Unidad Didáctica: Esquemas de diferencias

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Descripción generada automáticamente

Nombre del Proceso:

CODIGO: LA-FM-001

GESTIÓN DE LABORATORIOS

Nombre del Documento:

VERSION: 7

FORMATO PRACTICAS DE LABORATORIOS

FECHA: 15/junio/2022

GUÍA DE LABORATORIO DE

METODOS NUMERICOS

Unidad Didáctica: Esquemas de diferencias

Eje Temático: Prueba de esquemas mediante Taylor. Diferenciación de orden superior.

No. Guía

3.

Resultados de Aprendizaje de la Unidad Didáctica:

Resuelve situaciones problema en contextos amplios para la comprensión de los elementos matemáticos con el uso de la herramienta MATLAB definida para cada laboratorio.

1

sesiones

1

Semana

Horas de Trabajo

Trabajo con Docente

Trabajo Autónomo

2

4

Tipo de trabajo

Grupal

Ind

X

Laboratorio Requerido

Laboratorio de sistemas

Introducción

El docente encargado de los laboratorios realizará las siguientes acciones para la realización de las prácticas de laboratorio.

* El estudioso debe realizar antes del inicio de la sesión de clase la actividad evaluativa de “Actividad de comprobación por clase Laboratorio #3” en su plataforma Canvas, previa a la revisión del material bibliográfico correspondiente a la práctica.

* Llamado de lista y preparación de proyección: se contará con 15 minutos para que el docente prepare el material para la exposición del manejo de la herramienta ofimática establecida y hacer el llamado de lista.

* Se procede a la orientación directa de la herramienta ofimática, mostrando en cada caso los códigos y procedimientos requeridos para la generación de resultados de interés según las temáticas previamente revisada por los estudiosos. Esta actividad tiene un tiempo máximo de 90 minutos.

* Finalmente, se procede a la activación del cuestionario “Trabajo en clase – Evaluación de Laboratorio #3”, el cual se desarrollará como estrategia pedagógica para evaluar los conocimientos adquiridos en la práctica.

Preguntas Orientadoras

Si estamos en un contexto en la que sabemos que al modelar matemáticamente es posible encontrar la solución de una situación y debemos encontrar el valor de la derivada o integral de una función o resolver una ecuación diferencial muy compleja o resolver un sistema de ecuaciones con una gran cantidad de variables o buscar métodos para unir puntos en un plano. ¿Qué técnicas computacionales se podrían desarrollar para resolver cada una de estas situaciones?

Presaberes Requeridos

Derivada de Orden Superior

Polinomios de Taylor

Esquemas de diferencias

Marco conceptual o referencial *

Los esquemas de diferencias finitas permiten aproximar el valor numérico de una derivada de orden superior sin tener que realizar las derivaciones intermedias. Se pueden construir diferentes esquemas que aproximen una derivada de un orden específico con diferente número de datos. En general un esquema de diferencias de n-puntos aproxima la k-ésima con orden m, si:

Usando la fórmula de Taylor para cada término , se pueden sumar las series para probar la aproximación de la fórmula, por ejemplo:

* EJEMPLO 1: Probar que el esquema de diferencias:

Aproxima la segunda derivada de la función, determinar su orden.

Solución: Usando la serie de Taylor se tiene que:

Si sumamos término a término tendríamos:

Dividiendo en los dos términos por y teniendo en cuenta que los términos después de los puntos suspensivos tienen un grado mayor a 4, podemos reescribir todo como:

Entonces acabamos de comprobar que este esquema aproxima la segunda derivada, con orden , para no escribir el término del resto usaremos la notación . Veamos ejemplos donde se usa esta fórmula.

* EJEMPLO 2: Aproxime la segunda derivada para la función en el punto con un valor .

Solución: Si derivamos la función en el punto . Veamos qué tan cerca están los valores por las derivadas numéricas.

* EJEMPLO 3: Usando la siguiente tabla de datos aproxime el valor de la segunda derivada para el valor de 1.2.

1

2,71828183

1,1

3,30458263

1,2

3,98414031

1,3

4,77008567

1,4

5,67727995

Solución: La siguiente tabla se realiza usando la función , por lo cual la derivada analítica en el punto dado es 10.6244. Veamos la cercanía de las diferencias con este valor:

Pero si queremos probar con esquemas de más puntos, una derivada de mayor grado y determinar el orden de su error, las series de Taylor se pueden volver engorrosas. Para ello usaremos el siguiente teorema:

TEOREMA: Sea una función de valor real infinitas veces derivable, valores reales. El esquema de diferencias finitas:

Aproxima la k-ésima derivada de una función con orden si y solo si el resultado del producto matricial:

Tiene como resultado un vector de tamaño k+m+1 con dos componentes no nulas, la primera en la fila k (indica el orden de la derivada) y la segunda en la fila k+m (indica el orden de aproximación). Veamos un ejemplo:

* EJEMPLO 4: Probar que el esquema de diferencias:

Aproxima la tercera derivada, determine el orden de aproximación.

Solución: Vamos a reescribir el esquema mediante las matrices correspondientes:

Al realizar este producto matricial tenemos el vector . Lo cual nos indica que aproxima la tercera derivada ¿Por qué? Sin embargo, aún no tenemos el orden de la derivada ya que deben aparecer dos términos no nulos, si extendemos una fila más la matriz de potencias de los coeficientes de h tendríamos que su producto es 0. Es necesario extender la matriz dos filas para encontrar el siguiente termino no nulo, Por lo tanto, el orden de la aproximación de la derivada es O(h2). ¿Por qué?

Actividad de Trabajo Autónomo

Antes de realizar la “actividad de comprobación por clase Laboratorio #3” en su plataforma Canvas, realice los siguientes puntos:

A

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