Provabilidad

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TLALNEPANTLA.

SUBDIRECCION ACADEMICA

DEPTO. DE CIENCIAS BASICAS

APUNTES DE PROBABILIDAD

LIC. EN INFORMATICA

NUEVO MODELO

ELABORADOS POR: ING. ANA ELENA MIRANDA LÓPEZ

ENERO 2006

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO: EL ESTUDIANTE COMPRENDERÁ LOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL PENSAMIENTO PROBABILÍSTICO

UNIDAD I. TECNICAS DE CONTEO.

I.1 Introducción.

I.2. Principios de conteo: aditivo y multiplicativo.

I.3. Diagramas de árbol.

I.4. Permutaciones.

I.5. Combinaciones.

I.6. Ejercicios de aplicación.

UNIDAD II. TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

II.1. Introducción.

II.2. Eventos y espacio muestral.

II.3. Axiomas y teoremas de la probabilidad.

II.4. Espacio finito y equiprobable.

II.5. Probabilidad condicional.

II.6. Probabilidad total y teorema de Bayes.

II.7. Independencia.

II.8. Aplicaciones

UNIDAD III. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA.

III.1. Introducción

III.2. Definición y clasificación de variable aleatorias.

III.3. Distribución y esperanza.

III.4. Varianza y desviación estándar

III.5. Función de probabilidad discreta.

III.6. Función de distribución acumulativa..

III.7. Distribución de probabilidad binomial.

III.8. Distribución de probabilidad Poisson

III.9. Aplicaciones

UNIDAD IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA.

IV.1 Introducción

IV.2. Función de densidad de probabilidad.

IV.3. Esperanza y Varianza de una variable aleatoria contínua.

IV.4. Distribución de probabilidad uniforme.

IV.5. Distribución de probabilidad exponencial.

IV.6. Distribución de probabilidad normal.

IV.7. Aproximación de la binomial a la normal.

TEORIA DE CONJUNTOS.

Definición. Colección de elementos de cualquier tipo, personas, animales, libros, países, etc. que tienen algo en común y que están bien definidos.

Estos objetos o elementos que forman parte de un conjunto, tienen una nomenclatura especial.

Para trabajar con Teoría de Conjuntos necesitamos conocer el siguiente lenguaje:

Conjunto A,B,C... ó {a}

Elementos a,b,c....

Conjunto vacío , {}

Conjunto universal U,S

Pertenece 

No pertenece 

Subconjunto 

No es subconjunto 

Tal que /

Igual que 

No es igual que 

Menor que 

Mayor que 

Menor o igual que 

Mayor o igual que 

Reunión o Unión 

Intersección 

Complemento A´, Ac

Para todo x x

Existe un x x

Implica 

Bicondicional (sí y solo sí) 

Es equivalente 

Conjunción (o) 

Disyunción (y) 

Hiperconjunto 

Relacionado o vinculado 

Semejante 

Infinito 

Adición +

Diferencia -

Número de elementos del conjunto A n(A)

METODOS PARA DEFINIR UN CONJUNTO.

A) Método de Extensión o de Enumeración. Este enumera cada uno de los elementos que forman el conjunto.

B) Método de Comprensión. Este, por medio de una frase de comprensión (lo mas clara que sea posible) describe las características de los elementos del conjunto.

Sea A = { a,e,i,o,u }  Método de extensión o de enumeración.

NOTA: Modo de leerse ( El conjunto A es igual al conjunto de a, e, i, o, u )

Podemos decir que a  A, e  A, i  A, o  A, u  A ó 5  A

A = {x/x es una vocal del alfabeto latino}  Método de comprensión.

NOTA: Modo de leerse ( El conjunto A es igual al conjunto de todas las x tal que x es una vocal del alfabeto latino )

Ejemplo: Sea

1. B = { 0,1,2,3.....9 } ---------------Finito

B = { x/x es un numero entero positivo, 0  x  9 }

2. C = { x/x es un numero par entero positivo x  12 }------------Infinito

C = { 12,14,16,18.....}

3. D = { x/x2 = 4, x = 1}-------------Vacío

D = 

CONJUNTO UNIVERSO ( U, S ). Es el conjunto que tiene todos los elementos en cuestión (no es único) y es un conjunto de referencia.

IGUALDAD DE CONJUNTOS. Un conjunto A es igual a un conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A esta en B o si cada elemento de B esta en A.

A = B  B = A

Ejemplo:

Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = { 3, 1, 4, 2, 3 }

 A = B

NOTA: En teoría de conjuntos no importa el orden en que aparezcan los elementos y además no podemos repetir elementos.

SUBCONJUNTO (  ). Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B entonces se dice que A es subconjunto de B.

A  B  A esta incluido en B ó A es un subconjunto de B.

Ejemplos:

Sean C = {1, 3, 5 } y D = { 5, 4, 3, 2, 1 } NOTA: No existe reciprocidad.

 C  D  D  C

C es subconjunto de D ó D es un hiperconjunto de C.

Sean C = {1, 2, 3 } y D = { 1, 2, 1, 3 } NOTA: Si hay reciprocidad en

 C  D , D  C conjuntos iguales.

 C = D ó D = C

Sean A = {a, e, i, o, u } y B = { e, i, o, u, f }

 A  B

n(A) = 5 n(B) = 5

NOTA: Distíngase conceptos diferentes, n(A) implica el número de elementos del conjunto A y no cuales son los elementos de A.

CONJUNTO POTENCIA. Es la familia de todos los subconjuntos de un conjunto S, y se define:

Conjunto Potencia S = 2n

 n =

...