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Probabilidad Y Estadistica Ejercicios

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: Eric 19 junio 2011

Palabras: 8849 | Páginas: 36

...

¿Cuál es la probabilidad de que un producto defectuoso haya sido producido por la línea A?

b) ¿Cómo se expresa la probabilidad condicional?

1. (Regla de la multiplicación). Una cadena de tiendas de video vende tres marcas diferentes de videograbadoras (VCR). De sus ventas de VCR, 50% son de la marca A1 , 30% de la marca A2 y 20% son de la marca A3. Cada fabricante ofrece un año de garantía en partes y mano de obra. Se sabe que 25% de las VCR de la marca A1 requieren trabajo de reparación en garantía, en tanto que los porcentajes correspondientes a las marcas A2 y A3 son de 20% y 10% respectivamente.

¿Sería posible saber con estos datos la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya adquirido una VCR de la marca A1 y que necesite reparación mientras tenga garantía?

2. (Regla de la multiplicación). Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de sangre para donar sangre. Ninguno de ellos ha donado antes, razón por la que se desconocen los tipos de sangre. Supongamos que sólo se desea el tipo A+ y sólo uno de los cuatro tiene en realidad este tipo. Si los donadores potenciales se seleccionan al azar para determinar su tipo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que al menos en tres individuos haya que determinar el tipo de sangre para obtener el deseado?

3. (Eventos independientes). Se sabe que el 30% de las lavadoras de cierta compañía requieren servicio cuando todavía tiene garantía, en tanto que sólo 10% de las secadoras necesitan ese servicio, Si alguien compra una lavadora y una secadora hechas por esta compañía, ¿cuál es la probabilidad de que ambas máquinas necesiten servicio dentro de la garantía?, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las máquinas necesite servicio?

4. (Probabilidad total). Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 2%, 3% y 5% respectivamente.

Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que este artículo sea defectuoso.

5. (Teorema de Bayes). En cierta región del país, el 35% de los votantes son perredistas y 65% son panistas. Se reporta que el 10% de los perredistas y el 12% de los panistas están a favor de cierta elección. Si se toma al azar a un votante, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona sea panista, si se sabe que esta a favor de cierta elección?

6. Una revista de noticias publica tres columnas tituladas “Arte” (A), “Libros” (B) y “Cine” (C). Los hábitos de lectura de un lector seleccionado al azar con respecto a estas columnas son:

|Lee regularmente |A |B |C |

|Mercado interno |10 |10 |20 |

|Mercado de |10 |20 |30 |

|exportación | | | |

|Total |20 |30 |50 |

a) Si el gerente de una compañía selecciona aleatoriamente un automóvil de color blanco, calcula la probabilidad de que sea de exportación.

b) Si el gerente de una compañía selecciona aleatoriamente un automóvil de exportación, calcula la probabilidad de que éste sea de color azul.

3. (Diagrama de árbol y regla de multiplicación de probabilidades). Una clase tiene doce niños y cuatro niñas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar ¿cuál es la probabilidad de que todos sean niños?

4. (Regla de multiplicación de probabilidades). A un jugador le reparten cinco cartas una tras otra de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean espadas?

5. (Eventos dependientes e independientes). Tres caballos A, B y C corren juntos, sus probabilidades de ganar son respectivamente [pic]Si los caballos corren dos veces, calcular la probabilidad de que C gane la primer carrera y de que A gane la segunda.

6. (Eventos dependientes e independientes). Sea A=”una familia tiene niños de ambos sexos”, y sea B=”una familia tiene a lo sumo un niño”.

a) Comprobar que A y B son eventos independientes si una familia tiene tres hijos.

b) Comprobar que A y B son eventos dependientes si una familia tiene dos hijos.

7. (Teorema de la probabilidad total). Tres maquinas A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas maquinas son 3%, 4% y 5%.

Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

8. (Teorema de la probabilidad total). Un fugitivo es buscado por las autoridades policíacas, las cuales están seguras de que el fugitivo sólo puede seguir uno de cuatro caminos posibles: C1, C2, C3, C4 con las probabilidades 0.2, 0.3, 0.25 y 0.25 respectivamente. Por las condiciones de la policía de cada lugar al que puede llegar, las probabilidades de que puede ser atrapado son 0.4, 0.4, 0.5 y 0.5 respectivamente.

Calcular la probabilidad de que sea capturado.

