APLICACIONES DE LA DERIVADA
Enviado por Ana Lucia Mariluz Monteverde • 23 de Junio de 2022 • Monografías • 3.084 Palabras (13 Páginas) • 56 Visitas
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
[pic 1]
APLICACIONES DE LA DERIVADA
DOCENTE:
Rodriguez Chuquimango Santos Pantaleon
INTEGRANTES:
Herrera Villanueva Carlos Alonso Huamán Cueva Alexandra Geraldine Huillcahua Tacuchi Nacira Geraldine
Callao – Perú
ÍNDICE
Ejercicio I 3
Bombeando un tanque 3
Ejercicio II 5
Un globo ascendente 5
Ejercicio lll 7
Una persecución en la carretera 7
Ejercicio lV 9
Llenar un tanque cónico 9
Ejercicios Propuestos 11
- Energía Eléctrica 11
- Calentar un plato 13
- Tráfico aéreo comercial 14
- La superficie circular 15
- Otra sombra en movimiento 17
- Patrulla 20
Ejercicio I Bombeando un tanque
¿Qué tan rápido caerá el nivel del fluido dentro de un tanque cilíndrico vertical si bombeamos el fluido a una tasa de 3000 L/min?
Solución:
Hacemos un dibujo de un tanque cilíndrico vertical parcialmente lleno, llamando a su radio 𝑟 y la altura del fluido ℎ. Llame al volumen del fluido 𝑉. A medida que pasa el tiempo, el radio permanece constante, pero 𝑉 y ℎ cambian. Pensamos en 𝑉 y ℎ como funciones diferenciables del tiempo y usamos 𝑡 para representar el tiempo. Decimos que:[pic 2][pic 3]
Bombeamos a razón de 3000 L/min. La razón es negativa porque el volumen está disminuyendo.
Se nos pide que encontremos:
[pic 4]
Para encontrar
𝑑ℎ
, primero escribimos una[pic 5]
𝑑𝑡
ecuación que relacione ℎ con 𝑉. La ecuación depende de las unidades elegidas para
𝑉, 𝑟 y ℎ. Con 𝑉 en litros y 𝑟 y ℎ en metros. La ecuación para el volumen del cilindro es:
Porque un metro cúbico contiene 1000 L. Como 𝑉 y ℎ. son funciones derivables de t, podemos derivar ambos lados de la[pic 6]
ecuación con respecto a t para conseguir la ecuación en relación de
𝑑ℎ
[pic 7]
𝑑𝑡
𝑑𝑉
to .[pic 8]
𝑑𝑡
𝑟 es una constante.[pic 9]
Sustituimos el valor conocido 𝑑𝑉/𝑑𝑡 = −3000 y resolvemos para 𝑑ℎ/𝑑𝑡:
𝑑ℎ −3000 3
𝑑𝑡 = 1000𝜋𝑟2 = − 𝜋𝑟2[pic 10][pic 11][pic 12]
El nivel de líquido caerá a razón de 3/(𝜋𝑟2)𝑚/𝑚𝑖𝑛.
La ecuación 𝑑ℎ/𝑑𝑡 = −3/𝜋𝑟2 muestra cómo la razón a la que el nivel de líquido cae depende del radio del tanque. Si 𝑟 es pequeño, 𝑑ℎ/𝑑𝑡 será largo; 𝑑ℎ/𝑑𝑡 será pequeño.
[pic 13]
Ejercicio II
Un globo ascendente
Un globo de aire caliente que sube directamente desde un campo nivelado es rastreado por un telémetro 500 pies desde el punto de despegue. En el momento en
que el ángulo de elevación del telémetro es 𝜋 ,el ángulo está aumentando a razón[pic 14]
4
de 0,14 rad/min. ¿Qué tan rápido sube el globo en ese momento?
Solución:
Respondemos la pregunta en 6 pasos:
- Haz un dibujo y nombra las variables y constantes. Las variables en la imagen son[pic 15]
𝜃 = 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝑦 = 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑜
Dejamos que 𝑡 represente el tiempo en minutos y asumimos que 𝜃 y 𝑦 sean funciones diferenciales de 𝑡. La única constante en la imagen es la distancia desde el telémetro hasta el punto de
despegue. (500 pies). No hay necesidad de darle un símbolo especial.
- Anote la información numérica adicional.
[pic 16]
- Escriba lo que vamos a encontrar. Queremos 𝑑𝑦 cuando 𝜃 = 𝜋/4.[pic 17]
𝑑𝑡
- Escribe una ecuación que relacione las variables 𝑦 y 𝜃.
[pic 18]
- Derive con respecto a t usando la regla de la cadena. El resultado dice cómo
𝑑𝑦/𝑑𝑡 está relacionado con 𝑑𝜃/𝑑𝑡.
[pic 19]
6. Evalúe con 𝜃 = 𝜋/4 y 𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 0.14 para encontrar 𝑑𝑦/𝑑𝑡.
[pic 20]
El globo se eleva a razón de 140 ft/min.
...