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Tablas De Verdad

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: Jerry 22 junio 2011

Palabras: 2040 | Páginas: 9

...

es las que se dan

en el ejemplo 1.

Son aquella proposiciones compuestas que se unen mediante símbolos llamados Conectivos.

OPERADORES LOGICOS

Los Operadores Lógicos son utilizados por la lógica proposicional para admitir o rechazar proposiciones. En programación de ordenadores se utilizan para combinar valores lógicos (Verdadero/Falso) y obtener nuevos valores lógicos que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.

· T : tautología

· ↑ : negación alternativa, incompatibilidad, no ambos, exclusión, "NAND"

· → : condicional, implicación (simple), "IMP"

· ~ : negación, "NOT"

· ← : implicación inversa

·  : bicondicional, implicación doble, equivalencia, "EQV", "XNOR"

· ↓ : negación conjunta, "NOR"

· : disyunción, "Ó", "OR"

·  : disyunción exclusiva, contravalencia, "XOR"

·  : negación del condicional inverso

·  : negación del condicional

·  : conjunción, "Y", "AND"

· F : contradicción

USO DE PARENTESIS

El uso de paréntesis es un símbolo que forma parte de la lógica secuencial, el uso de ellos es

lógico y no retórico, sin los paréntesis las fórmulas o expresiones lógicas pueden carecer de sentido.

VERDAD

En lógica, una proposición es toda aquella afirmación a la que se le puede asignar un grado de certeza. Al ser procesada por las facultades racionales, ejecutadas por las facultades físicas y puestas a prueba según al criterio de la persona, esta puede tomar un valor verdadero o falso (véase valor de verdad). Así podremos tener proposiciones certeramente falsas y/o certeramente verdaderas, dependiendo de las conclusiones a las cuales nos encaminen las facultades racionales de nuestra mente y/o las herramientas fabricadas para tal fin, tales como ordenadores, ábacos o cualquier otro instrumento afín al modelo lógico/racional aceptado.

VALOR DE VERDAD

Es una función que define una proposición. El valor de verdad puede ser Verdadero (V) o Falso (F).

TABLAS DE VALORES DE VERDAD

La tabla de valores de verdad, también conocida como tabla de verdad, es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los años 1880, siendo sin embargo más popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarrolló en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Se emplean en lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición molecular. O si un esquema de inferencia, como argumento, es formalmente válido mostrando que, efectivamente, es una tautología.

Las tablas de verdad nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:

FUNCIONES DE VERDAD

· Negación (¬),(~)

Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

A 

V F

F V

· Conjunción 

La proposición molecular será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.(Columna 8 de la tabla de funciones posibles)

A B 

V V V

V F F

F V F

F F F

· Disyunción 

La proposición molecular será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.(Columna 2 de la tabla de funciones posibles)

A B 

V V V

V F V

F V V

F F F

· Condicional (→)

La proposición molecular será verdadera cuando se cumpla si es verdadero A entonces lo es B. (Columna 5 de la tabla de funciones posibles)

A B 

V V V

V F F

F V V

F F V

· Bicondicional (↔, si y sólo si)

La proposición molecular será verdadera cuando ambas variables proposicionales tengan a la vez el mismo valor de verdad. (Columna 7 de la tabla de funciones posibles)

A B 

V V V

V F F

F V F

F F V

· Disyunción exclusiva 

La proposición molecular será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera, pero no las dos. (Columna 10 de la tabla de posibles valores)

A B 

V V F

V F V

F V V

F F F

CUANTIFICADORES

En Teoría de conjuntos, un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen tres tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos en la siguiente tabla:

· Cuantificador universal

Para todo x, y...

· Cuantificador existencial

Existe/n por lo menos un/os x, y...

· Cuantificador existencial único

Existe un único x, y...

· Negación del cuantificador existencial

No existe ningún x, y...

VERDAD INDETERMINADA O CONTINGENCIA

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A / (B / C).

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de B / C aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna B / C, (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa A / (B / C), cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

1 2 3 4 5

A B C B/C A/(B/C)

V V V V V

V V F V V

V F V V V

V F F F F

F V V V F

F V F V F

F F V V F

F F F F F

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición A/(B/C) es V y cuándo es F

CONTRADICCIÓN

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas con otras. Sea el caso: [(A/B)/¬(A/B)]/C

Procederemos de manera similar al caso anterior. Aplicamos (Columna 4) la definición de conjuntor a los valores de A y B.(columnas 1,2 → 4) Después aplicamos la definición de disyuntor a los valores de A y B. (columnas 1,2 → 5) Aplicamos en la columna siguiente (Columna 6) el negador a los valores de la columna anterior. Aplicamos el conjuntor a los valores de la columna (A/B)(Columna 4) con los de la columna ¬(A/B).(Columna 6) Por último (Columna 8) aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C (Columna 3) con la columna última (Columna 7)cuyo resultado nos da los valores de [(A/B)/¬(A/B)]/C, siempre falsos cualquiera que sea la fila que consideremos.