9. (Teorema de Bayes). Tres maquinas A, B y C producen respectivamente 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de éstas máquinas son respectivamente 2%, 3% y 4%. Seleccionando un artículo al azar resultó defectuoso.

Hallar la probabilidad de que el artículo hubiera sido producido por la máquina C.

10. (Teorema de Bayes). En cierta facultad el 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura (1.83 mts.). Además el 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y mide más de 6 pies, ¿cuál es la probabilidad de que este estudiante sea mujer?

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

UNIDAD 5

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

EJEMPLOS.

1. Identifica cada situación y señala cuál de las siguientes aseveraciones corresponde a una variable aleatoria discreta:

a) Cantidad de refresco que suministra una máquina en un autoservicio.

b) Cantidad de personas que se cortan el cabello en un determinado día.

c) La cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener el primer sol.

d) La vida útil de un microchip.

e) Cantidad de artículos defectuosos en un lote de 50 artículos.

2. Contesta verdadero (V) ó falso (F) según corresponda:

a) ¿Una variable aleatoria de un experimento es una función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral? ( )

b) ¿La E(X) representa el Rx que se espera suceda al repetir el experimento una gran cantidad de veces? ( )

c) ¿Al lanzar tres monedas, definimos la variable aleatoria X=”cantidad de caras sol resultantes”, se pueden obtener las siguientes probabilidades: [pic], para X=2 y X=0 respectivamente? ( )

d) ¿El valor esperado y la varianza matemática son lo mismo dentro del estudio de las VAD? ( )

e) ¿La desviación estándar de una VAD es la raíz cuadrada positiva de la varianza? ( )

3. En San Francisco, California; el 40% de las personas tienen asegurada su propiedad contra temblores. Se selecciona una muestra de 3 personas a las que se les identifica como aseguradas (A) y no aseguradas (N), y definiendo como variable aleatoria discreta a X:”número de personas no aseguradas contra temblores en la muestra”, determina:

a) La tabla de distribución de probabilidades.

b) La función de probabilidad, P(xi).

c) La función de distribución acumulada, F(x).

d) Las gráficas de las dos funciones anteriores.

e) El valor esperado de X, E(x).

f) La varianza de X. V(X).

g) La Desviación estándar de X, [pic]

4. (Valor esperado). Un cliente potencial para una póliza de seguro por 20 mil dólares tiene una casa en un área que, de acuerdo con las estadísticas, puede sufrir pérdida total en un año con 0.001 de probabilidad y pérdida de 50% con 0.01 de probabilidad. Calcula la esperanza que tendría que cobrar la compañía de seguros por una póliza anual, para “salir a mano” con todas las pólizas de este tipo, ignorando todas las otras pérdidas parciales.

5. La variable aleatoria se define como X:”el número de clientes que en un día se quejan por el servicio de una tienda”.

a) Calcula el valor de k para que la función

[pic]

sea una función de probabilidad de X.

b) Calcula [pic]

6. Dada X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad P(X=-2)=0.4, P(X=0)=0.2 y P(X=1)=k; calcula:

a) La constante k

b) E(X).

c) El valor esperado de la variable [pic]

EJERCICIOS.

1. (Método de puntos muestrales). Actualmente Se cuenta con dos cadenas televisivas vía satélite de paga en México. Seleccionamos una muestra de tres personas y denotamos con S a las que tiene SKY, D a las que tienen Directv, buscamos la probabilidad de que una de las personas encuestadas elija SKY y la subsecuente Directv.

2. (Método de puntos muestrales). Se lanzan dos dados, se calcula la probabilidad de obtener puntos cuya suma sea un número non.

3. (Valor esperado). Una caja con focos tiene entre 4 y 6 focos defectuosos donde el número de focos defectuosos es una variable aleatoria discreta con una distribución de probabilidad:

|Xi |P(Xi) |

|4 |1/8 |

|5 |5/8 |

|6 |2/8 |

|Para otros casos |0 |

Calcula el valor esperado de focos defectuosos E(X).

4. (Valor esperado). En la feria el juego de tiro al blanco el número de veces que acierta al blanco sigue la distribución de probabilidad mostrada en la tabla, el juego es gratis si acierta al blanco más de tres veces, si no deberá pagar. ¿Será rentable tener este juego?

|X=xi |1 |

|2 |1/8 |

|3 |2/8 |

|4 |3/8 |

|5 |2/8 |

5. (Distribución de probabilidad). Consideremos X una variable aleatoria discreta de un experimento. Si las probabilidades para cada uno de los valores de X son:

[pic]. Encuentra la función de probabilidad P(xi) y la función de distribución acumulada F(x). Así también determine las gráficas de ambas funciones.

