 0

i =1

n

½ ( hiai = (1 / t2) K

i=1

n

t2 = 2K / ( hiai

i=1

ti* = [pic]

Y el costo mínimo es el siguiente.

T(t*) = [pic]

La cantidad económica es:

Q* = t*ai

Q*i = ai [pic]

INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISION CONTINUA Y LIMITACION DE ESPACIO DE ALMACENAMIENTO (RESTRICCION).

Para este modelo se consideran n productos (n > 1), cuya demanda es constante y que compiten por un espacio limitado de almacenamiento de capacidad A.

Sean estos n productos Q1, Q2,....,Qn.

Cada producto tiene un costo fijo Ki (i = 1,...,n), un costo de almacenamiento hi(i = 1, ...., n) y una demanda constante ai(i = , ....,n).

Además se supone que la producción o el pedido es instantáneo, que no existen descuentos en los precios y que no se permiten demandas diferidas.

La función de costo total puede obtenerse a partir del costo total para un solo producto.

No vamos a considerar

T = hQ/2 + Ka/Q desagregación de

costos de producción.

Ahora bien, para n productos Qi = 1,...., n la función anterior se transforma en

T = [pic]

Si cada producto Qi tiene un volumen Vi (i = 1,...., n), y sabiendo que el espacio de almacenamiento tiene una capacidad finita A, se tienen las siguientes restricciones:

[pic]

Qi ≥ 0 i = 1,...., n

El problema se reduce a calcular los valores de Qi, i = 1,....n de modo que

Función Objetivo Min T = [pic]

Sujeta a

[pic]

Qi ≥ 0 i = 1,...., n

Podemos resolver este problema, por el método de Lagrange. De este modo se tiene:

L(Qi,() = ½ [pic]+ [pic] - ( [pic]

Podemos encontrar los Qi y ( que minimizan la ecuación anterior, resolviendo el siguiente sistema

(L(Qi, ()/(( = A - [pic]= 0 (1)

(L(Qi, ()/(Qj = ½ hj – ajKj / Qj2 - (Vj = 0 (2)

j = 1,...., n

De la ecuación (2) podemos obtener Q*j

½ hj - (Vj = ajKj/Qj2

Q*j = [pic] (3)

El valor de (, que debe ser menor a cero se encuentra por iteración.

Forma de operar:

1. Se da un valor de ( (negativo)

2. Se calcula un valor Q*j de la ecuación (3) con j = 1,...., n

3. Se calcula la ecuación (1) y se ve si cumple la igualdad, si no es así (no satisface) se modifica el valor de ( por otro valor y se repite el procedimiento, hasta lograr una aproximación de la igualdad (1).

Ver Ejemplo Nº 1

MODELO DEL TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCION

Se tiene una tasa de producción = b

b > a

Se tiene una tasa de consumo = a

Q A (b – a) = pendiente de la recta

Q1 N

- a = pendiente de la recta

0 C B

t1

t

t1 : tiempo en que se producen las Q unidades.

t : tiempo en que se consumen las Q unidades.

Q1: representan las unidades que quedan en inventario.

Función de costo

T = Costo fijo + costo variable

T = K + h (cantidad a mantener en inventario)

Del gráfico:

__

AC: representa la cantidad máxima producida.

__

NC: representa la máxima cantidad que se mantiene en inventario.

__

(Cantidad a mantener en inventario) = área bajo la curva = ½ NC * t

Por lo tanto

__

T = K + h (½ NC * t)

Pero __

NC = Q1

La ecuación de la recta ON es en general y = a` + b`t

Reemplazamos valores (t1, Q1) y (0,0) se tiene

(Q1 – 0) = 0 + (b – a) (t1 – 0)

Q1 = 0 + (b – a) t1

Como t1 = Q/b

__

⇨ NC = Q1 = (b – a) Q / b

Reemplazamos en T:

T = K + h (1/2 (b – a/b) Q) t /: t

Costo por unidad de tiempo

T`= K/t + h(1/2 (1 – a/b) Q)

t = Q/a

T` = aK/Q + ½ h (1 – a/b) Q

Derivando para obtener el valor del lote económico de producción se tiene:

(T`/ (Q = -aK/Q2 + ½ h (1 – a/b) = 0

Como

Q1 = (b - a)Q/b

Reemplazamos el valor Q*

Q1 = (b - a)/b [pic]

Q1 = [pic]

Q1 = [pic]

EJEMPLO Nº 1

Espacio de almacenamiento A = 25 m3

|ITEM |ki |ai |hi |Vi(m3) |

|1 |10 |2 |0,3 |1 |

|2 |5 |4 |0,1 |1 |

|3 |15 |3 |0,2 |1 |

SOLUCIÓN

ITERACION

|( |Q*i |ViQi |

| | 8.944 | |

|(= - 0,1 |11.547 = |35.491 ( 25 |

| |15.000 | |

| | 6.030 | |

|( = - 0,4 |6.667 = |22.184 ( 25 |

| |9.487 | |

| | 6.667 | |

|( = - 0,3 |7.559 = |24.833 ( 25 |

| |10.607 | |

Por lo tanto, los lotes óptimos son:

Q*1 = 6.667 unid.

Q*2 = 7.559 unid.

Q*3 = 10.607 unid.

EJEMPLO Nº 2

Un contratista tiene que proveer de 10.000 cojinetes por día a un fabricante de automóviles. Encuentra que iniciar un lote de producción, puede producir 25.000 cojinetes por día. El costo de mantener un cojinete en el almacén por un año es de 2 centavos, y el costo de arranque de un lote de producción es de $18. ¿Qué tan frecuentemente deben fabricarse los lotes de producción?

SOLUCION

a: Número de cojinetes requeridos por día.

b: Número de cojinetes producidos por día.

h: Costo de mantener un cojinete en inventarío por día.

K: Costo de arranque de un lote de producción.

Q: Número de cojinetes producidos por lote de producción.

t: Intervalos entre periodos de producción.

Para este caso en que existe producción y consumo simultáneamente, la representación del costo total por unidad de tiempo es:

CT = aK/Q + ½ h (1 - a/b)Q

(cT/(Q = - aK/Q2 + ½ h (1-a/b) = 0

⇨ Q2 = 2aK/h(1 - a/b)

Q* = [pic]

t* = Q*/a =

Valores para el problema.

a = 10.000 coj./día

b = 25.000 coj./día

h = 2 c/año /100 x 365 = 0,0000547 $/día

K = $18

Q* = [pic]

Q* = 104.732 cojinetes.

t* = 104.732 cojinetes/10.000 coj./dia = 10,47 días.

N=1/(10,47 días x Año/365días) aprox 35 ciclos en el año

-----------------------

T = aK/Q + ac + hQ / 2

T = aK/Q + ac + hS2/2Q + p(Q – S)2/2Q

$=>WX‚ƒ„…š›ž¡ª½Ò Ù &ì

X

y

ç

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s

K

s

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Si ( = 0 se tiene el lote económico

Q*j = [pic]

Sí b = a; consumo igual a producción no

hay inventario.

Q*= [pic]

-----------------------

2