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Sistema Masa Resorte

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Categoría: Ciencia

Enviado por: Albert 19 abril 2011

Palabras: 3865 | Páginas: 16

...

a un exponente “n”, 0 Xeq

Una fuerza de estas características se llama fuerza restauradora. (Un ejemplo es la fuerza ejercida por un resorte, que es proporcional a la deformación del resorte).

En la figura 2 se utiliza en un instante determinado lo que se observa en una simulación: (A) sin masa acoplada y el resorte con su longitud original, (B) con masa acoplada en equilibrio y (C) con una masa acoplada fuera del equilibrio.

Fig. 2

En la figura 3 se representan las figuras de las fuerzas que actúan sobre la masa acoplada en equilibrio. Se ha despreciado el peso y la masa del resorte. El vector “F” representa la fuerza elástica y el vector “W” representa la fuerza de gravedad (peso de la masa acoplada al resorte).

[pic]

Fig. 3

Aplicando la primera ley de Newton,

[pic]

Donde la fuerza Hookeana es, [pic].

Cuando la masa oscila, es decir la situación de no equilibrio (Figura 4), la masa está acelerada, por lo que hay una fuerza neta no nula. El vector “FN“ representa la fuerza neta.

[pic]

Fig. 4

Aplicando la segunda ley de Newton,

es decir la fuerza neta es recuperadora y proporcional a la elongación ([pic]). Por tanto, la oscilación de la masa que está acoplada a un resorte ideal (de masa despreciable), es armónica. Además la constante del M.A.S es la constante elástica del resorte.

En forma de ecuación diferencial, se tiene,

[pic]

[pic]

que es la ecuación diferencial del oscilador armónico, donde,

[pic]

Donde [pic]es la frecuencia angular propia del oscilador. La frecuencia y el periodo propios de este sistema son:

[pic] [pic]

Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia con que oscila, o lo que es lo mismo, más se demora en hacer una oscilación completa.

Aplicaciones del Sistema masa resorte:

• A los fabricantes de automóviles, les servirá instalar un sistema masa resorte en vehículos que amortiguara los impactos en una colisión o choque vehicular.

• En la fabricación de camas, se podría utilizar un sistema masa resorte, el proporcionara confortabilidad y tranquilidad a las personas considerando que partes del cuerpo necesitan mas estímulos para aplicar mayor o menor fuerza deformante.

• La fabricación de robots y brazos mecánicos, para simular las distorsiones del cuerpo humano se podría aplicar en un sistema masa resorte el cual necesariamente regresaría a su forma y estado original así como el cuerpo humano lo hace.

Ajuste de curvas.

Uno de los objetivos de en el análisis de resultados es la de llegar a establecer una relación cuantitativa entre dos o mas variables y mediante esta relación poder efectuar predicciones. Por lo general la relación consiste en una ecuación que expresa como la variable dependiente (cuyo valor se desea predecir) es afectada por una o mas variables independientes.

Análisis de regresión.

Uno de los propósitos principales de la curva de ajuste es estimar una de las variables a partir de la otra. El proceso de estimación se conoce como regresión. Si Y se va estimar a partir de X por medio de alguna ecuación la llamamos ecuación de regresión de Y sobre X y a la curva correspondiente curva de regresión de Y sobre X.

Método de mínimos cuadrados.

Generalmente mas de una curva de un tipo de dato parece ajustarse a un conjunto de datos. Para evitar el juicio individual en la construcción de rectas, parábolas u otras curvas de aproximación, es necesario obtener una definición de la “mejor curva de ajuste”, “mejor parábola de ajuste”, etc.

HIPÓTESIS

El periodo es directamente proporcional a la masa elevada a un exponente, T = KMn.

VARIABLES:

- Independiente: M, masa.

- Dependiente: T, periodo de oscilación.

Parámetros constantes:

- K, Constante de proporcionalidad de resorte.

- n = ½, Exponente al que se eleva la masa.

- Masa del resorte constante.

- Distancia para efectuar la oscilación constante.

Región en que interesan los resultados:

- Partimos desde 150g a 600g para la masa, el tiempo dependerá del comportamiento del sistema.

Aproximaciones a introducir:

- Despreciar los efectos de fricción del aire.

- Despreciar la masa del resorte.

Precisión requerida en los resultados:

- Centésimas de segundo para el tiempo.

- Décimas de gramo para la masa.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL APLICADO

MATERIAL Y EQUIPO:

Sistema masa resorte.

- Soporte universal.

