Teoría de la estimación

Teoría de la estimación

Es una rama de la estadística y procesamiento de señales que se ocupa de la estimación de los valores de los parámetros en base a los datos medidos/empírico que tiene un componente aleatorio. Los parámetros describen un entorno físico subyacente de tal manera que su valor afecta a la distribución de los datos medidos. Un estimador intenta aproximar los parámetros desconocidos utilizando las mediciones.

Por ejemplo, se desea estimar la proporción de una población de electores que votarán por un candidato en particular. Ese porcentaje es el parámetro buscado, la estimación se basa en una pequeña muestra aleatoria de los votantes.

O, por ejemplo, en el objetivo de radar es estimar la gama de objetos mediante el análisis de los tiempos de tránsito de dos vías de los ecos recibidos de los impulsos transmitidos. Dado que los impulsos reflejados son inevitablemente incorporados en el ruido eléctrico, sus valores medidos están distribuidos al azar, de modo que el tiempo de tránsito debe ser estimado.

En la teoría de la estimación, dos enfoques se consideran en general.

El enfoque probabilístico supone que los datos medidos es aleatorio con distribución de probabilidad depende de los parámetros de interés

El enfoque de conjunto-pertenencia supone que el vector de datos medido pertenece a un conjunto que depende del vector de parámetros.

Por ejemplo, en teoría de la comunicación eléctrica, las mediciones que contienen información con respecto a los parámetros de interés se asocian a menudo con una señal ruidosa. Sin aleatoriedad, o ruido, el problema sería determinista y no sería necesaria la estimación.

Estimación por intervalos

Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con un determinado nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente circunstancial.

Variabilidad del Parámetro

Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra que prescinde de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.

Error de la estimación

Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, más observaciones deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, más error se comete al aumentar la precisión. Se suele llamar E, según la fórmula E = (θ2 - θ1)/2.

Límite de Confianza

Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-α), aunque habitualmente suele expresarse con un porcentaje ((1-α)•100%). Es habitual tomar

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