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Usos Y Aplicaciones De La Elipse

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: Rebecca 07 abril 2011

Palabras: 2835 | Páginas: 12

...

tos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Historia

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.[2]

Elementos de una elipse

Elementos de una elipse.

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».

El punto puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».

Puntos de una elipse

Si 'F1' y 'F2' son dos puntos del plano y D es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

Donde es el semieje mayor de la elipse.

la longitud del lado recto para el foco F´ es

Elipses con focos F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0

Eje mayor: Longitud 2a (a > 0)

Eje menor: Longitud 2b (b > 0) []

Excentricidad de una elipse

La excentricidad de una elipse es la razon entre su semidistancia focal (segmento F1D o F2D), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con (0 < e < 1)

Dado que , también vale la relación:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

Constante de la elipse

En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor».

En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco al punto (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco a ese mismo punto . (El segmento de color azul sumado al de color rojo).

El segmento correspondiente, tanto trazo (color azul), como al (color rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro . En la animación, el punto recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).

Ecuaciones de la elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definida por la ecuación:

La ecuación paramétrica de una elipse es:

con , y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.[4]

Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:

Veamos la siguiente que resume los resultados obtenidos hasta este momento.

Además podemos resumir todos estos resultados en el siguiente

TEOREMA1.

La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2.

También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es

, y la excentricidad e está dada por la fórmula e

NOTA: Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

Veamos algunos ejemplos.

Teoremas:

La ecuación de la elipse de centro el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje X está dada por la segunda forma ordinaria,

Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación está determinada por la segunda forma ordinaria

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la del eje menor, c es la distancia del centro a cada foco y a, b, c están ligados por la relación a2=b2+c2.

También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es y la excentricidad está dada por la relación

Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.

problemas

Ejemplos de la elipse

Dada la ecuación de la elipse: x2a2+y2b2=1 encuentra:

a) Las coordenadas del centro: C(0,0)

b) Las coordenadas de los focos: f(-2,0) y f(2,0)

c) Las coordenadas de los vértices: V(-4,0) y V(4,0)

d) La longitud del eje mayor: 2a=2(4)=8

e) La longitud del eje menor: 2b=2(3,4)=6.8

f) La longitud del lado recto: Lr=2b2a=2124=244=6

g) La excentricidad: e=ca= 24= 12=0.5

h) Las coordenadas de los extremos del eje mayor: (0,3.4) y (0,-3.4)

i) El dominio: [-4,4]

j) El rango: [-3.4,3.4]

Solución: x2a2+y2b2=1

a²= 16 | a= 4 |

b²= 12 | b= 3.4 |

Relación de la elipse

c2=a2-b2

c2=16-12

c²=4

Dada la ecuación de la elipsex2100+ y264=1 encuentra: x2a2+y2b2=1

a) Las coordenadas del centro: C(0,0)

b) Las coordenadas de los focos: f(-6,0) y f(6,0)

c) Las coordenadas de los vértices: V(10,0) y V(10,0)

d) La longitud del eje mayor: 2a=2(10)=20

e) La longitud del eje menor: 2b=2(8)=16

f) La longitud del lado recto: Lr=2b2a=2645=128

g) La excentricidad: e=ca= 610=0.6

h) Las coordenadas de los extremos del eje mayor: (-10,0) y (10,0)

i) El dominio: [-10,10]

j) El rango: [-8,8]

Solución: x2100+ y264=1

a²=100 | a=10 |

b²=64 | b=8 |

c2=a2-b2

c2=100-64

c2=36

c=6

Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

La elipse como cónica

La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.

la elipse como conica

La elipse como hipotrocoide

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.

En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

Construcción paramétrica de una elipse [

Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y, partiendo del extremo de los radios alineados, la intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.

Anamorfosis de un círculo en una elipse

Cierta trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde a una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego, y significa trasformar.

Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado. | Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y el X se ha dilatado. |

En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse, y los cuadrados en rectángulos.