6. (Distribución de probabilidad). Una compañía fabrica colchones tipo individual, matrimonial, king size y su función de probabilidad está dada por la expresión que adelante se indica, ¿cuál será su función de distribución acumulada?:

[pic]

7. Una universidad contempla abrir 5 nuevas carreras para la población estudiantil del próximo ciclo escolar, siendo X una VAD con p(x) igual a:

[pic]

Construye su gráfica de distribución acumulada.

8. (Método de puntos muestrales). Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditores permanentes. Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar, calcula la probabilidad de que detecte más de un error.

9. (Valor esperado). Dada X una VAD que representa el número de clientes que en un día se quejan por el servicio de una tienda, cuya función de probabilidad es:

[pic]

Calcula ¿cuántos clientes se espera acudan a quejarse por el servicio en un día determinado?

10. (Valor esperado). La producción diaria de una fábrica es de 20 artículos domésticos, de los cuales siempre resultan dos defectuosos. Se toma una muestra de cuatro artículos. Dada X la VAD que asigna el número de aparatos defectuosos en la muestra, calcula cuántos aparatos de la muestra se espera sean defectuosos, es decir calcula el valor teórico.

11. (Valor esperado). El gerente de un almacén construyó la siguiente distribución de probabilidad de la demanda diaria (número de veces utilizada) de una herramienta:

|X |0 |1 |2 |3 |

|p(X=x) |0.05 |0.4 |0.35 |0.2 |

El costo por utilizar cada vez la herramienta es $30. Calcula el costo medio diario por el uso de la herramienta.

12. Dada X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad P(X=-2)=0.4, P(X=0)=0.2 y P(X=1)=k; calcula:

a) Encuentra la constante k

b) Sí [pic], calcula la varianza de Y.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

UNIDAD 6

MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD.

EJEMPLOS.

1. (Modelo binomial). Se ha realizado un estudio en 4 universidades de los Estados Unidos, para encontrar un medicamento que ayude a controlar el VIH, cada universidad tiene una probabilidad independiente del 75% de hallar la formula exacta del medicamento. Consideramos la variable aleatoria X: “cantidad de universidades que encontrarán la formula exacta”, calcula la distribución de probabilidad para X. ¿Cuál será la probabilidad de que por lo menos dos universidades encuentren la fórmula correcta para controlar el VIH?

2. (Modelo geométrico). La más grande compañía de telefonía celular de América pretende ingresar a México para ofrecer sus servicios de comunicación, comenzará con un sondeo del mercado, considerando que el 65% de los consumidores no está conforme con el servicio actual. Obtener la probabilidad de que la primera persona que quiera cambiar de compañía de telefonía móvil sea la tercera en contestar una encuesta.

3. (Modelo de Pascal o binomial negativa). El experimento consta del lanzamiento de un dado, calculamos la probabilidad de que en el cuarto lanzamiento obtengamos el segundo número 6 en la cara superior del dado, tomando en cuenta que tenemos una probabilidad en cada lanzamiento del 16.66%.

4. (Modelo hipergeométrico). La compañía Fragancias frescas tiene lotes de 45 perfumes, si tomamos 3 al azar considerando que hay dos defectuosos, calcular la distribución de probabilidad para la cantidad de perfumes defectuosos en la muestra.

5. (Modelo de Poisson). La cajera de un banco ejecuta seis operaciones en treinta minutos, calcular la probabilidad de que:

a. en una hora determinada, esta cajera ejecute menos de 4 operaciones.

b. en una hora determinada, esta cajera ejecute más de 2 operaciones.

|MODELO |CARACTERÍSTICAS |

|de Poisson |La probabilidad de obtener exactamente un resultado en un intervalo pequeño es proporcional a la |

| |longitud del intervalo |

| |La probabilidad de obtener dos o más resultados en un intervalo pequeño es mínima.. |

|Binomial |El experimento consta de n (número finito) de pruebas. |

| |Cada prueba tiene sólo dos resultados: éxito y fracaso. |

| |Las elecciones se hacen con reemplazo. |

|de Pascal |El experimento consta de ensayos independientes. |

| |Cada ensayo tiene sólo dos resultados: éxito o fracaso. |

| |El experimento termina cuando ocurre el n-ésimo éxito. |

|Hipergeométrico |El experimento se realiza considerando un lote de tamaño N, en el cual sus elementos están divididos|

| |en dos clases de tamaños m y N-m |

| |Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazo del lote. |

|Geométrico |El experimento consta de ensayos independientes. |

| |El experimento termina cuando se obtiene el primer éxito en un ensayo. |

EJERCICIOS.

