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Proporcionalidad - Calculo Mercantil

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: Sandra75 27 marzo 2011

Palabras: 3703 | Páginas: 15

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emorial. La aritmética comercial estaba bien desarrollada para el 1500 a.C., y parece ser que la matemática financiera se desarrolló como un complemento a las transacciones comerciales. Sin embargo, no se conoce cuándo y quién introduce los conceptos fundamentales en los que se basa. Por ejemplo, del concepto de interés simplemente sabemos que surgió cuando una persona se dio cuenta que si alguien le debía dinero, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.

La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que le permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rápida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo.

En la actualidad, el uso de las Matemáticas Financieras es de vital importancia en el mundo de las entidades, ya sean públicas o privadas.

Cualquier tipo de transacción se hace sobre la base de comparaciones de intereses, capitales, tasas, tiempos, montos, saldos. debido a que a través de eso se toman las decisiones más trascendentales a la hora de realizar el manejo de los recursos financieros, máxime si estos son del Erario Público.

La Matemática Financiera ha demostrado ser una disciplina fundamental en el mundo de la empresa y la banca. Como consecuencia de ello, ocupa un lugar preeminente en los planes de estudios de las facultades de Ciencias Económicas y Empresariales, situándose dentro de las materias troncales y obligatorias. Además de la tradicional aplicación en el campo de los seguros, se ha constatado la importancia de la Matemática Financiera en la Contabilidad en lo referente a la valoración de activos y pasivos.

La matemática financiera es una herramienta fundamental para la comprensión de ciertos problemas financieros comerciales, ayudando a desarrollar las decisiones de los negocios y a tomar decisiones importantes en el campo financiero, por tanto los egresados de muchos campos tendrán que tener elementos básicos de matemática financiera.

Proporcionalidad

Magnitud

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.

La longitud del lado un cuadrado.

La capacidad de una botella de agua.

El número de goles marcados en un partido.

El número de goles marcados por el equipo A.

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.

Diferencia entre razón y fracción

La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es:

No hay que confundir razón con fracción.

Si es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón los números a y b pueden ser decimales.

Proporción

Definición de proporción

Proporción es una igualdad entre dos razones.

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades.

Ejemplo

La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 de mantequilla y 150 de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.

Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que

Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.

La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece añosaproximadamente.

La relación «Ser proporcional a» es

* reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)

* simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y

* transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)

por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).

La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Una proporción está formada por dos razones iguales:

a : b = c : d

Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .

Proporción múltiple:

Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:

a : b = c : d = e : f

Y se puede expresar como una proporción múltiple:

a : c : e = b : d : f

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)

2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o

3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).

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Segundo ejemplo [editar]

Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?

Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que lasuperficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por (la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es | | metros cuadrados. |

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

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Tercer ejemplo [editar]

Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?

Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividira por dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:

cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será , es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.

una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:

número de canicas precio

2 canicas 50 centavos

4 canicas 1 peso

6 canicas 1,50 pesos

Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número

Ejemplo:

Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?

Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos de la tabla, hallamos la razón

elaboramos una tabla de proporcionalidad:

Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)

Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)

Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de gasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.

Constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones

En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.

Cuarto, medio y tercero proporcional

Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los términos de una proporción.

Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

Medio proporcional

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Tercero proporcional

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde más.

A menos corresponde menos.

Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.

Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50 céntimos.

Es decir:

A más kilógramos de tomate más euros.

A menos kilógramos de tomate menos euros.

También son directamente proporcionales:

El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado.

El volumen de un cuerpo y su peso.

La longitud de los lados de un polígono y su área.

Aplicaciones de la proporcionalidad directa

* Regla de tres simple y directa

* Repartos directamente proporcionales

* Porcentajes

Regla de tres simple y directa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más más.

A menos menos.

Ejemplos

Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 km 3 h

x km 2 h

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €

Repartos directamente proporcionales

Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo

Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.

1º El reparto proporcional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibirá:

Porcentajes

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Ejemplos de porcentajes

Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

5000 € 250 €

100 € x €

El 5%.

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

100 € 7.5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €

También se puede calcular directamente del siguiente modo:

100 € 92.5 €

8800 € x €

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 € 116 €

1200 € x €

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde menos.

A menos corresponde más.

Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:

A más velocidad corresponde menos tiempo.

A menos velocidad corresponde más tiempo.

Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

Aplicaciones de la proporcionalidad inversa

* Regla de tres simple inversa

* Repartos inversamente proporcionales

Regla de tres simple inversa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más menos.

A menos más.

Ejemplo

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

18 l/min 14 h

7 l/min x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

Repartos inversamente proporcionales

Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.

Ejemplo

Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

1º Tomamos los inversos:

2º Ponemos a común denominador:

3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.

Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

Regla de tres compuesta directa

Ejemplo

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

A más grifos, más euros Directa.

A más horas, más euros Directa.

9 grifos 10 horas 20 €

15 grifos 12 horas x €

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

A más obreros, menos días Inversa.

A más horas, menos días Inversa.

A más metros, más días Directa.

8 obreros 9 días 6 horas 30 m

10 obreros x días 8 horas 50 m

A menos obreros, más días Inversa.

A más horas, menos días Inversa.

5 obreros 6 horas 2 días

4 obreros 7 horas x días

Interés simple

Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.

Concepto | Nombre | Símbolo |

Cantidad prestada | Capital | C |

Tiempo del préstamo | Tiempo | t |

Un beneficio por 100 € en un año | Rédito | r |

Beneficio del préstamo | Interés | I |

Si él es el tiempo viene expresado en meses:

Si el tiempo viene expresado en días:

Ejemplos

Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.

Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.

¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

Resumen

Magnitud

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

Proporción

Proporción es una igualdad entre dos razones.

En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.

Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los términos de una proporción.

Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

Medio proporcional

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Tercero proporcional

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Regla de tres simple y directa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

Repartos directamente proporcionales

Consiste en dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Porcentajes

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.

Regla de tres simple inversa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

Repartos inversamente proporcionales

Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.

Proporcionalidad compuesta

Una magnitud se relaciona proporcionalmente con otras, ya sea de modo directo o inverso.

Regla de tres compuesta

Se emplea para resolver problemas de proporcionalidad compuesta.

Interés

Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.

Concepto | Nombre | Símbolo |

Cantidad prestada | Capital | C |

Tiempo del préstamo | Tiempo | t |

Un beneficio por 100 € en un año | Rédito | r |

Beneficio del préstamo | Interés | I |

Si él es el tiempo viene expresado en meses:

Si el tiempo viene expresado en días: