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Sucesiones Y Series Matematicas

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Categoría: Ciencia

Enviado por: tomas 14 mayo 2011

Palabras: 2725 | Páginas: 11

...

permite conocer perfectamente u:

Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.

Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo]2; 3[, y como u2 < u3, u2 es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en]6; 7[da dos máximos relativos de u porque u6 = u7.

La definición es implícita cuando un no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.

Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n·un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.

Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los factoriales.

6.2 Limite de una Sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una secuencia que converge hacia un punto llamado límite.

En forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

(Como por ejemplo, una sucesión de números racionales, números reales, números complejos, puntos en un espacio normado, etc.):

Si {draw:frame} se dice que L es el límite de la sucesión y se escribe

{draw:frame}

{draw:frame}

Si {draw:frame} se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe

{draw:frame}

Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite finito.

Sucesiones divergentes

Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞).

Sucesiones oscilantes

No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7,...

Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos.

La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,... de números reales converge al límite 0.

La sucesión 1, -1, 1, -1, 1,... es oscilante.

La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1. Este es un ejemplo de una serie infinita.

Si a es un número real con valor absoluto |_a_| < 1, entonces la sucesión an posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/_n_ posee límite 1.

También:

{draw:frame}

{draw:frame}

{draw:frame}

{draw:frame}

6.3 Sucesiones monótonas y acotadas

SUCESIONES MONOTONAS.

Definición. Una sucesión se dice que es:

{draw:frame}

{draw:frame}

EJEMPLOS:

Identificar si la siguiente secuencia es creciente, decreciente o no monótona.

{draw:frame}

{draw:frame} Tenemos que:

{draw:frame}

Luego:

Observando a los elementos de la sucesión, creemos que crece, así que:

{draw:frame}

{draw:frame}

La inecuación corrobora el crecimiento de la sucesión, por lo tanto la sucesión es creciente (Monótona).

SUCESIONES ACOTADAS.

Definición. Se dice que una sucesión es acotada si y sólo si tiene una cota superior y una cota inferior.

{draw:frame} EJEMPLOS.

Como se puede observar, la sucesión crece por lo tanto la cota inferior es {draw:frame} .

La cota superior la podemos determinar aplicando el límite cuando n tiende a infinito a {draw:frame} .

{draw:frame}

{draw:frame}

Entonces;

{draw:frame} TEOREMA;

TEOREMA;

6.4 Definición de serie infinita

Las series infinitas, cuyos términos son positivos, tienen propiedades especiales.

En particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. Si la sucesión es monótona y acotada. Como el acotamiento y la convergencia de u na sucesión monótona son propiedades equivalentes, entonces, la series es convergente. De este modo, se tiene el teorema siguiente.

Teorema

Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.

En sí mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación se puede utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye la base para casi todas las demás pruebas).

Un tipo de series infinitas que constan de términos positivos y negativos es el de las series alternantes, cuyos términos son, alternadamente, positivos y negativos.

Definición de serie alternante

Si {draw:frame} para todos los números enteros positivos n, entonces la serie

{draw:frame}

y la serie

{draw:frame}

Se denominan series alternantes.

Ejemplo:

Un ejemplo de serie alternante de la forma de la primera ecuación , donde el primer termino es positivo, es

{draw:frame}

Una serie alternante de la segunda ecuación, donde el primer termino es negativo, es

{draw:frame}

{draw:frame} El teorema siguiente, denominado criterio de las series alternantes, establece que una serie alternante es convergente si los valores absolutos de sus términos decrecen y el límite del n-ésimo término es cero.

Definición:

Si {a(n)**} es una sucesión infinita, entonces a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+... **se llama serie infinita, o simplemente serie. Los números a(1), a(2), a(3), ...** se llaman términos de la serie.

6.5 Serie Aritmética y Geométrica

Una serie aritmética o progresión aritmética es una sucesión de números racionales en la que cada termino se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo.

Para indicar el término fijo que se va sumando suele usarse la letra d. Se expresan de la forma an que recibe el nombre de término. n es el índice, e indica la posición que ocupa en la sucesión.

Ejemplo:

d = 3

a1 = 5

a2 = a1 + d = 8

a3 = a2 + d = 11

a4 = a3 + d = 14

El término general es la fórmula que nos permite obtener cualquier término de la sucesión conociendo la posición que ocupa dicho término de la sucesión.