1. (Modelo hipergeométrico). En un día el aeropuerto realiza 30 operaciones (una operación corresponde a un aterrizaje o a un despegue) y se supone que hay tres aterrizajes o despegues abortados (no realizados), si consideramos 7 operaciones al azar, se calcula la distribución de probabilidad para la variable aleatoria X: “cantidad de operaciones abortadas en un día”.

2. (Modelo de Poisson). El conmutador de la Universidad recibe en promedio 15 llamadas por minuto, ¿cuál es la probabilidad de que el conmutador reciba por lo menos 9 llamadas?

3. (Modelo binomial). La NASA ha diseñado un programa para el lanzamiento de 3 satélites de comunicación y 2 de espionaje, cada uno es independiente. El programa tiene una probabilidad de éxito del 96%. ¿Cuál será la distribución de probabilidad para X: “número de satélites lanzados correctamente” y cual será su varianza?

4. (Modelo geométrico). Una máquina llena botellas de agua, se detectaron defectos de faltante de líquido en el 30% de las botellas. Calcular:

a. La probabilidad de que la primera botella defectuosa sea la cuarta.

b. La varianza.

c. La esperanza matemática E(X).

5. (Modelo de Pascal o binomial negativo). La compañía Aeroespacial construyó 4 proyectiles, la probabilidad de fracaso en cualquier prueba es del 7%. La compañía suspende su proyecto si fracasan en 2 ocasiones. Calcula la probabilidad de que el segundo fracaso ocurra en el cuarto lanzamiento, suponiendo que cada evento no depende de los otros, ¿cuál será su varianza?

6. (Modelo hipergeométrico). Tienes a tu cargo el almacen de una planta, donde recibirás 25 motores, existen 3 motores que necesitan reparación. Calcula la probabilidad de que al inspeccionar aleatoriamente 5 motores, resulten tres o más defectuosos.

7. (Modelo de Poisson). En una ciudad, se cometen en promedio 8 robos por día, calcula la probabilidad de que haya menos de 8 robos en un día determinado.

8. (Modelo hipergeométrico). Si tienes N=42, [pic] y n=9. Calcula de acuerdo a una distribución hipergeométrica.

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

9. (Modelo de Pascal o binomial negativo). Una constructora sabe que, la posibilidad de obtener una licitación de un proyecto es del 48% debido a los buenos costos que ofrecieron. Esta ha organizado una comida para sondear entre las personas que decidirán, quienes están a su favor.

a. ¿Con cuántas personas deberán platicar para encontrar 4 que estén a favor de su proyecto?

b. Calcula la probabilidad de que la cuarta persona que esta a favor fuera la sexta con la que platican.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

UNIDAD 7

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.

EJEMPLOS:

1. En el laboratorio de química se tiene un error en tiempo de reacción (en minutos) para un determinado experimento, que es una VAC y que cuenta con la siguiente función de densidad de probabilidad:

[pic]

Si contemplamos que tenemos graves problemas cuando el experimento tarda más de un minuto y si el éxito significa que el experimento debe durar cuando más un minuto, encuentra:

a) La probabilidad de éxito del tiempo de reacción del experimento.

b) Verifica que la sumatoria de todas las probabilidades es igual a uno.

2. Dada una VAC X con una función de densidad de probabilidad:

[pic] [pic]

3. Un ciclista debe recorrer en subida entre ½ km y 4 km antes de cada competencia para su calentamiento; si tenemos la siguiente función de distribución acumulada:

[pic]

[pic]

Calcula la probabilidad de que el ciclista cumpla con la distancia para su calentamiento.

4. La siguiente función de distribución acumulada, que representa el tiempo de respuesta en segundos de un microprocesador:

[pic]

Calcula la probabilidad de que el microprocesador reaccione después de 2 segundos, que para el ingeniero en sistemas ya sería un microprocesador lento, y tendría que reemplazarlo por uno de mayor velocidad.