- Un sistema de pesas.

- Un cronometro.

- Una balanza.

- Un resorte.

- Una base para acoplar la masa.

Figuras del material y equipo

Soporte Universal Sistema de pesas Cronometro

[pic]

Balanza Resorte

Acoplamiento:

Se colocan todas las piezas en su lugar, dejándolas bien fijas, verificando que cumplan con las especificaciones del experimento.

Pasos para realizar el experimento:

a) Primero se revisa y adapta el Sistema masa-resorte, calibrar la bascula y pesar el soporte.

b) Pesar las masas a utilizar para conocer la masa correcta incluyendo el soporte en donde se colocara las demás masas.

c) Colocar en el soporte el primer grupo de masas de tal forma que tengan un valor aproximado de 150g. ó 151.09g.

d) Hacer descender la masa ó alejarla de su punto de equilibrio hacia abajo aproximadamente 3 mm, para luego soltarlo y dejarlo oscilar libremente.

e) Una vez estabilizado el sistema, poner a correr el cronometro y detenerlo al haber completado 10 oscilaciones, (una oscilación será el recorrido desde el punto superior, pasando por su punto inferior y volviendo al punto superior).

f) Anotar el tiempo obtenido en las diez oscilaciones, en una tabla de datos.

g) Repetir el paso d), e) y f) 3 beses para sacar un promedio de tiempo.

h) Repetir los pasos desde el b) aumentando 50g. aproximadamente en cada cambio de masa, hasta el paso g), por 10 beses.

RESULTADOS

Con la realización de nuestro experimento se obtuvo la siguiente información referente al sistema masa-resorte.

Tabla de datos:

|M(g) |149.06 |199.04 |249.05 |299.00 |347.05 |397.02 |

|149,06 |0,55 |2,17336 |-0,25964 |-0,56429 |4,7235 |0.51 |

|199,04 |0,54 |2,29894 |-0,26761 |-0,615210 |5,28513 |0.58 |

|249,05 |0,66 |2,39629 |-0,18046 |-0,432420 |5,74219 |0.65 |

|299,00 |0,72 |2,47567 |-0,14267 |-0,353200 |6,12895 |0.71 |

|347,05 |0,77 |2,54039 |-0,11351 |-0,288360 |6,45359 |0.76 |

|397,02 |0,83 |2,59881 |-0,08092 |-0,210300 |6,75383 |0.81 |

|447,04 |0,87 |2,65035 |-0,06048 |-0,160290 |7,02434 |0.86 |

|497,01 |0,92 |2,69637 |-0,03621 |-0,097640 |7,27038 |0.91 |

|546,06 |0,97 |2,73724 |-0,01323 |-0,036210 |7,49248 |0.95 |

|596,04 |1,01 |2,77528 |0,00432 |0,011990 |7,70215 |0.99 |

| -- |∑ = |25.34269 |-1.15040 |-2.74593 |64.57654 | |

Sustituyendo en las ecuaciones normales se tiene:

-1.15040 = 10Loga + 25.34269b

-2.74593 = 25,34269Loga + 64.57654b

Resolviendo las ecuaciones se tiene:

b = 0.48241018 ≈ 0.48

Log a = -1.337597 de esto, a = 0.04596 ≈ 0.046

Sustituyendo la ecuación de regresión es:

Log T = -1.337597 + 0.48 Log m

De acuerdo a esto se puede escribir T = 0.046m0.48, equivalente a la ecuación de regresión que ajusta la curva de los datos obtenidos experimentalmente.

Para obtener los valores teóricos de T (Tc), se utiliza esta ultima expresión y estos se representan en la ultima columna del cuadro anterior:

Ejemplo: T = 0.046(149.06)0.48 = 0.5081 ≈ 0.51

El porcentaje de error del exponente “b” con respecto al valor verdadero 0.5 se obtiene con el siguiente cálculo. Porcentaje de error = |Vv-Vexp| * 100

Vv

Porcentaje de error = 0.5 - 0.48 * 100 = 4%

0.5

De esta forma se han encontrado analíticamente los valores de las constantes que relacionan el periodo con la masa en un Sistema Masa-resorte.

CONCLUSION

La hipótesis planteada sobre el Sistema masa-resorte, propone que el periodo es directamente proporcional a la masa elevada a un exponente, T = KMn., con los datos obtenidos experimentalmente se encontraron los parámetros constantes con los que se formulo la ecuación que relaciona directamente al periodo y la masa en el sistema masa-resorte.

