ANTIDERIVADAS O INTEGRACION INDEFINIDA

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∫  ANTIDERIVADAS O INTEGRACION INDEFINIDA

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

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Están son algunas de las fórmulas que existen, vamos ha utilizar la primera de  ella para resolver el siguiente ejempló:

EJEMPLO

Ahora bien tenemos la siguiente función por  resolver

F (x) =2X

Para poder sacar la anti derivada tenemos que realizar  lo que nuestra formula  nos indica,  n  es el exponente de la  x se le deberá sumar 1, todo eso quedara en el numerador y repetiremos es suma de n+1 en el denominador.

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Nos debe de quedar de la siguiente manera:

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Hacemos la suma tanto en denominador como en numerador y nos quedara de la siguiente manera.

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Se divide el numero 2 que tenemos en el numerador con el 2que se obtuvo en el denominador:

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Y por último nos quedaría así

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Pero nunca debemos olvidar agregar en forma de suma una letra C de lo contrario estará mal, debemos hacerlo de la siguiente manera y asi concluye:

EJEMPLO 2

Bien ahora vamos a sacar la anti derivada de la siguiente función:

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Para ello necesitamos la siguiente formula, esta nos dice que la integral de sen es –cos y esa parte es muy fácil de comprender, pero ¿ que es esa letra K en la formula?

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Bueno como veras en el siguiente ejemplo “K” es la constante que multiplica la X de nuestra función:

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Por lo tanto aplicando la formula obtendremos el siguiente resultado.

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METODO DE SUSTITUCION

Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:

1. Identificar la fusión a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se cometen más errores en este paso).
2. Determinar el diferencial de "u" ("du").
3. Reescribir el integral ya sustituido.
4. Integrar.

Consejo

Intente elegir [pic 16] como alguna función en el integrando cuya diferencial también se presente (excepto para un factor constante). Si no es posible, escoja [pic 17] como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la conjetura sea errónea; si su primera suposición no funciona, intente con otra.

EJEMPLO 1

Resolver la siguiente integral indefinida por el método de sustitución

1.Identificar la estructuran para aplicar sustitución

2. Planteamos la siguiente consideración

* De  esta  manera tenemos para la integración :

3. Realiza la sustitución

4. Realizamos la siguiente integral en término de  U

5. Y Volvemos nuevamente a establecer nuevamente nuestra respuesta , en términos de la variable  original

EJEMPLO 2

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Igualamos du con dx:

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Sustituimos y obtenemos:

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Integramos:

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Sustituimos u:

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INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

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EJEMPLO 1

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EJEMPLO 2

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EJEMPLO 3

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            FORMULAS ESPECIALES DE INTEGRACION

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                           INTEGRACION POR PARTES

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

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Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

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