L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Cap´ıtulo 9

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE

FUNCIONES

9.1. Introducci´on

El concepto de l´ımite en Matem´aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´on

en un determinado punto o en el infinito.

Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la gr´afica de la figura y fij´emonos en el

punto x =2 situado en el eje de abscisas:

¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos

valores como 2’1, 2’01, 2’001.

Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),

f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las

im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.

Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos

como:

l´ım

x→2

f(x) = 3

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el

eje Oy al que se acerca la funci´on, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

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Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:

Definici´on: Dada una funci´on f(x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f(x) cuando x se acerca

a a es L, y se expresa como:

l´ım

x→a

f(x) = L

cuando:

Dado  > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < 

Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de

a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´oxima a L.

En la pr´actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como

recordaremos se definen de la siguiente forma:

Definici´on:

Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´on f(x), y se expresa como:

l´ım

x→a+

f(x)

al l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.

De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´on f(x) se expresa como:

l´ım

x→a−

f(x)

y se define como el l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad: Para que una funci´on f(x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan

ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:

l´ım

x→a

f(x) = l ´ım

x→a+

f(x) = l ´ım

x→a− f(x)

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9.2. Tiposd e l´ımites

Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos:

1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situaci´on del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x

se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funci´on se hace

cada vez mayor:

l´ım

x→a+

f(x) = +∞

(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).

De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la

izquierda).(Dibuja el que falta)

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Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´on

entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:

l´ım

x→2+

f(x) = +∞

y

l´ım

x→2− f(x) = 2

2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞

cuando la funci´on se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

l´ım

x→∞f(x) = b

Gr´aficamente:

En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.

De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.

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3.

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