EJERCICIOS:

5. Dada la siguiente variable aleatoria continua x, con función de densidad de probabilidad

[pic]

Calcula su varianza V(X).

6. Una máquina que suministra refresco en un restaurante, provee hasta 200 litros de refresco en un día. La cantidad total de refresco es una variable aleatoria X (expresada en cientos de litros), con una función de densidad de probabilidad dada por:

[pic]

Calcula la probabilidad de que la máquina suministre entre 45 y 140 litros en un día.

7. Sea x una variable aleatoria continua con función de distribución acumulada:

[pic]

Determina la función de densidad de la variable x.

8. Mediante la siguiente función de distribución acumulada:

[pic]

Determina las siguientes probabilidades

[pic]

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

UNIDAD 8

MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD.

EJEMPLOS:

1. (Distribución uniforme). Una empacadora de granos tiene una máquina llenadora de costales que suministra en forma aleatoria y con distribución uniforme entre 228 y 230kg de arroz, calcula la probabilidad de que la máquina despache más de 229kg. Además determina la media, la varianza y la desviación estándar.

2. (Distribución uniforme). Supón un experimento en el que, de alguna manera, se hace una medición al azar y ésta puede estar distribuida uniformemente en el intervalo [-1,3], calcula la probabilidad de que la medición sea mayor a dos si se sabe que la medición fue mayor a uno.

3. (Distribución exponencial). El tiempo que es necesario hacer fila en la caja de cierto supermercado es en promedio de 12 minutos, si se acude a tal lugar entre las 14:00 y las 17:00 en un día entre semana. Este tiempo se espera se distribuye exponencialmente. De acuerdo con esta información, encuentra:

a) La probabilidad de salir de la fila de caja en más de 10 minutos en caso de acudir a las 15:00 en jueves;

b) La probabilidad de salir de la fila en menos de 5 minutos en las mismas circunstancias.

4. (Distribución exponencial). Un motor eléctrico tiene una vida media de seis años. Si la vida útil de ese tipo de motor se considera como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial, ¿cuál es el tiempo de garantía que debe tener el motor si se desea que a lo más 15% de los motores falle antes de que expire su garantía?

5. (Relación entre la distribución exponencial y la de Poisson). En el servicio de emergencias de una pequeña población se recibe un promedio de 10 llamadas por mes y se considera que este fenómeno sigue una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre una llamada y otra sea mayor a una semana? (considere una semana como la cuarta parte de un mes).

6. (Relación entre la distribución exponencial y la de Poisson). Supón que la llegada de los automóviles a una caseta de cobro de una autopista tiene una distribución de Poisson con razón de dos autos por minuto, calcula la probabilidad de que el revisor permanezca por lo menos 20 segundos desocupado.

7. (Distribución normal). Usando las tablas, calcula las siguientes probabilidades:

[pic]

8. (Distribución normal). En un aserradero se cortan árboles en trozos de 4m en promedio, con 0.23m de desviación estándar, las longitudes se distribuyen aproximadamente en forma normal.

a) Si se elige un lote de 500 trozos, calcula el número probable de éstos que superen 4.12m de longitud.

b) Si se eligen nueve trozos, calcula la probabilidad de que cuatro tengan una longitud mayor de 4.05m

9. (Distribución normal, tablas porcentuales). Encuentre en cada uno de los siguientes incisos el valor de Z0 para el cual se cumple que:

[pic]

10. (Distribución normal, tablas porcentuales). El tiempo necesario para armar cierta unidad es una variable aleatoria distribuida normalmente con [pic] minutos, [pic]minutos, calcula el tiempo de armado de manera tal que la probabilidad de exceder éste sea 0.02

11. (Aproximación de la distribución normal a la binomial). Un dado se lanza 120 veces. Encuentra la probabilidad de que el resultado del lanzamiento sea 5, en 18 ocasiones o menos.

12. (Aproximación de la distribución normal a la binomial). Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus tabletas para el control natal tiene un ingrediente que está por debajo de la dosis mínima, lo que las hace ineficaces, calcula la probabilidad de que más de 30 tabletas en una muestra de mil sean ineficaces.

|FACTOR DE CORRECCIÓN |

|POR CONTINUIDAD |

|CONDICIÓN |CORREGIR A K: |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic][pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

EJERCICIOS:

1. Si tenemos una variable aleatoria continua, con una distribución uniforme, que varía en un intervalo cuyo extremo superior es el número 8 y su valor esperado es 5, ¿cuál es su varianza?