La elipse en mecánica celeste

En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica ideal. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales. Esto está descrito en las leyes de Kepler.

APLICACIONES EN EL MUNDO REAL

Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.

Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.

Antenas para captar señales de comunicación e informática.

Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar algún deporte.

Herradura de caballo, sirven para que el caballo no se lastime las pezuñas.

Problemas sobre la s aplicaciones reales de la elipse

La Plaza de San Pedro en El Vaticano tiene una forma elíptica con unas medidas de 340 por 240 metros .

Determinar si tomamos el centro como el origen

x2b2+y2a2=1

La ecuación se representaría asi :

x2240+y2340=1

a²= 340 | a= 18.43 |

b²= 240 | b= 15.49 |

c2=a2-b2

c2=340-240

c2=100

c=10

a) Las coordenadas del centro: C (0,0)

b) Las coordenadas de los focos: f (-10,0) y f (10,0)

c) Las coordenadas de los vértices: V (18.43,0) y V (18.43,0)

d) La longitud del eje mayor: 2a=2(18.43)= 36.86

e) La longitud del eje menor: 2b=2(15.49)= 30.98

f) La longitud del lado recto: Lr=2b2a=224018.43=26.04

g) La excentricidad: e=ca= 1018.43=0.54

h) Las coordenadas de los extremos del eje mayor: (-18.43, 0) y (18.43, 0)

i) El dominio: [-18.43, 18.43]

j) El rango: [-15.49, 15.49]

Hallar de una mesa elíptica con unas medidas de 4 por 3.4.

Determinar si tomamos el centro como el origen y Dada la ecuación de la elipse:

x2a2+y2b2=1 encuentra:

a) Las coordenadas del centro: C (0,0)

b) Las coordenadas de los focos: f (-2,0) y f (2,0)

c) Las coordenadas de los vértices: V (-4,0) y V (4,0)

d) La longitud del eje mayor: 2a=2(4)=8

e) La longitud del eje menor: 2b=2(3,4)=6.8

f) La longitud del lado recto: Lr=2b2a=2124=244=6

g) La excentricidad: e=ca= 24= 12=0.5

h) Las coordenadas de los extremos del eje mayor: (0,3.4) y (0,-3.4)

i) El dominio: [-4,4]

j) El rango: [-3.4, 3.4]

Solución: x2a2+y2b2=1

a²= 16 | a= 4 |

b²= 12 | b= 3.4 |

Relación de la elipse

c2=a2-b2

c2=16-12

c²=4

Conclusión

Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente destinó su vida en entender y descifrar él porque y como de las cónicas.

Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, su han podido desarrollar diferentes aparatos, artefactos y cosas, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser humano.

La hipérbola parece ser diferente a la elipse ya que la elipse es la suma del conjunto de los puntos (x, y) y la hipérbola es la distancia del conjunto de los puntos (x, y).

La elipse es una cueva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, al eje o algún elemento del cono.

La elipse parece ser muy útil en nuestra vida ya que la mayoría de las construcciones modernas llevan aplicadas las formulas de la elipse asi como sus aplicaciones en el mundo moderno en que vivimos

En este tema he aprendido más sobre la elipse sus aplicaciones, como resolver los problemas, parte de su historia y que aunque nosotros no lo veamos podemos encontrar elipses a nuestro alrededor. Que la elipse es una curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono y que los problemas podemos aplicarlo en situaciones de la vida cotidiana.

Bibliografía

Enciclopedias

* Gran Enciclopedia Ilustrada del Readers Digest Tomo 3.

* Enciclopedia Encarta CD-ROM.

* Pequeño Larousse Ilustrado.

* Matemáticas 3 Parte 2

Geometria analitica e introduccion al calculo

Juan antonio Cuéllar Carvajal

salavdor Rodriguez vertiz

UANL

Monterrey N.L. mexico

septiembre 2009

Internet

* http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/classic.html

* http://usuarios.tripod.es/ijic0000/conicas.htm

* http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

Biblioteca Digital

* Enciclopedia Britannica