Si observamos el ejemplo anterior observamos que:

a3 = a2 + d = 11

Si sustituimos a2 por a2 = a1 + d = 8 obtenemos:

a3 = a1 + d + d = 11

O lo que es lo mismo:

a3 = a1 + d + d = 11

Si seguimos nos daremos cuenta que siempre se cumple:

an** = ak** + (n** − k**)d

Serie geométrica.

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

{draw:frame}

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente sólo si |_z_| < 1 a:

{draw:frame}

Una serie geométrica es una serie infinita en donde la razón entre términos consecutivos es constante. Esa razón constante tradicionalmente se identifica con r. El primer término de la serie tradicionalmente se identifica con a. Las constantes r y a pueden ser positivas o negativas. La fórmula de una serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:

{draw:frame}

EJEMPLO:

{draw:frame}

Considerar la serie:

{draw:frame} La razón entre términos consecutivos es siempre {draw:frame} :

{draw:frame}

Esta serie es geométrica, con r=

6.6 Propiedades de las series

La sumatoria tiene unas propiedades que se nombraran a continuación:

Para n entero positivo y c constante, se cumple

{text:list-item}

Para k entero positivo {draw:frame} conjunto de números reales y c constante real, se cumple

{text:list-item}

Para k entero positivo {draw:frame} conjunto de números reales y c constante real, se cumple

{text:list-item}

Para k entero positivo {draw:frame} conjunto de números reales y c constante real, se cumple

{text:list-item}

Estas propiedades se deducen de la las leyes asociativa y conmutativa de la adición.

6.7 Convergencia de series

Serie convergente:

{draw:frame} La serie dice convergente si la sucesión {S n} de sus sumas parciales es convergente, en tal caso que el límite de S de la sucesión {Sn} dice la suma de la serie {draw:frame} .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si {draw:frame} no existe o si tiende a infinito; converge si {draw:frame} para algún {draw:frame} .

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( {draw:frame} u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

Si una serie {draw:frame} es convergente, entonces {draw:frame} .

El recíproco no es cierto. El contra recíproco es:

Si {draw:frame} entonces {draw:frame} es divergente.

Para una serie infinita, la n-ésima suma parcial viene dada por S(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n).

Llamaremos a S suma de la serie, y escribiremos a_(1)+a(2)+a(3)+...=S_.

Si {_S(n)_} diverge, diremos que la serie es divergente.

6.8 Series de potencia

Definición:

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

{draw:frame}

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:

{draw:frame}

En el cual el centro es a, y los coeficientes cn son constantes.

Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma

{draw:frame}

EJEMPLOS:

La serie geométrica {draw:frame} es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1

La serie de potencias {draw:frame} es absolutamente convergente para todo {draw:frame}

La serie de potencias {draw:frame} solamente converge para x = 0

Son series de la forma S an (x - x0)n; loss números reales a0, a1, .... , an,... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros.

Una serie es convergente si la sucesión de las sumas parciales lo es. En este caso, el límite se llama "suma de la serie".

{draw:frame} ; {draw:frame}

Una condición necesaria (pero no suficiente) para que {draw:frame} sea convergente es que la sucesión de los términos de la serie, { an },tenga límite 0.

Entonces, si {draw:frame} es divergente.

Diremos que una serie es absolutamente convergente si {draw:frame} converge.

6.9 Derivación de las series de potencia

Derivación e integración término a término de una serie de potencias real

Sea la serie de potencias {draw:frame} , {draw:frame} con radio de convergencia {draw:frame} .

Entonces

{draw:frame} es continua en {draw:frame}

La serie se puede integrar término a término y la serie resultante tiene el mismo radio de convergencia, o sea, se cumple que

{draw:frame}

La serie se puede derivar término a término y la serie resultante tiene el mismo radio de convergencia, o sea, se cumple que {draw:frame}

Derivar una serie de potencias resulta realmente sencillo. Si partimos de la idea de que tenemos un polinomio,

Entonces:

{draw:frame}

6.10 Representación de una función en serie de potencia

Series de potencias geométricas.

Consideremos la función {draw:frame} {draw:frame} Su forma recuerda mucho la suma de una serie geométrica.

{draw:frame} {draw:frame}

{draw:frame} {draw:frame} En otras palabras, si hacemos a = 1 y r =x, una representación en forma de serie de potencias para {draw:frame} {draw:frame} centrada en 0, es

= 1 + x + x2 +x3 + {draw:frame} {draw:frame}