2. Consideremos la longitud medida en centímetros de una población de cierta especie animal. Si se sabe que:

[pic]

Siendo X la variable aleatoria distribuida normalmente, que representa la longitud de los animales.

Calcula:

a) la media de la distribución

b) la varianza

c) la probabilidad [pic]

3. Una variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial con media de 12, encuentra:

a) [pic]

b) V(X)

d) F(X)

e) f(X)

4. En un artículo de una revista científica se sugiere la distribución uniforme en el intervalo [7.5,20], como un modelo para la profundidad medida en centímetros, de la capa de sedimento de cierta región de un lago.

a) Calcula la media y la varianza de la profundidad.

b) Encuentra la función de distribución acumulada de la profundidad.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la profundidad observada sea a lo sumo 12?

5. Al estudiar los impactos meteóricos sobre un cuerpo celeste por semana terrestre, se encuentra que la cantidad de materia recibida por éste se encuentra modelada por una distribución uniforme en el intervalo [0,5]. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana, la cantidad de masa por impactos meteóricos en dicho cuerpo sea mayor a 2 y menor a 4?

6. En un grupo de estudiantes de maestría, la calificación promedio en cierta materia es 8.75 con una desviación estándar de 1.0. Si suponemos que la distribución de las calificaciones es normal, calcula la probabilidad de que un estudiante continúe en la maestría, suponiendo que la calificación mínima para ello es de 8.0.

7. El tiempo (X) que tarda un paramédico en aplicar una inyección tiene una distribución exponencial, con tiempo esperado de 20 segundos. Conforme a esto calcula :

a) la probabilidad de que un paramédico aplique una inyección en a lo más 30 segundos.

b) la probabilidad de que un paramédico aplique una inyección en 20 segundos o más.

8. La puntuación en el examen de cierto instituto educativo está distribuida normalmente, con una media de 8.0 y una desviación estándar de 2.6. De 600 aspirantes que presentaron el examen, ¿qué porción tendrá una puntuación de entre 6.0 y 7.0? ¿Cuántos aspirantes obtuvieron una puntuación en ese rango?

9. Conforme a una encuesta de preferencias televisivas, el 40% de las familias de cierta población prefieren ver el canal A por las tardes. Si se considera una muestra aleatoria de 60 familias, ¿cuál es la probabilidad de que 30 o más familias de la muestre éste viendo el canal A esta tarde?

10. Una falla de cierta maquinaria ocasiona que la tercera parte de los 5000 productos obtenidos de ésta sean defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 25 productos no se encuentren más de 3 defectuosos?

11. En un día normal, el tiempo de viaje de un autobús de México a Acapulco por la autopista del Sol está distribuido uniformemente de 4.5 a 5h. Calcula la probabilidad de que en un día normal por lo menos dos de los siguientes seis autobuses no tarden más de 4h 40 minutos en hacer el recorrido. Supón que los recorridos de los seis autobuses son independientes.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

UNIDAD 9

MULTIVARIABLES Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES.

EJEMPLOS.

1. Dadas x1 y x2 dos variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta:

[pic]

calcula:

a) La probabilidad conjunta.

b) La función de probabilidad marginal de x1 y x2.

c) [pic]

d) El valor esperado.

e) El coeficiente de correlación.

2. (Teorema central del límite). En una población de 50 elementos se sabe que la media es de 4.0 y la desviación estándar es 1.5, si se realiza un muestreo aleatorio, ¿cuál es la probabilidad [pic]?

EJERCICIOS.

3. Dadas x1 y x2 dos variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta:

[pic]

calcula:

a) La probabilidad conjunta.

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

e) Determina sí x1 y x2 son independientes.

f) El valor esperado.

4. De una caja de juguetes que contiene tres carros, dos pelotas y tres rompecabezas se selecciona una muestra aleatoria de cuatro juguetes. Si x1 es el número de carros y x2 el de pelotas, encuentra la distribución de probabilidad conjunta de x1 y x2.

5. Consideremos la siguiente distribución de probabilidad para x1 y x2:

| | |[pic] |

|[pic] |1 |2 |3 |

|[pic] |1 |0.05 |0.05 |0.1 |

| |2 |0.05 |0.1 |0.35 |

| |3 |0 |0.2 |0.1 |

a) Encuentra la probabilidad marginal de cada variable.

b) Determina si x1 y x2 son o no independientes.