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C A/B A/B ¬(A/B) (A/B)/¬(A/B) [(A/B)/¬(A/B)]/C

V V V V V F F F

V V F V V F F F

V F V F V F F F

V F F F V F F F

F V V F V F F F

F V F F V F F F

F F V F F V F F

F F F F F V F F

TAUTOLOGÍAS

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: [(A→B)/(B→C)] →(A→C)

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:

A B C A→B B→C (A→B)/(B→C) (A→C) [(A→B)/(B→C)] →(A→C)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

PROPIEDADES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

Como ya se dijo, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

1. Ley de idempotencia

a) p Ù p Û p

b) p Ú p Û p

2. Ley conmutativa

a) p Ú q Û q Ú p

b) p Ù q Û q Ù p

c) p « q Û q « p

3. Ley Asociativa

a) (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r)

b) (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r)

4. Ley Distributiva

a) (p Ù q) Ú r Û (p Ú r) Ù (q Ú r)

b) (p Ú q) Ù r Û (p Ù r) Ú (q Ù r)

5. Ley de De Morgan

a) ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q

b) ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q

c) p Ú q Û ~(~p Ù ~q)

d) p Ù q Û ~(~p Ú ~q)

6. Leyes de la implicación

a) p ® q Û ~q ® ~p

b) p ® q Û ~(p Ù ~q)

c) p ® q Û ~p Ú q

d) p Ù (p ® q) Û p Ù q

7. Principio de contradicción

a) p Ù ~p Û F (falacia)

8. Principio de no contradicción

(Ley de medio excluido)

a) p Ú ~p Û V (verdad)

9. Negación de la negación o involución

a) ~~p Û p

10. Leyes de identidad

a) p Ú F Û p

b) p Ú V Û V

c) p Ù V Û p

d) p Ù F Û F

b y d se conocen también como leyes de dominación.

11. Equivalencia

a) p « q Û (p ® q) Ù (q ® p)

12. Ley de Exportación

a) (p Ù q) ® r Û p ® (q ® r)

13. Reducción al absurdo

a) p ® q Û (p Ù ~q) ® V

14. Ley de absorción

a) p Ú (p Ù q) Û p

b) p Ù (p Ú q) Û p

EJERCICIOS:

1. Demostrar que (p Ú q) Ù ~p = ~p Ù q

Para solucionar esta demostración se partirá de la expresión de la izquierda:

(p Ú q) Ù ~p

Aplicando la ley Distributiva

(p Ù ~p) Ú (q Ù ~p)

Ley de Contradicción

F Ú (q Ù ~p)

Ley de Identidad

(q Ù ~p)

Ley Conmutativa

~p Ù q

2. Demostrar que p ® (q ® r) = (p Ù ~r) ® ~q

Entonces:

p ® (q ® r)

Ley de Implicación

~p Ú (~q Ú r)

Ley Conmutativa

(~p Ú r) Ú ~q

Ley de De Morgan

~(p Ù ~r) Ú ~q

Ley de Implicación

(p Ù ~r) ® ~q

3. Demostrar que p « q = (p Ú ~q) Ù (q Ú ~p)

Entonces:

p « q

Ley de Equivalencia

(p Ú ~q) Ù (q Ú ~p)

Ley de Implicación

(~p Ú q ) Ù (~q Ú p)

Ley Conmutativa

(q Ú ~p) Ù (p Ú ~q)

Ley Conmutativa

(p Ú ~q) Ù (q Ú ~p)

4. Determine por las leyes proposicionales si la siguiente proposición es una tautología, una falacia o una indeterminación: (p Ù q) Ù ~(p Ù q).

Ley de De Morgan

(p Ù q) Ù (~p Ú ~q)

Ley Distributiva

(p Ù q Ù ~p) Ú (p Ù q Ù ~q)

Ley de Contradicción

(F Ù q) Ú (p Ù F)

Ley de Contradicción

F Ú F

De acuerdo a la tabla de la disyunción se tiene que la proposición sería falsa, por lo tanto es una falacia.