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Problemas Resueltos (Permutaciones)

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: John0099 14 junio 2011

Palabras: 1453 | Páginas: 6

...

n sitio se debe asignar, pero este elimina 5 posibilidades, por lo tanto el número es 4!=24.

Para el caso en que dos personas se quieran sentar juntas, =2*3!=12 formas.

Hallar el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra cristal: 7P4=7*6*5*4=840

¿Cuántas contienen solo consonantes? 5P4=5!=120

¿Cuántas empiezan por vocal? Hay 2 vocales, así que para la primera letra hay 2 posibilidades y para las otras letras hay 6P3=6!/3!=120, por lo que hay 240 palabras que inician con vocal.

¿Cuántas tienen la letra i? Fijemos que hay 4 posibilidades donde haya una i, y para el resto quedan disponibles las 6P3=120 posibilidades, por lo tanto hay 480 palabras con i.

¿Cuántas empiezan con T y terminan con vocal? Tenemos para la primera 1 posibilidad y para el resto hay 5P2=20 *2 = 40 palabras

¿Cuántas comienzan con T y tienen S? hay 1 posibilidad para la T al inicio y 3 para la s, para las otras dos hay 5P2=20, por lo que existen 60 palabras.

¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes? 8!/4!2!2!=420 señales

Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de una palabra

barra: Tenemos 2 a’s, 2 r’s y una b, entonces tenemos que el total, sin considerar, las repeticiones, sería 5!, pero esto hay que dividirlo entre 2!*2!, por lo que habrán únicamente 30 palabras.

satélites: Tenemos 2 s’s, 2 t’s y si no consideramos la tilde en una e serían 2 e’s entonces sería 9!/(2!*2!*2!)=45,360

proposición: de nuevo 2 p’s, 3 o’s, 2 i’s, entonces tendríamos 11!/(2!*2!*3!)=1,633,200

Impropio: 2 p’s, 2 i’s, 2 o’s, entonces: 8!/(2!*2!*2!)=5040

Hallar el número de maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila, si los hombres y las mujeres deben quedar alternados: Serían 4*4*3*3*2*2*1*1 (pero esto sería si comenzamos con una mujer, ahora esto se duplica, pues el primero puede ser un hombre) = 1,152 maneras

¿Qué sucede si un niño y una niña determinados deben quedar siempre juntos? Tenemos entonces 1*7*3*3*2*2*1*1*(2) el 2 en paréntesis se refiere a que puede ser uno o el otro caso el que se siente primero, entonces hay: 504 maneras de sentarlos.

¿Y la forma en que pueden quedar separados? 1152-504=648

Resolver el problema anterior si se sientan alrededor de una mesa circular: (1*4*3*3*2*2*1*1)=144

(1*1*3*3*2*2*1*1)*2= 72

144-72=72

Una urna contiene 10 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas

De tamaño 3 con sustitución: 10^3=1,000

De tamaño 3 sin sustitución: 10P3= 720

De tamaño 4 con sustitución: 10^4=10,000

De tamaño 5 sin sustitución: 10P5= 30,240

Hallar el número de maneras cómo se pueden colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntos: La forma en que se pueden colocar los libros grandes es de 5!, la de medianos es de 4! y la de pequeños 3!, Entonces tenemos que y estos grupos se pueden colocar de 3! maneras, entonces: 3!*(5!*4!*3!)=103,680.

Considérense los enteros positivos de 3 dígitos diferentes (0 no puede ser el primer dígito): 9*9*8=648 números enteros

¿Mayores que 700? 3*9*8=216

¿Cuántos son impares? Posibilidades: PPI, PII, IPI, III, de donde:

4*4*5+4*5*4+5*5*4+5*4*3=320

¿Cuántos son pares? 648-320=328

¿Cuántos son divisibles entre 5? Hay que considerar los que terminan en 5 y en 0, entonces: 8*8*1+9*8*1=136 son divisibles entre 5.

Hallar las permutaciones diferentes posibles de la palabra CAMARA = 6!/3!= 120

¿Cuántas inician y terminan con A? Con dos A’s fijas, tenemos en medio 4 letras a colocar (TODAS DISTINTAS) Por lo tanto hay 4!=24 palabras

¿Cuántas tienen 3 A’s juntas? si juntamos las 3 A’s como una sola letra tendríamos 4! palabras, es decir 24 palabras.