Se comprueba analíticamente que al aumentar la masa el periodo también aumenta y viceversa al disminuir la masa el periodo disminuye estableciendo una relación directa entre la variable dependiente y la independiente.

Cuando se trabaja con un sistema de masa-resorte, generalmente se desprecia la masa del resorte, debido a que sus proporciones no son tan preponderantes para el sistema, en el caso de que si lo sea, es necesario adecuar las fórmulas del movimiento, también se desprecia los efectos de fricción del aire.

En conclusión la hipótesis planteada se acepta como verdadera ya que los datos obtenidos por medio del modelo matemático T = 0.046m0.48 reflejan la veracidad de la hipótesis, en donde se comprueba la relación directamente proporcional entre el periodo y la masa suspendida de un resorte.

ANEXOS

Resolución de ecuaciones normales.

La hipótesis de relación entre el periodo y la masa en un sistema masa resorte, enuncia que el l periodo es directamente proporcional a la masa elevada a un exponente,

Tc = amb.

Donde;

m = variable independiente.

n = Valor constante, exponte al que hay que elevar la masa.

a = Valor constante de proporcionalidad del resorte.

Para encontrar los valores constantes n y b fue necesario realizar una serie de cálculos matemáticos, denominados análisis de regresión por método de mínimos cuadrados. detallados a continuación:

Al aplicar logaritmo natural a ambos lados de la ecuación se tiene,

Log Tc = Log a + b Log m

De lo anterior se obtienen las ecuaciones normales siguientes:

∑Log T = n Log a + b ∑Log m (1)

∑ Log mLog T = Log a∑ Log m + b ∑(Log m )2 (2)

Sustituyendo con los valores de la tabla de datos que se vio anteriormente queda,

-1.15040 = 10Loga + 25.34269b (1)

-2.74593 = 25.34269Loga + 64.57654b (2)

Se procede a encontrar el valor de b eliminando a, para ello se multiplica el factor de la ecuación uno por la ecuación dos con signo cambiado y el factor de la ecuación dos se multiplica por la ecuación uno, de esta forma se igualan los valores de a con signo diferente por lo que se pueden eliminar,

(25.34269) (-1.15040) = (10Loga + 25.34269b) (25.34269)

(-10) (-2.74593) = (25.34269Loga + 64.57654b) (-10)

Resolviendo se obtiene,

-29.15423058 = 253.4269 Log a + 642,2519364 b

27.4593 = - 253.4269 Log a - 645,7654 b

-1.694930576 = 0 -3.513463564 b

Despejando b,

-1.694930576 = b

-3.513463564

Efectuando la operación indicada, se encuentra el valor de b.

b = 0,48241018 ≈ 0.48

Para encontrar el valor de a sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones normales, en este caso se utiliza la primera ecuación.

∑Log T = n Log a + b ∑Log m (1)

n = Numero de beses que se repitió el experimento, en este caso re realizo en 10 oraciones,

Sustituyendo por los valores ya conocidos,

-1.15040 = 10 Log a + 0.48 (25.34269)

Resolviendo se tiene,

-1.15040 = 10 Log a + 12.22557154

Despejando a, primero se dejan solo los factores de a,

-1.15040 – 12.22557154 = 10 Log a

-13.37597 = 10 Log a

-13.37597 = Log a

10

Efectuando la operación indicada,

-1.337597 = Log a

Aplicando antilogaritmo al valor de a,

a = f -1 -1.337597

a = 0.04596 ≈ 0.046

Con los datos obtenidos sustituyendo en Tc = amb, se tiene,

Tc = 0.046m0.48 ,

lo cual es la ecuación de regresión que se utiliza para ajustar los datos a la curva, de esta forma se corrige el periodo de los errores producidos en la medición de la variables y en la realización del experimento.

BIBLIOGRAFÍA Y FUENTES CONSULTADAS

Libros:

1- RESHNICK, HALLIDA, KRANE. Física volumen1.

Cuarta edición.

2- DOUGLAS GIANCOLI. Física principios con aplicaciones.

Cuarta edición.

3- SEARS, SEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. Física universitaria tomo 1.

Décimo primera edición.

Paginas Web:

1- www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm

2- www.es.wikipedia.org/wiki/peso.htm

3- www.iteso.mx/~jorgeaguilar/oscilaciones.htm

4- www.dliengineering.com/vibman-spanish/movimientoarmonicosencillo.htm

5- http://www.unalmed.edu.com/fisica/paginas/recurosweb/

[pic]

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