6. En un grupo escolar de primaria se efectuará una rifa el día del niño. Cada alumno toma, al entrar al salón de clases, una bolsita de dulces de una caja que contiene 25. Dentro de cada bolsita hay, además de dulces, una esferita de color y está numerada.

Las esferas azules indican que en caso de ser premiada en la rifa, el premio será un juego electrónico y las rojas que será una pelota.

Si se reparten 15 esferas azules y 10 rojas sabemos que el número de esferas que se premiarán será de 4, encuentra la probabilidad de que tengan que entregarse dos juegos electrónicos y dos pelotas.

7. Sí x1, x2, x3,...,x100 son variables aleatorias que representan los tamaños reales de 100 trozos de tela de 50 centímetros seleccionados al azar y la varianza de éstas es de 1 centímetro, calcula [pic].

8. Una persona llena un formato de solicitud de empleo en ocho minutos con desviación estándar de 2.5 minutos. Si llegan a las oficinas 40 personas para llenar la solicitud de empleo, calcula la probabilidad de que tarden por lo mucho siete horas en llenar las solicitudes.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

UNIDAD 10

INFERENCIA ESTADÍSTICA.

EJEMPLOS.

1. (Prueba de hipótesis para proporciones de muestras grandes). El ingreso en cierta universidad requiere de la aprobación de un examen de admisión, en el ciclo escolar pasado el 70% de los que aspiraron a ser aceptados lo logró. Una prueba aleatoria en 200 aspirantes que solicitaron cierta carrera en particular para este ciclo escolar indica que 156 aprobaron el examen de admisión. ¿Significa esto que la verdadera proporción en esta carrera difiere de la proporción obtenida el ciclo escolar anterior? Realice la prueba de las hipótesis necesarias con [pic].

2. (Prueba de hipótesis para las varianzas de poblaciones normales de muestras pequeñas). Un juguetero produce ciertos carritos de fricción cuyo recorrido está distribuido normalmente con una varianza de 1.5 m. si en una muestra aleatoria de 8 carritos se obtiene una desviación estándar de 1.9 m, comprueba la hipótesis de que [pic] con un nivel de significancia de 0.05.

3. (Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de población aproximadamente normales). Una empresa productora de cables para tracción tiene dos tipos de ellos que designaremos como cable A y cable B.

Un vendedor de esta empresa, al tratar con un cliente afirma que la resistencia a la tracción promedio del cable A excede a la resistencia a la tracción promedio del cable B en al menos 12 kilogramos.

El departamento de control de calidad del cliente solicita una muestra de cada tipo de cable de 50 piezas para probarlo y así decidir la compra, los resultados obtenidos de estas muestras son:

El cable A tiene una resistencia a la tracción promedio de 86.7 kilogramos con una desviación estándar de 6.28 kilogramos.

El cable B tiene una resistencia promedio a la tracción de 77.8 kilogramos con una desviación estándar de 5.61 kilogramos.

Conforme a estos resultados, ¿se puede aceptar la afirmación del vendedor con un nivel de significancia de 0.05?.

4. (Prueba de hipótesis para la media de población aproximadamente normales). Consideremos X una variables aleatoria distribuida normalmente que tiene una varianza de 10 y media muestral de 12.5. se toma una muestra de ella de tamaño 16 y se establecen las hipótesis:

[pic]

Efectúa una prueba de hipótesis con un nivel de significancia del 2%.

5. (Tipos de errores en las pruebas de hipótesis).

a. Una ama de casa decide hacer pays para venderlos. El peso de ellos es de aproximadamente 250 gramos. Si el peso del próximo pay lo representamos con la variables aleatoria X, podríamos plantear la siguientes hipótesis:

[pic]

Supongamos ahora que rechazamos la hipótesis [pic], en caso de que sea verdadera, habremos cometido un error de tipo I, de lo contrario acertaremos.

Si aceptamos la misma hipótesis y después de verificar el peso del pay resulta ser falsa, estaremos cometiendo un error tipo II.

b. Consideremos X una variable aleatoria distribuida normalmente que tiene una varianza de 10 y una media muestral de 12.5. Se toma una muestra de ella de tamaño 16 y se establecen las hipótesis :

[pic]

Encuentra la probabilidad de cometer un error de tipo II.