¿Cuántas empiezan con A y terminan con M? Tenemos que quedarían 4 letras adentro que se pueden permutar con 2 iguales (4!/2!) por lo que hay (4!/2!)= 12 palabras

Coeficientes del Binomio

Calcule:

5C2=(4*5)/(1*2)=10

7C3=(5*6*7)/(1*2*3)= 35

14C2=(13*14)/(1*2)= 91

6C4=(3*4*5*6)/(1*2*3*4)= 15

20C17=(18*19*20)/(1*2*3)=20!/(3!*17!) = 1,140

18C15= (16*17*18)/(1*2*3)= 816

Calcular

9!/(3!*5!*1!)= 504

7!/(3!*2!*2!)= 210

6!/(2!*2!)= 180

Desarrollar y simplificar

(2x+y2)3, sea a= 2x, y2=b Þ (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, por lo tanto (2x+y2)3=8x3+12x2y2+6xy4+y6.

(x2-3y)4, de la misma manera (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4, de donde: (x2-3y)4=x8-12x6y+54x4y2-108x2y3+81y4

1/32(a+4b)5=1/32(a5+20a4b+160a3b2+640a2b3+1280ab4+1024b5)= 1/32a5+5/8a4b+5a3b2+20a2b3+40ab4+32b5

(2a2-b)6=64a12-192a10b+240a8b2-160a6b3+60a4b4-12a2b5+b6

Comprobar que nC0+nC1+…+nCn=2n, simplemente se toma a=b=1 en el binomio de Newton y queda demostrado.

Comprobar que nC0-nC1+nC2-...+nCn=0 tomando a=1 y b=-1 en el binomio de Newton queda mostrado.

Hallar el término del desarrollo de (2x2-½y3)8 que contiene x8, de acuerdo con el binomio de newton, esto es cuando r=4, entonces tenemos que sería: 8C4*(2x2)4(1/2y3)4=70x8y12

Hallar el término del desarrollo de (3xy2-z2)7 que contiene a y6, necesariamente r=3 n-r=4, por lo tanto sería: 7C3(3xy2)3(z2)4=945x3y6z8.

Combinaciones

Una clase consta de 9 niños y 3 niñas

¿De cuántas maneras se puede escoger a un comité de 4? 12C4=495

¿Cuántos tendrán una niña por lo menos? De todos los grupos restemos el que tiene solo niños sería 495-9C4=369

¿Cuántos tendrán una sola niña? (9C3)(3C1)=252

Una señora tiene 11 amigos de confianza

¿De cuántas maneras se pueden invitar a 5 de ellos a comer? 11C5=462 formas

¿De cuántas maneras se pueden invitar si dos son casados y no asisten solos? Tomemos a la pareja como a una persona e invitemos tan solo 4 personas 10C4=210 maneras

¿De cuántas maneras se podría si dos no van juntos? Las opciones para que no vayan los dos son 9C5 y en las que vaya solo uno es 2*(9C4), en total hay 378 formas para invitarlos.

Hay 10 puntos, A, B, C, ... en un plano; en una misma línea no hay tres

¿Cuántas líneas forman los puntos? 10C2=45 líneas

¿Cuántos triángulos determinan los puntos?

¿Cuántos triángulos forman con los puntos A, B?

Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen

¿Cuántas formas hay de escoger? 286

¿Si la primera es obligatoria? 220

¿Cuántas si una de las dos primeras es obligatoria? 2*(11C9)=110

¿Cuántas si hay que contestar 3 de las primeras 5? (5C3)(8C7)+(5C4)(8C6)+(5C5)(8C5)=80+140+56=276

Particiones Ordenadas y Desordenadas

¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños? 9!/(3!*3!*3!)=1680

¿De cuántas maneras pueden dividirse 9 estudiantes por igual en 3 equipos? 9!/(3!*3!*3!)*(1/3!)=280

¿De Cuántas maneras pueden dividir 10 estuantes en 3 equipos uno de 4 y los otros de 3? 10!/(3!*4!*3!)*(1/2!)=2100

¿De cuántas maneras se puede repartir un club de 12 miembros en 3 comités de 5,4,3 miembros? 12!/(5!*4!*3!)=27,720

¿De cuántas maneras se pueden repartir n estudiantes en dos equipos que contengan un estudiante por lo menos? 2n-1-1

¿De cuánas maneras se pueden repartir 14 hombres en 6 comités en los que dos sean de 3 y los otros de 2? 14!/((3!)2(2!)4)*1/(2!*4!)=3,153,150